Lời giải:

Góc $\alpha$ cho trước,$0^o<\alpha <{180}^o$.

Trên nửa đường tròn đơn vị, vẽ điểm $M(x_o;y_o)$ sao cho $\widehat{xOM}=\alpha .$

Khi đó:

$\begin{array}{l}\sin \alpha =y_o;\\ \cos \alpha =x_o;\\ \tan \alpha =\frac{x_o}{y_o}(y_o\ne 0);\\ \cot \alpha =\frac{y_o}{x_o}(x_o\ne 0).\end{array}$

1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC

Hoạt động 1 trang 34 Toán lớp 10: a) Nêu nhận xét về vị trí điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

$\begin{array}{l}\alpha ={90}^o;\\ \alpha <{90}^o;\\ \alpha >{90}^o.\end{array}$

b) Khi $0^o<\alpha <{90}^o$, nêu mối quan hệ giữa $\cos \alpha ,\sin \alpha$ với hoành độ và tung độ của điểm M.

Phương pháp giải:

a) Quan sát góc$\alpha =\widehat{xOM}$ trong các trường hợp tương ứng. Khi ấy M thuộc cung nào?

b) Khi $0^o<\alpha <{90}^o$ thì $\cos \alpha =\frac{\left|x_0\right|}{OM},\sin \alpha =\frac{\left|y_0\right|}{OM};$ trong đó $OM=R=1$.

Lời giải:

a) Khi $\alpha ={90}^o$, điểm M trùng với điểm C. (Vì $\widehat{xOC}=\widehat{AOC}={90}^o$)

Khi $\alpha <{90}^o$, điểm M thuộc vào cung AC (bên phải trục tung)

Khi $\alpha >{90}^o$, điểm M thuộc vào cung BC (bên trái trục tung)

b) Khi $0^o<\alpha <{90}^o$ , ta có:

$\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{\left|x_0\right|}{OM}=\left|x_0\right|=x_0;\\ \sin \alpha =\frac{\left|y_0\right|}{OM}=\left|y_o\right|=y_o\end{array}$

Vì $OM=R=1$; $x_0\in$tia $Ox$nên $x_0>0$; $y_0\in$tia $Oy$nên $y_0>0$

Vậy $\cos \alpha$ là hoành độ $x_0$của điểm M, $\sin \alpha$ là tung độ $y_0$ của điểm M.

Luyện tập 1 trang 35 Toán lớp 10: Tìm các giá trị lượng giác của góc ${120}^o$ (H.3.4)

Phương pháp giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={120}^o$

Khi đó hoành độ và tung độ của điểm M lần lượt là các giá trị $\cos {120}^o,\sin {120}^o$

Từ đó suy ra $\tan {120}^o={\displaystyle \frac{\sin {120}^o}{\cos {120}^o}},\cot {120}^o={\displaystyle \frac{\cos {120}^o}{\sin {120}^o}}.$

Lời giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}={120}^o$

Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Vì  $\widehat{xOM}={120}^o>{90}^o$ nên M nằm bên trái trục tung.

Khi đó:$\cos {120}^o=-\overline{ON},\sin {120}^o=\overline{OP}$

Vì $\widehat{xOM}={120}^o$ nên $\widehat{NOM}={180}^o-{120}^o={60}^o$ và $\widehat{POM}={120}^o-{90}^o={30}^o$

Vậy các tam giác $\mathrm{\Delta }MON$ và $\mathrm{\Delta }MOP$ vuông tại N, p và có một góc bằng ${30}^o$

$\Rightarrow ON=MP=\frac{1}{2}OM=\frac{1}{2}$(Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc ${30}^o$ bằng một nửa cạnh huyền)

Và $OP=MN=\sqrt{O{M}^2-O{N}^2}=\sqrt{1^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy điểm M có tọa độ là $\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Và $\cos {120}^o=-\frac{1}{2};\sin {120}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \tan {120}^o=\frac{\sin {120}^o}{\cos {120}^o}=\frac{\sqrt{3}}{2}:\left(-\frac{1}{2}\right)=-\sqrt{3};\\ \cot {120}^o=\frac{\cos {120}^o}{\sin {120}^o}=\left(-\frac{1}{2}\right):\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.\end{array}$

Chú ý: Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc ${120}^o$

Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:

Bấm phím “SHIFT”  “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ)

Tính $\sin {120}^o$, bấm phím:  sin  1  2  0  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Tính $\cos {120}^o$,bấm phím:  cos  1  2  0  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $\frac{-1}{2}$

Tính $\tan {120}^o$, bấm phím:  tan  1  2  0  ${}^o$’’’  = ta được kết quả là $-\sqrt{3}$

( Để tính $\cot {120}^o$, ta tính $1:\tan {120}^o$)

2. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU

Câu hỏi trang 36 Toán 10

Hoạt động 2 trang 36 Toán lớp 10: Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M’ đối với trục Oy. Từ đó nêu các mối quan hệ giữa $\sin \alpha$ và $\sin \left({180}^o-\alpha \right)$, giữa $\cos \alpha$ và  $\cos \left({180}^o-\alpha \right)$.

Phương pháp giải:

Nhận xét vị trí của M và M’ trong mỗi trường hợp: $\alpha ={90}^o;\alpha <{90}^o;\alpha >{90}^o.$

Khi $0^o<\alpha <{90}^o$: $\cos \alpha ,\sin \alpha$ tương ứng là hoành độ và tung độ của điểm M.

Lời giải:

M, M’ là hai điểm trên nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc $\alpha$ và ${180}^o-\alpha$.

Giả sử $M\left(x_0;y_o\right)$. Khi đó $\cos \alpha =x_0;\sin \alpha =y_o$

Trường hợp 1:  $\alpha ={90}^o$

Khi đó $\alpha ={180}^o-\alpha ={90}^o$

Tức là M và M’ lần lượt trùng nhau và trùng với B.

Và  $\{\begin{array}{l}\cos \alpha =-\cos \left({180}^o-\alpha \right)=0;\\ \sin \alpha =\sin \left({180}^o-\alpha \right)=\sin {90}^o=1.\\ \cot \alpha =0\end{array}$

Không tồn tại $\tan \alpha$ với $\alpha ={90}^o$

Trường hợp 2: $\alpha <{90}^o\Rightarrow {180}^o-\alpha >{90}^o$

M nằm bên phải trục tung

M’ nằm bên trái trục tung

Dễ thấy: $\widehat{M^{\prime }OC}={180}^o-\widehat{xO{M}^{\prime }}={180}^o-\left({180}^o-\alpha \right)=\alpha =\widehat{xOM}$

$\Rightarrow \widehat{M^{\prime }OB}={90}^o-\widehat{M^{\prime }OC}={90}^o-\widehat{MOA}=\widehat{MOB}$

Xét tam giác $M^{\prime }OB$ và tam giác $MOB$  ta có:

$OM=O{M}^{\prime }$

$\widehat{M^{\prime }OB}=\widehat{MOB}$

OB chung

$\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{\Delta }MOB=\mathrm{\Delta }{M}^{\prime }OB\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}OM=O{M}^{\prime }\\ BM=B{M}^{\prime }\end{array}\end{array}$

Hay OB là trung trực của đoạn thẳng MM’.

Nói cách khác M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.

Mà $M\left(x_0;y_o\right)$ nên $M^{\prime }\left(-x_0;y_o\right)$

$\begin{array}{l}\cos \left({180}^o-\alpha \right)=-x_0=-\cos \alpha ;\\ \sin \left({180}^o-\alpha \right)=y_o=\sin \alpha .\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}\tan \left({180}^o-\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left({180}^o-\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}\end{array}$

Trường hợp 3: $\alpha >{90}^o\Rightarrow {180}^o-\alpha <{90}^o$

Khi đó M nằm bên trái trục tung và M’ nằm bên phải trục tung.

Tương tự ta cũng chứng minh được M và M’ đối xứng với nhau qua trục tung.

Như vậy

$\begin{array}{l}\cos \left({180}^o-\alpha \right)=-x_0=-\cos \alpha ;\\ \sin \left({180}^o-\alpha \right)=y_o=\sin \alpha .\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}\tan \left({180}^o-\alpha \right)=-\tan \alpha \\ \cot \left({180}^o-\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}\end{array}$

Kết luận: Với mọi $0^o<\alpha <{180}^o$, ta luôn có

$\begin{array}{l}\cos \left({180}^o-\alpha \right)=-\cos \alpha ;\\ \sin \left({180}^o-\alpha \right)=\sin \alpha .\\ \tan \left({180}^o-\alpha \right)=-\tan \alpha (\alpha \ne {90}^o)\\ \cot \left({180}^o-\alpha \right)=-\cot \alpha \end{array}$

Luyện tập 2 trang 36 Toán lớp 10: Trong Hình 3.6, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau $\alpha$ và ${90}^o-\alpha$ ($\widehat{xOM}=\alpha ,\widehat{xON}={90}^o-\alpha$). Chứng mình rằng $\mathrm{\Delta }MOP=\mathrm{\Delta }NOQ$. Từ đó nêu mối quan hệ giữa $\cos \alpha$ và $\sin \left({90}^o-\alpha \right)$.

Phương pháp giải:

Nhận xét vị trí của M và N trong mỗi trường hợp: $\alpha ={90}^o;\alpha <{90}^o$

Khi $0^o<\alpha <{90}^o$: $\cos \alpha ,\sin \alpha$ tương ứng là hoành độ và tung độ của điểm M.

Lời giải:

Trường hợp 1:  $\alpha ={90}^o$

Khi đó ${90}^o-\alpha =0^o$

Tức là M và N lần lượt trùng nhau với B và A.

Và  $\cos \alpha =0=\sin \left({90}^o-\alpha \right)$

Trường hợp 2: $0^o<\alpha <{90}^o\Rightarrow 0^o<{90}^o-\alpha <{90}^0$

M và N cùng nằm bên trái phải trục tung.

Ta có: $\alpha =\widehat{AOM};{90}^o-\alpha =\widehat{AON}$

Dễ thấy: $\widehat{AON}={90}^o-\alpha ={90}^o-\widehat{NOB}\Rightarrow \alpha =\widehat{NOB}$

Xét hai tam giác vuông $NOQ$ và tam giác $MOP$  ta có:

$OM=ON$

$\widehat{POM}=\widehat{QON}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{\Delta }NOQ=\mathrm{\Delta }MOP\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}OP=OQ\\ QN=MP\end{array}\end{array}$

Mà $M\left(x_0;y_o\right)$ nên $N\left(y_o;x_0\right)$. Nói cách khác:

$\cos \left({90}^o-\alpha \right)=\sin \alpha ;\sin \left({90}^o-\alpha \right)=\cos \alpha .$

Câu hỏi trang 37 Toán 10

Câu hỏi vận dụng trang 37 Toán lớp 10: Một chiếc đu quay có bán kính 75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử chiều quay của chiếc đu quay. Xác định vị trí của cabin sau 20 phút.

Bước 2: Dựa vào giá trị lượng giác của góc, xác định khoảng cách từ cabin đến Ox (trong hình H.3.7)

Bước 3: Suy ra độ cao của người đó sau 20 phút quay.

Lời giải:

Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều kim đồng hồ.

Gọi M là vị trí của cabin, M’ là vị trí của cabin sau 20 phút và các điểm A A’, B, H như hình dưới.

Vì đi cả vòng quay mất 30 phút nên sau 20 phút, cabin sẽ đi quãng đường bằng $\frac{2}{3}$ chu vi đường tròn.

Sau 15 phút cabin đi chuyển từ điểm M đến điểm B, đi được $\frac{1}{2}$ chu vi đường tròn.

 Trong 5 phút tiếp theo cabin đi chuyển từ điểm B đến điểm M’ tương ứng $\frac{1}{6}$ chu vi đường tròn  hay $\frac{1}{3}$ cung .

Do đó: $\widehat{BO{M}^{\prime }}=\frac{1}{3}{.180}^o={60}^o$$\Rightarrow \widehat{AO{M}^{\prime }}={90}^o-{60}^o={30}^o.$

$\Rightarrow M^{\prime }H=\sin {30}^o.O{M}^{\prime }=\frac{1}{2}.75=37,5\left(m\right).$

$\Rightarrow$ Độ cao của người đó là: 37,5 + 90 = 127,5 (m).

Vậy sau 20 phút quay người đó ở độ cao 127,5 m.

 BÀI TẬP

Bài 3.1 trang 37 Toán lớp 10: Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau: