Với giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức trang 118 chi tiết trong Bài 16: Giới hạn của hàm số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 trang 118 Tập 1 (Kết nối tri thức)

Luyện tập 5 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính  và .

Lời giải:

+) Ta có: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=0$, x – 2 > 0 với mọi x > 2 và

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(2x-1\right)=2.2-1=3>0$.

Do đó, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}=+\infty$.

+) Ta có: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x-2\right)=0$, x – 2 < 0 với mọi x < 2 và

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(2x-1\right)=2.2-1=3>0$.

Do đó, $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x-2}=-\infty$.

Bài tập

Bài 5.7 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-1}$ và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) f(x) = g(x);

b) $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$.

Lời giải:

+) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.

Ta có: $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=x+1$, với mọi x ≠ 1.

Biểu thức g(x) = x + 1 có nghĩa với mọi x.

Do đó, điều kiện xác định của hai hàm số f(x) và g(x) khác nhau, vậy khẳng định a) là sai.

+) Ta có: $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+1\right)=1+1=2$;

$\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+1\right)=1+1=2$.

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$ nên khẳng định b) là đúng.

Bài 5.8 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+2\right)}^2-4}{x}$;

b) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}$.

Lời giải:

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x ⟶ 0 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số đối với cả hai câu a và b.

a) Ta có: 

Do đó $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+2\right)}^2-4}{x}$$=\underset{x\to 0}{\lim }\left(x+4\right)=0+4=4$.

b) Ta có: $\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}=\frac{{\left(\sqrt{x^2+9}\right)}^2-3^2}{x^2\left(\sqrt{x^2+9}+3\right)}$$=\frac{x^2}{x^2\left(\sqrt{x^2+9}+3\right)}=\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}$.

Do đó $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+9}-3}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+9}+3}=\frac{1}{6}$.

Bài 5.9 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số  (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm t = 0).

Tính $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }H\left(t\right)$ và $\underset{t\to 0^{-}}{\lim }H\left(t\right)$.

Lời giải:

Với dãy số (t_n) bất kì sao cho t_n < 0 và t_n ⟶ 0, ta có H(t_n) = 0.

Do đó $\underset{t\to 0^{-}}{\lim }H\left(t\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }H\left(t_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }0=0$.

Tương tự, với dãy số (t_n) bất kì sao cho t_n > 0 và t_n ⟶ 0, ta có H(t_n) = 1.

Do đó $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }H\left(t\right)$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }H\left(t_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }1=1$.

Bài 5.10 trang 118 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn một bên:

a) $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x-1}$;

b) $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x^2-x+1}{4-x}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x-1\right)=0$, x – 1 > 0 với mọi x > 1 và

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x-2\right)=1-2=-1<0$.

Do đó, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x-1}=-\infty$.

b) Ta có: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\left(4-x\right)=0$, 4 – x > 0 với mọi x < 4 và

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\left(x^2-x+1\right)=4^2-4+1=13>0$.

Do đó, $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x^2-x+1}{4-x}=+\infty$.

Bài 5.11 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số .

Tìm $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }g\left(x\right)$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }g\left(x\right)$.

Lời giải:

Ta có: 

Do đó, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(x-3\right)=2-3=-1$;

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(3-x\right)=3-2=1$.

Bài 5.12 trang 118 Toán 11 Tập 1:Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}}$;

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x+2}-x\right)$.

Lời giải:

a)$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-2x}{\sqrt{x^2+1}}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-2x}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x\left(\frac{1}{x}-2\right)}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}=\frac{-2}{\sqrt{1}}=-2$.

b) Ta có: $\sqrt{x^2+x+2}-x=\frac{{\left(\sqrt{x^2+x+2}\right)}^2-x^2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}$$=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}$

Do đó, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x+2}-x\right)$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+x}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+2}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}+x}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+2}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}+x}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x\left(1+\frac{2}{x}\right)}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}+1\right)}$$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}+1}=\frac{1}{2}$

Bài 5.13 trang 118 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}$.

Tính $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$.

Lời giải:

Ta có: $f\left(x\right)=\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{2}{x-1}\cdot \frac{1}{x-2}$

+) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2}{x-1}=\frac{2}{2-1}=2>0$ và $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x-2}=+\infty$ (do x – 2 > 0 khi x > 2).

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=+\infty$.

+) $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2}{x-1}=\frac{2}{2-1}=2>0$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{1}{x-2}=-\infty$ (do x – 2 < 0 khi x < 2).

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=-\infty$.