Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Hoàng Huyền Trang Ngày: 08-02-2023 Lớp 10

647

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 1. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

HĐ Khởi động trang 74 Toán 10 Tập 1: Với số liệu đô được từ một bên bờ sông như hình vẽ bên, bạn hãy...

HĐ Khởi động trang 74 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

Lời giải

Kí hiệu 3 điểm A, B, C như hình dưới.

HĐ Khởi động trang 74 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

Mà $b = A C = 100, c = A B = 75, \hat{A} = 32^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow a^{2} = 100^{2} + 75^{2} - 2.100.75. \cos 32^{o} \approx 2904, 28 \\ \Leftrightarrow B C = a \approx 54 \end{array}$

Vậy khoảng cách giữa hai cây bên bờ sông là 54m.

1. Giải tam giác

Thực hành trang 75 Toán 10 Tập 1: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) $a = 17, 4; \hat{B} = 44^{o} 30^{'}; \hat{C} = 64^{o} .$

b) $a = 10; b = 6; c = 8.$

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lí sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$

b) Áp dụng hệ quả của định lí cosin: $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}; \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}; \cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$

Lời giải

a) Ta cần tính góc $\hat{A}$ và hai cạnh $b, c .$

Ta có: $\hat{A} = 180^{o} - \hat{B} - \hat{C} = 180^{o} - 44^{o} 30^{'} - 64^{o} = 71^{o} 30^{'} .$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \Rightarrow \frac{17, 4}{\sin 71^{o} 30^{'}} = \frac{b}{\sin 44^{o} 30^{'}} = \frac{c}{\sin 64^{o}} \\ \Rightarrow {\begin{cases} b = \sin 44^{o} 30^{'} . \frac{17, 4}{\sin 71^{o} 30^{'}} \approx 12, 86 \\ c = \sin 64^{o} . \frac{17, 4}{\sin 71^{o} 30^{'}} \approx 16, 5 \end{cases} \end{array}$

b) Ta cần tính số đo ba góc $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l} \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}; \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} \\ \Rightarrow \cos A = \frac{6^{2} + 8^{2} - 10^{2}}{2.6.8} = 0; \cos B = \frac{10^{2} + 8^{2} - 6^{2}}{2.10.8} = \frac{4}{5} \\ \Rightarrow \hat{A} = 90^{o}, \hat{B} = 36^{o} 52^{'} 11, 63^{″} \\ \Rightarrow \hat{C} = 53^{o} 7^{'} 48, 37^{″} \end{array}$

2. Áp dụng giải tam giác vào thực tế

Vận dụng 1 trang 76 Toán 10 Tập 1: Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với tốc độ 450 km/h theo hướng tây và chiếc còn lại di chuyển theo hướng lệch so với hướng bắc $25^{o}$ về phía tây với tốc độ 630 km/h (Hình 5). Sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu kilomet? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.

Vận dụng 1 trang 75 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1. Tính góc $\hat{B O A} = 90^{o} - 25^{o} .$

Bước 2: Áp dụng định lí cosin: $A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} - 2 O A . O B \cos O$

Lời giải

Ta có: $\hat{B O A} = 90^{o} - 25^{o} = 75^{o} .$

Sau 90 phút = 1,5 giờ:

Máy bay thứ nhất đi được quãng đường (OA) là: $450.1, 5 = 675 (k m)$

Máy bay thứ hai đi được quãng đường (OB) là: $630.1, 5 = 945 (k m)$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác OAB, ta có:

$\begin{array}{l} A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} - 2 O A . O B \cos O \\ \Leftrightarrow A B^{2} = 675^{2} + 945^{2} - 2.675.945 \cos 75^{o} \\ \Rightarrow A B \approx 1009, 2 \end{array}$

Vậy sau 90 phút, hai máy bay cách nhau khoảng 1009,2 km.

Câu hỏi trang 77 Toán 10

Vận dụng 2 trang 77 Toán 10 Tập 1: Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên Hình 6, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.

Vận dụng 2 trang 77 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng hệ quả của định lí cosin để tính các góc $\hat{C H L}, \hat{L H R}$ $\cos \hat{C H L} = \frac{C H^{2} + H L^{2} - C L^{2}}{2. C H . H L}; \cos \hat{L H R} = \frac{H L^{2} + H R^{2} - R L^{2}}{2. H L . H R}$

Bước 2: Áp dụng định lí cosin $C R^{2} = H C^{2} + H R^{2} - 2. H C . H R \cos \hat{C H R}$

Lời giải

Bước 1: Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác HCL, ta có: $\begin{array}{l} \cos \hat{C H L} = \frac{C H^{2} + H L^{2} - C L^{2}}{2. C H . H L} = \frac{78^{2} + 104^{2} - 49^{2}}{2.78.104} = \frac{4833}{5408} \\ \Rightarrow \hat{C H L} \approx 26^{o} 39^{'} 40, 05^{″} \end{array}$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác HLR, ta có: $\begin{array}{l} \cos \hat{L H R} = \frac{H L^{2} + H R^{2} - L R^{2}}{2. H L . H R} = \frac{104^{2} + 77^{2} - 56^{2}}{2.104.77} = \frac{13609}{16016} \\ \Rightarrow \hat{L H R} \approx 31^{o} 49^{'} 10, 4^{″} \\ \Rightarrow \hat{C H R} \approx 58^{o} 28^{'} 50, 45^{″} \end{array}$

Bước 2: Áp dụng định lí cosin $C R^{2} = H C^{2} + H R^{2} - 2. H C . H R \cos \hat{C H R}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow C R^{2} = 78^{2} + 77^{2} - 2.78.77 \cos 58^{o} 28^{'} 50, 45^{″} \\ \Rightarrow C R \approx 75, 72 \end{array}$

Vậy khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá là 75, 72 km.

Bài tập

Bài 1 trang 77 Toán 10 Tập 1: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) $A B = 14, A C = 23, \hat{A} = 125^{o} .$

b) $B C = 22, 4; \hat{B} = 64^{o}; \hat{C} = 38^{o} .$

c) $A C = 22, \hat{B} = 120^{o}, \hat{C} = 28^{o} .$

d) $A B = 23, A C = 32, B C = 44$

Lời giải a

a) $A B = 14, A C = 23, \hat{A} = 125^{o} .$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính BC: Áp dụng định lí cosin: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A B . A C . \cos A$

Bước 2: Tính góc B, C:

Cách 1: Áp dụng định lí sin: $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C}$

Cách 2: Áp dụng hệ quả của định lí cosin: $\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}; \cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$

Lời giải

Ta cần tính cạnh BC và hai góc $\hat{B}, \hat{C} .$

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l} B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A B . A C . \cos A \\ \Leftrightarrow B C^{2} = 14^{2} + 23^{2} - 2.14.23. \cos 125^{o} \\ \Rightarrow B C \approx 33 \end{array}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} \Leftrightarrow \frac{33}{\sin 125^{o}} = \frac{23}{\sin B} = \frac{14}{\sin C} \\ \Rightarrow \sin B = \frac{23. \sin 125^{o}}{33} \approx 0, 57 \\ \Rightarrow \hat{B} \approx 35^{o} \Rightarrow \hat{C} \approx 20^{o} \end{array}$

Lời giải b

b) $B C = 22, 4; \hat{B} = 64^{o}; \hat{C} = 38^{o} .$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính góc A

Bước 2: Tính cạnh AB, AC: Áp dụng định lí sin: $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C}$

Lời giải

Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, AC.

Ta có: $\hat{A} = 180^{o} - \hat{B} - \hat{C} = 180^{o} - 64^{o} - 38^{o} = 78^{o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} \Leftrightarrow \frac{22}{\sin 78^{o}} = \frac{A C}{\sin 64^{o}} = \frac{A B}{\sin 38^{o}} \\ \Rightarrow {\begin{cases} A C = \sin 64^{o} . \frac{22}{\sin 78^{o}} \approx 20, 22 \\ A B = \sin 38^{o} . \frac{22}{\sin 78^{o}} \approx 13, 85 \end{cases} \end{array}$

Lời giải c

c) $A C = 22, \hat{B} = 120^{o}, \hat{C} = 28^{o} .$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính góc A

Bước 2: Tính cạnh AB, BC: Áp dụng định lí sin: $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C}$

Lời giải

Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, BC.

Ta có: $\hat{A} = 180^{o} - \hat{B} - \hat{C} = 180^{o} - 120^{o} - 28^{o} = 32^{o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} \Leftrightarrow \frac{B C}{\sin 32^{o}} = \frac{22}{\sin 120^{o}} = \frac{A B}{\sin 28^{o}} \\ \Rightarrow {\begin{cases} B C = \sin 32^{o} . \frac{22}{\sin 120^{o}} \approx 13, 5 \\ A B = \sin 28^{o} . \frac{22}{\sin 120^{o}} \approx 12 \end{cases} \end{array}$

Lời giải d

d) $A B = 23, A C = 32, B C = 44$

Phương pháp giải:

Tìm các góc: Áp dụng hệ quả của định lí cosin:

${\begin{cases} \cos A = \frac{A C^{2} + A B^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C}; \\ \cos B = \frac{B C^{2} + A B^{2} - A C^{2}}{2. B C . B A}; \\ \cos C = \frac{C A^{2} + C B^{2} - A B^{2}}{2. C A . C B} \end{cases}$

Lời giải

Ta cần tính số đo ba góc $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l} \cos A = \frac{A C^{2} + A B^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C}; \cos B = \frac{B C^{2} + A B^{2} - A C^{2}}{2. B C . B A} \\ \Rightarrow \cos A = \frac{32^{2} + 23^{2} - 44^{2}}{2.32.23} = \frac{- 383}{1472}; \cos B = \frac{44^{2} + 23^{2} - 32^{2}}{2.44.23} = \frac{131}{184} \\ \Rightarrow \hat{A} \approx 105^{o}, \hat{B} = 44^{o} 36^{'} \\ \Rightarrow \hat{C} = 30^{o} 24^{'} \end{array}$

Bài 2 trang 77 Toán 10 Tập 1: Để lắp đường dây diện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là . Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B.

Bài 2 trang 77 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải

Bước 1: Tính cạnh AB: Áp dụng định lí cosin: $A B^{2} = B C^{2} + A C^{2} - 2. B C . A C . \cos C$

Bước 2: Tính chiều dài tăng thêm, bằng $A C + C B - A B$

Lời giải

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l} A B^{2} = B C^{2} + A C^{2} - 2. B C . A C . \cos C \\ \Leftrightarrow A B^{2} = 8^{2} + 10^{2} - 2.8.10. \cos 70^{o} \\ \Rightarrow A B \approx 10, 45 \end{array}$

Vậy chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp là:

$A C + C B - A B = 10 + 8 - 10, 45 = 7, 55 (k m) .$

Bài 3 trang 77 Toán 10 Tập 1: Một người đứng cách thân một các quạt gió 16 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng (Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 1,5m.

Bài 3 trang 77 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải

Kí hiệu các điểm A, B, C như hình dưới.

Bài 3 trang 77 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Cách 1:Tính góc B rồi áp dụng định lí sin để tính BC: $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A B}{\sin B}$

Cách 2: $\tan A = \frac{B C}{A C} \Rightarrow B C = A C . \tan A$ $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B}$

Lời giải

Kí hiệu các điểm A, B, C như hình dưới.

Bài 3 trang 77 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 3)

Cách 1:

Ta có: $\hat{B} = 90^{o} - 56, 5^{o} = 33, 5^{o}$

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B}$

$\Rightarrow B C = \sin A . \frac{A C}{\sin B} = \sin 56, 5^{o} . \frac{16}{\sin 33, 5^{o}} \approx 24, 2 (m)$

Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là $24, 2 + 1, 5 = 15, 7 (m)$

Cách 2:

$\tan A = \frac{B C}{A C} \Rightarrow B C = A C . \tan A = 16. \tan 56, 5^{o} \approx 24, 2$

Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là $24, 2 + 1, 5 = 15, 7 (m)$

Câu hỏi trang 78 Toán 10

Bài 4 trang 78 Toán 10 Tập 1: Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là và (Hình 9).

Bài 4 trang 78 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải

Bước 1: Tính AB theo tan góc đối bằng 2 cách (đưa vào hai tam giác ABC và ADB)

Bước 2: Giải phương trình ẩn x, từ đó suy ra AB.

Lời giải

Tam giác ABC vuông tại B nên ta có: $\tan C = \frac{A B}{C B} \Leftrightarrow A B = \tan 32^{\circ} . (1 + x)$

Tam giác ADB vuông tại B nên ta có: $\tan D = \frac{A B}{D B} \Leftrightarrow A B = \tan 40^{\circ} . x$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \tan 32^{\circ} . (1 + x) = \tan 40^{\circ} . x \\ \Leftrightarrow x . (\tan 40^{\circ} - \tan 32^{\circ}) = \tan 32^{\circ} \\ \Leftrightarrow x = \frac{\tan 32^{\circ}}{\tan 40^{\circ} - \tan 32^{\circ}} \\ \Leftrightarrow x \approx 2, 9 (k m) \end{array}$

$\Rightarrow A B \approx \tan 40^{\circ} .2, 92 \approx 2, 45 (k m)$

Vậy chiều cao của ngọn núi là 2,45 km.

Bài 5 trang 78 Toán 10 Tập 1: Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng so với phương ngang, cách nhau 60 m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là . Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là . Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.

Bài 5 trang 78 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải

Kí hiệu điểm A là vị trí khinh khí cầu.

Bước 1: Tính góc P, Q, A trong tam giác APQ.

Bước 2: Áp dụng định lí sin, tính QA

Lời giải

Bài 5 trang 78 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Gọi A là vị trí của khinh khí cầu, Pt là đường sườn đồi như hình.

Ta có:

Tại P, góc nâng của khinh khí cầu là $62^{\circ}$ $\Rightarrow \hat{P} = 62^{\circ} - 32^{\circ} = 30^{\circ}$

Tại Q, góc nâng của khinh khí cầu là $70^{\circ}$ $\Rightarrow \hat{A Q t} = 70^{\circ} - 32^{\circ} = 38^{\circ}$

$\Rightarrow \hat{A Q P} = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ}$ và $\hat{A} = 180^{\circ} - 142^{\circ} - 30^{\circ} = 8^{\circ}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác APQ, ta có:

$\begin{array}{l} \frac{P Q}{\sin A} = \frac{Q A}{\sin P} \\ \Rightarrow Q A = \sin P . \frac{P Q}{\sin A} = \sin 30^{\circ} . \frac{60}{\sin 8^{\circ}} \approx 215, 56 (m) \end{array}$

Vậy khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu là 215,56 m.

Bài 6 trang 78 Toán 10 Tập 1: Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt dất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là , góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là và đến điểm mốc khác là (Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.

Bài 6 trang 78 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải
Bài 6 trang 78 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Bước 1: Kí hiệu các điểm A, B, C, H như hình trên.

Bước 2: Tính AB, AC bằng cách gắn vào tam giác ABH và ACH.

Bước 3: Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A B . A C . \cos A$

Lời giải

Bài 6 trang 78 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo (ảnh 3)

Gọi các điểm A, B, C, H như hình trên.

Xét tam giác ABH ta có:

$A H = 352, \hat{B A H} = 62^{\circ}$

Mà $\cos \hat{B A H} = \frac{A H}{A B} \Rightarrow A B = 352. \cos 62^{\circ} \approx 165, 25$

Tương tự, ta có: $\cos \hat{C A H} = \frac{A H}{A C} \Rightarrow A C = 352. \cos 54^{\circ} \approx 206, 9$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\begin{array}{l} B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A B . A C . \cos A \\ \Leftrightarrow B C^{2} = 165, 25^{2} + 206, 9^{2} - 2.165, 25.206, 9. \cos 43^{\circ} \\ \Rightarrow B C \approx 141, 8 \end{array}$