Với Giải trang 28 SBT Toán lớp 11 trong Bài tập cuối chương 1 trang 25 Sách bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

 SBT Toán 11 trang 28 Tập 1 (Kết nối tri thức)

Bài 1.49 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 3cos x – 1 = 0 bằng

A. S = 2π.

B. S = 0.

C. S = 4π.

D. S = 3π.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có 3cos x – 1 = 0 $\iff \cos x=\frac{1}{3}$$\iff \cos x\approx \cos \left(\mathrm{0,392}\pi \right)$

Mà x ∈ (0; 2π) nên x ≈ 0,392π hoặc x ≈ – 0,392π + 2π.

 Vậy tổng các nghiệm cần tìm là S = 0,392π + (– 0,392π + 2π) = 2π.

Bài 1.50 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau khi và chỉ khi

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Giá trị của hai hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau khi và chỉ khi sin 3x = sin x

B. TỰ LUẬN

Bài 1.51 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau và tính các giá trị lượng giác của chúng.

a) $\frac{23\pi }{4}$;                          b) $\frac{31\pi }{6}$;                          c) – 1 380°.

Lời giải:

a) Ta có $\frac{23\pi }{4}=6\pi -\frac{\pi }{4}$. Góc $\frac{23\pi }{4}$ được biểu diễn bởi điểm $M\left(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy $\sin \frac{23\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2};\cos \frac{23\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $\tan \frac{23\pi }{4}=\cot \frac{23\pi }{4}=-1$.

b) Ta có $\frac{31\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}+4\pi$. Góс $\frac{31\pi }{6}$ được biểu diễn bởi điểm $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)$> trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy $\sin \frac{31\pi }{6}=-\frac{1}{2};\cos \frac{31\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\tan \frac{31\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\cot \frac{31\pi }{6}=\sqrt{3}$. 

c) Ta có – 1 380° = − 4 . 360° + 60°. Góc –1 380° được biểu diễn bởi điểm $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy sin(– 1 380°) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; cos(– 1 380°) = $\frac{1}{2}$; tan(– 1 380°) = $\sqrt{3}$ và cot(– 1 380°) = $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Bài 1.52 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện Thành phố Hà Nội theo thứ tự dài 1,75 m và 1,26 m. Hỏi trong 15 phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét? Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ.

Lời giải:

+) Trong 15 phút thì mũi kim phút vạch nên một cung tròn có độ dài bằng $\frac{1}{4}$ độ dài đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng

$\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot R=\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot \mathrm{1,75}=\frac{7\pi }{8}\approx \mathrm{2,75}\left(m\right)$.

+) Trong 15 phút thì mũi kim giờ vạch nên một cung tròn có độ dài bằng $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{48}$ đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng

$\frac{1}{48}\cdot 2\pi \cdot R^{\text{'}}=\frac{1}{48}\cdot 2\pi \cdot \mathrm{1,26}=\frac{21\pi }{400}\approx \mathrm{0,16}\left(m\right)$.

Bài 1.53 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Huyện lị Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện lị Cái Nước tỉnh Cà Mau cùng nằm ở 105° kinh đông, nhưng Quản Bạ ở 23° vĩ bắc, Cái Nước ở vĩ độ 9° bắc. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị đó (khoảng cách theo đường chim bay), coi Trái Đất có bán kính 6 378 km.

Lời giải:

Góc ở tâm chắn cung kinh tuyến nối huyện Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện Cái Nước tỉnh Cà Mau có số đo bằng 23° – 9° = 14°.

Vậy độ dài cung kinh tuyến đó bằng $\frac{6378\cdot 14\cdot \pi }{180}\approx 1558\left(km\right)$.

Bài 1.54 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos α = $\frac{3}{4}$, sin α > 0; sin β = $\frac{3}{5}$, $\beta \in \left(\frac{9\pi }{2};5\pi \right)$. Hãy tính cos 2α, sin 2α, cos 2β, sin 2β, cos (α + β), sin (α – β).

Lời giải:

Ta có cos 2α = 2 cos² α – 1 = $2.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2-1=\frac{1}{8}$.

Ta có sin² α = 1 – cos² a = $1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2$= $\frac{7}{16}$.  

Lại do sin α > 0 nên sin α = $\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Suy ra sin 2α = 2 sin α cos α = $2.\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$.

Ta có cos 2β = 1 – 2 sin² β = $1-2.{\left(\frac{3}{5}\right)}^2$ = $\frac{7}{25}$.

Ta có cos² β = 1 – sin² β = $1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2$= $\frac{16}{25}$.

Lại do $\beta \in \left(\frac{9\pi }{2};5\pi \right)$ nên cos β < 0, do đó $\cos \beta =-\frac{4}{5}$.

Suy ra sin 2β = 2 sin β cos β = $2.\frac{3}{5}.\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}$.

Ta có 

cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β = $\frac{3}{4}.\left(-\frac{4}{5}\right)-\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{3}{5}=\frac{-12-3\sqrt{7}}{20}$.

sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β = $\frac{\sqrt{7}}{4}.\left(-\frac{4}{5}\right)-\frac{3}{4}.\frac{3}{5}=\frac{-9-4\sqrt{7}}{20}$.

Bài 1.55 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau

a) $\frac{\sin \left(45°+\alpha \right)-\cos \left(45°+\alpha \right)}{\sin \left(45°+\alpha \right)+\cos \left(45°+\alpha \right)}$;

b) $\frac{\sin 2\alpha +\sin \alpha }{1+\cos 2\alpha +\cos \alpha }$;

c) $\frac{1+\cos \alpha -\sin \alpha }{1-\cos \alpha -\sin \alpha }$;

d) $\frac{\sin \alpha +\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{\cos \alpha +\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }$.

Lời giải:

a) $\frac{\sin \left(45°+\alpha \right)-\cos \left(45°+\alpha \right)}{\sin \left(45°+\alpha \right)+\cos \left(45°+\alpha \right)}$

$=\frac{\left(\sin 45°\cos \alpha +\cos 45°\sin \alpha \right)-\left(\cos 45°\cos \alpha -\sin 45°\sin \alpha \right)}{\left(\sin 45°\cos \alpha +\cos 45°\sin \alpha \right)+\left(\cos 45°\cos \alpha -\sin 45°\sin \alpha \right)}$

$=\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha \right)-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha \right)}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha \right)+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha \right)}$

$=\frac{\sqrt{2}\sin \alpha }{\sqrt{2}\cos \alpha }=\tan \alpha$.

b) $\frac{\sin 2\alpha +\sin \alpha }{1+\cos 2\alpha +\cos \alpha }$

$=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha +\sin \alpha }{1+\left(2{\cos }^2\alpha -1\right)+\cos \alpha }$

$=\frac{2\sin \alpha \left(\cos \alpha +1\right)}{2\cos \alpha \left(\cos \alpha +1\right)}$

$=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha$.

c) $\frac{1+\cos \alpha -\sin \alpha }{1-\cos \alpha -\sin \alpha }$

$=\frac{1+\left(2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-1\right)-2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{1-\left(1-2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}\right)-2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}$

$=\frac{2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}-2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}$

$=\frac{2\cos \frac{\alpha }{2}\left(\cos \frac{\alpha }{2}-\sin \frac{\alpha }{2}\right)}{2\sin \frac{\alpha }{2}\left(\sin \frac{\alpha }{2}-\cos \frac{\alpha }{2}\right)}$

$=-\frac{\cos \frac{\alpha }{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}}=-\cot \frac{\alpha }{2}$.

d) $\frac{\sin \alpha +\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{\cos \alpha +\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }$

$=\frac{\left(\sin 5\alpha +\sin \alpha \right)+\sin 3\alpha }{\left(\cos 5\alpha +\cos \alpha \right)+\cos 3\alpha }$

$=\frac{2\sin \frac{5\alpha +\alpha }{2}\cos \frac{5\alpha -\alpha }{2}+\sin 3\alpha }{2\cos \frac{5\alpha +\alpha }{2}\cos \frac{5\alpha -\alpha }{2}+\cos 3\alpha }$

$=\frac{2\sin 3\alpha \cos 2\alpha +\sin 3\alpha }{2\cos 3\alpha \cos 2\alpha +\cos 3\alpha }$

$=\frac{\sin 3\alpha \left(2\cos 2\alpha +1\right)}{\cos 3\alpha \left(2\cos 2\alpha +1\right)}$

$=\frac{\sin 3\alpha }{\cos 3\alpha }=\tan 3\alpha$.

Bài 1.56 trang 28 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

a) $A=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$;

b) $B=\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)-\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$;

c) $C={\sin }^{2}x+\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$;

d) $D=\frac{1-\cos 2x+\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}.\cot x$.

Lời giải:

a) Cách 1:

$A=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$

$=\left(\sin \frac{\pi }{4}\cos x+\cos \frac{\pi }{4}\sin x\right)-\left(\cos \frac{\pi }{4}\cos x+\sin \frac{\pi }{4}\sin x\right)$

$=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)=0\forall x$.

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

Cách 2:

$A=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$

$=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)=0\forall x$.

Vậy biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.

b) $B=\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)-\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$

$=\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)=0\forall x$.

Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.

c) $C={\sin }^{2}x+\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$

$={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(\cos \frac{2\pi }{3}+\cos \left(-2x\right)\right)$

$={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\cos 2x\right)$

$={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-2{\sin }^{2}x\right)$

$={\sin }^{2}x+\frac{1}{4}-{\sin }^{2}x=\frac{1}{4}\forall x$.

Vậy biểu thức C không phụ thuộc vào biến x.

d) $D=\frac{1-\cos 2x+\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}.\cot x$

$=\frac{1-\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+2\sin x\cos x}{1+\left(2{\cos }^{2}x-1\right)+2\sin x\cos x}.\cot x$

$=\frac{2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x}{2{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x}.\cot x$

$=\frac{2\sin x\left(\sin x+\cos x\right)}{2\cos x\left(\cos x+\sin x\right)}.\cot x$

$=\frac{\sin x}{\cos x}.\cot x=\tan x.\cot x=1\forall x$.

Vậy biểu thức D không phụ thuộc vào biến x.