Giải Toán 11 trang 115 Tập 1 (Kết nối tri thức)

Bạn cần đăng nhập để báo cáo vi phạm tài liệu

Giải Toán 11 trang 115 Tập 1 (Kết nối tri thức)

Ngọc Nguyễn Ngày: 05-02-2024 Lớp 11

114

Với giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức trang 115 chi tiết trong Bài 16: Giới hạn của hàm số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 trang 115 Tập 1 (Kết nối tri thức)

HĐ3 trang 114 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực

Cho hàm số $f (x) = 1 + \frac{2}{x - 1}$ có đồ thị như Hình 5.4.

Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 16: Giới hạn của hàm số (ảnh 6)

Giả sử (x_n) là dãy số sao cho x_n > 1, x_n ⟶ +∞. Tính f(x_n) và tìm .

Lời giải:

Với (x_n) là dãy số sao cho x_n > 1, x_n ⟶ +∞.

Ta có: $f (x_{n}) = 1 + \frac{2}{x_{n} - 1}$ .

Khi x_n ⟶ +∞ thì $\lim_{n \to + \infty} \frac{2}{x_{n} - 1} = 0$ .

Do đó $\lim_{n \to + \infty} f (x_{n}) = \lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{2}{x_{n} - 1}) = 1$ .

Luyện tập 3 trang 115 Toán 11 Tập 1: Tính $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{x + 1}$ .

Lời giải:

Ta có:

$\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{x + 1}$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (1 + \frac{2}{x^{2}})}}{x + 1}$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{x \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}{x (1 + \frac{1}{x})}$ $= \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}{1 + \frac{1}{x}}$

$= \frac{\lim_{x \to + \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}{\lim_{x \to + \infty} (1 + \frac{1}{x})} = \frac{\sqrt{\lim_{x \to + \infty} 1 + \lim_{x \to + \infty} \frac{2}{x^{2}}}}{\lim_{x \to + \infty} 1 + \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x}}$ $= \frac{\sqrt{1}}{1} = 1$ .

Vận dụng trang 115 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác OAB với A = (a; 0) và B = (0; 1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.

Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 16: Giới hạn của hàm số (ảnh 7)

a) Tính h theo a.

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

Lời giải:

a) Ta có: A = (a; 0) ⇒ OA = a; B = (0; 1) ⇒ OB = 1

Tam giác OAB vuông tại O có đường cao OH nên ta có

$\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}}$

Do đó, $\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{1^{2}}$ $\Rightarrow h =$ $\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2} + 1}}$ .

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, ta có OA = a = 0, suy ra h = 0, do đó điểm H dịch chuyển về điểm O.

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, ta có OA = a ⟶ +∞.

Ta có: $\lim_{a \to + \infty} h = \lim_{a \to + \infty} \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2} + 1}}$ $= \lim_{a \to + \infty} \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2} (1 + \frac{1}{a^{2}})}}$ $= \lim_{a \to + \infty} \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{1}{a^{2}}}} = 1$ .