Lời giải 

Vẽ đường thẳng $d:x-2y=0$ đi qua hai điểm $O(0;0)$ và $B\left(2;1\right)$

Xét gốc tọa độ $A(0;1).$ Ta thấy $A\notin \mathrm{\Delta }$ và $0-2.1=-2<0$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ $d$, không chứa điểm A

(miền không gạch chéo trên hình)

Vẽ đường thẳng $d^{\prime }:x+3y=3$ đi qua hai điểm $A^{\prime }(0;1)$ và $B^{\prime }\left(3;0\right)$

Xét gốc tọa độ $O(0;0).$ Ta thấy $O\notin \mathrm{\Delta }$ và $0+3.0=0<3$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ $d^{\prime }$, chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Vậy miền không gạch chéo trong hình trên là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Bài 3 trang 39 Toán 10 Tập 1: Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II và III. Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần dùng để sản xuất ra 1 kg sản phẩm được cho trong bảng sau:

Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất? Biết rằng, mỗi kilôgam sản phẩm loại A lãi 30 triệu đồng, mỗi kilôgam sản phẩm loại B lãi 50 triệu đồng.

Phương pháp giải

Gọi x, y lần lượt là số kilogam sản phẩm loại A, loại B mà công ty đó sản xuất.

Lập các điều kiện ràng buộc đối với x, y thành hệ bất phương trình

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy

Lời giải 

Gọi x, y lần lượt là số kilogam sản phẩm loại A, loại B mà công ty đó sản xuất.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

-          Hiển nhiên $x\ge 0,y\ge 0$

-          Nguyên liệu loại I có số kilogam dự trữ là 8 kg nên $2x+y\le 8$

-          Nguyên liệu loại II có số kilogam dự trữ là 24 kg nên $4x+4y\le 24$

-          Nguyên liệu loại III có số kilogam dự trữ là 8 kg nên $x+2y\le 8$

Từ đó ta có hệ bất phương trình:

$\{\begin{array}{l}2x+y\le 8\\ 4x+4y\le 24\\ x+2y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy.

Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Với các đỉnh  $O(0;0),A(0;4),$$B(\frac{8}{3};\frac{8}{3}),$$C(4;0).$

Gọi F là số tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) thu về, ta có: $F=30x+50y$

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:

Tại $O(0;0),$$F=30.0+50.0=0$

Tại $A(0;4),$$F=30.0+50.4=200$

Tại $B(\frac{8}{3};\frac{8}{3}),$$F=30.\frac{8}{3}+50.\frac{8}{3}=\frac{640}{3}$

Tại $C(4;0):$$F=30.4+50.0=120$

F đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{640}{3}$ tại $B(\frac{8}{3};\frac{8}{3}).$

Vậy công ty đó nên sản xuất $\frac{8}{3}kg$sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất.

Bài 4 trang 39 Toán 10 Tập 1: Một công ty cần mua các tủ đựng hồ sơ. Có hai loại tủ: Tủ loại A chiếm 3 sàn, loại này có sức chứa 12  và có giá 7,5 triệu đồng; tủ loại B chiếm 6  sàn, loại này có sức chứa 18  và có giá 5 triệu. Cho biết công ty chỉ thu xếp được nhiều nhất là 60  mặt bằng cho chỗ đựng hồ sơ và ngân sách mua tủ không quá 60 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch mua sắm để công ty có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất.

Lời giải 

Gọi x, y lần lượt là số tủ loại A, loại B mà công ty cần mua.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

-  Hiển nhiên $x\ge 0,y\ge 0$

-  Mặt bằng nhiều nhất là 60 $m^2$ nên $3x+6y\le 60$

-  Ngân sách mua tủ không quá 60 triệu đồng nên $7,5x+5y\le 60$

Từ đó ta có hệ bất phương trình:

$\{\begin{array}{l}3x+6y\le 60\\ 7,5x+5y\le 60\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy.

Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Với các đỉnh $O(0;0),A(0;10),$$B(2;9),$$C(8;0).$

Gọi F là số tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) thu về, ta có: $F=12x+18y$

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:

Tại $O(0;0),$$F=12.0+18.0=0$

Tại $A(0;10):$$F=12.0+18.10=180$

Tại $B(2;9),$$F=12.2+18.9=186$

Tại $C(8;0).$$F=12.8+18.0=96$

F đạt giá trị lớn nhất bằng $186$ tại $B(2;9),$

Vậy công ty đó nên mua 2 tủ loại A và 9 tủ loại B để thể tích đựng hồ sơ là lớn nhất.

Bài 5 trang 39 Toán 10 Tập 1: Một nông trại thu hoạch được 180 kg cà chua và 15 kg hành tây. Chủ nông trại muốn làm các hũ tương cà để bán. Biết rằng, để làm ra một hũ tương cà loại A cần 10 kg cà chua cùng với l kg hành tây và khi bán lãi được 200 nghìn đồng, còn để làm được một hũ tương cà loại B cần 5 kg cà chua cùng với 0,25 kg hành tây và khi bán lãi được 150 nghìn đồng. Thǎm dò thị hiếu của khách hàng cho thấy cần phải làm số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B. Hãy giúp chủ nông trại lập kế hoạch làm tương cà để có được nhiều tiền lãi nhất.

Lời giải 

Gọi x, y lần lượt là số hũ tương cà loại A, loại B mà chủ nông trại cần làm.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

-  Hiển nhiên $x\ge 0,y\ge 0$

-  Có 180 kg cà chua nên $10x+5y\le 180$

-  Có 15 kg hành tây nên $x+0,25y\le 15$

-  Số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B nên $x\ge 3,5y$

Từ đó ta có hệ bất phương trình:

$\{\begin{array}{l}10x+5y\le 180\\ x+0,25y\le 15\\ x\ge 3,5y\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy.

Miền không gạch chéo (miền tam giác OAB, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Với các đỉnh $O(0;0),A(14;4),$$B(15;0).$

Gọi F là số tiền lãi (đơn vị: nghìn đồng) thu được, ta có: $F=200x+150y$

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:

Tại $O(0;0),$$F=200.0+150.0=0$

Tại $A(14;4),$$F=200.14+150.4=3400$

Tại $B(15;0),$$F=200.15+150.0=3000$

F đạt giá trị lớn nhất bằng $3400$ nghìn đồng tại $A(14;4).$

Vậy chủ nông trại đó nên làm 14 hũ loại A và 4 hũ loại B để tiền lãi thu được là lớn nhất.

Bài 6 trang 39 Toán 10 Tập 1: Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng A, B sản xuất hai loại sản phẩm X, Y. Để sản xuất một tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong 6 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày, máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày. Một tấn sản phẩm X lãi 10 triệu đồng và một tấn sản phẩm Y lãi 8 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất mỗi ngày sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.

Lời giải 

Gọi x, y lần lượt là số tấn sản phẩm X, Y mà xưởng cần sản xuất mỗi ngày.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

-          Hiển nhiên $x\ge 0,y\ge 0$

-          Máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày nên $6x+2y\le 12$

-          Máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày nên $2x+2y\le 8$

Từ đó ta có hệ bất phương trình:

$\{\begin{array}{l}6x+2y\le 12\\ 2x+2y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy.

Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Với các đỉnh $O(0;0),A(0;4),$$B(1;3),$$C(2;0).$

Gọi F là số tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) thu về, ta có: $F=10x+8y$

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:

Tại $O(0;0),$$F=10.0+8.0=0$

Tại $A(0;4):$$F=10.0+8.4=32$

Tại $B(1;3),$$F=10.1+8.3=34$

Tại $C(2;0).$$F=10.2+8.0=20$

F đạt giá trị lớn nhất bằng $34$ tại $B(1;3).$

Vậy xưởng đó nên sản xuất 1 tấn sản phầm loại X và 3 tấn sản phầm loại Y để tổng số tiền lãi là lớn nhất.

Xem thêm các bài giải SGK Toán học lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Hàm số và đồ thị

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế