Cho tam giác ABC có trung tuyến AM

Phương Thảo Ngày: 14-09-2022 Lớp 10

445

Với giải Bài 3.16 trang 44 Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống chi tiết trong Bài tập cuối chương III giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương III

Bài 3.16 trang 44 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $\cos \hat{A M B} + \cos \hat{A M C} = 0$

b) $M A^{2} + M B^{2} - A B^{2} = 2. M A . M B . \cos \hat{A M B}$ và $M A^{2} + M C^{2} - A C^{2} = 2. M A . M C . \cos \hat{A M C}$

c) $M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Phương pháp giải:

a) Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau:

$- \cos x = \cos (180^{o} - x)$

b) Định lí cos: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ cho tam giác tương ứng.

c) Suy ra từ b, lưu ý rằng: ${\begin{cases} \cos \hat{A M C} + \cos \hat{A M B} = 0 \\ M B = M C = \frac{B C}{2} \end{cases}$

Lời giải:

Toán lớp 10 Bài tập cuối chương III I Kết nối tri thức với cuộc sống (ảnh 1)

a) Ta có: $\hat{A M B} + \hat{A M C} = 180^{o}$

$\Rightarrow \cos \hat{A M B} = - \cos \hat{A M C}$

Hay $\cos \hat{A M B} + \cos \hat{A M C} = 0$

b) Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta có:

$\begin{array}{l} A B^{2} = M A^{2} + M B^{2} - 2 M A . M B \cos \hat{A M B} \\ \Leftrightarrow M A^{2} + M B^{2} - A B^{2} = 2 M A . M B \cos \hat{A M B} (1) \end{array}$

Tương tự, Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta được:

$\begin{array}{l} A C^{2} = M A^{2} + M C^{2} - 2 M A . M C \cos \hat{A M C} \\ \Leftrightarrow M A^{2} + M C^{2} - A C^{2} = 2 M A . M C \cos \hat{A M C} (2) \end{array}$

c) Từ (1), suy ra $M A^{2} = A B^{2} - M B^{2} + 2 M A . M B \cos \hat{A M B}$

Từ (2), suy ra $M A^{2} = A C^{2} - M C^{2} + 2 M A . M C \cos \hat{A M C}$

Cộng vế với vế ta được:

$2 M A^{2} = (A B^{2} - M B^{2} + 2 M A . M B \cos \hat{A M B}) + (A C^{2} - M C^{2} + 2 M A . M C \cos \hat{A M C})$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - M B^{2} - M C^{2} + 2 M A . M B \cos \hat{A M B} + 2 M A . M C \cos \hat{A M C}$

Mà: $M B = M C = \frac{B C}{2}$ (do AM là trung tuyến)

$\Rightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - {(\frac{B C}{2})}^{2} - {(\frac{B C}{2})}^{2} + 2 M A . M B \cos \hat{A M B} + 2 M A . M B \cos \hat{A M C}$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. {(\frac{B C}{2})}^{2} + 2 M A . M B (\cos \hat{A M B} + \cos \hat{A M C})$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - {\frac{B C}{2}}^{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow M A^{2} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - {\frac{B C}{2}}^{2}}{2} \\ \Leftrightarrow M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4} \end{array}$ (đpcm)

Cách 2:

Theo ý a, ta có: $\cos \hat{A M C} = - \cos \hat{A M B}$

Từ đẳng thức (1): suy ra $\cos \hat{A M B} = \frac{M A^{2} + M B^{2} - A B^{2}}{2. M A . M B}$

$\Rightarrow \cos \hat{A M C} = - \cos \hat{A M B} = - \frac{M A^{2} + M B^{2} - A B^{2}}{2. M A . M B}$

Thế $\cos \hat{A M C}$ vào biểu thức (2), ta được:

$M A^{2} + M C^{2} - A C^{2} = 2 M A . M C . (- \frac{M A^{2} + M B^{2} - A B^{2}}{2. M A . M B})$

Lại có: $M B = M C = \frac{B C}{2}$ (do AM là trung tuyến)

$\begin{array}{l} \Rightarrow M A^{2} + {(\frac{B C}{2})}^{2} - A C^{2} = 2 M A . M B . (- \frac{M A^{2} + M B^{2} - A B^{2}}{2. M A . M B}) \\ \Leftrightarrow M A^{2} + {(\frac{B C}{2})}^{2} - A C^{2} = - (M A^{2} + M B^{2} - A B^{2}) \\ \Leftrightarrow M A^{2} + {(\frac{B C}{2})}^{2} - A C^{2} + M A^{2} + {(\frac{B C}{2})}^{2} - A B^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow 2 M A^{2} - A B^{2} - A C^{2} + {\frac{B C}{2}}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - {\frac{B C}{2}}^{2} \\ \Leftrightarrow M A^{2} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - {\frac{B C}{2}}^{2}}{2} \\ \Leftrightarrow M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4} \end{array}$