Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p: y = sin x

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p: y = sin x – cos x

Ngọc Nguyễn Ngày: 13-03-2024 Lớp 11

285

Với Giải Bài 1.59 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 1 trang 25 Sách bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p: y = sin x – cos x

Bài 1.59 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p

a) y = sin x – cos x;

b) y = sin x + sin $(\frac{π}{3} - x)$ ;

c) y = sin⁴ x + cos⁴ x;

d) y = cos 2x + 2cos x – 1.

Lời giải:

a) Ta có y = sin x – cos x = $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ .

Vì $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{4}) \leq 1$ nên $- \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) \leq \sqrt{2}$ , với mọi $x \in ℝ$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$ , đạt được khi $\sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow x = \frac{3 π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$ >.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \sqrt{2}$ , đạt được khi $\sin (x - \frac{π}{4}) = - 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

b) Ta có y = sin x + sin $(\frac{π}{3} - x)$ $= 2 \sin \frac{x + \frac{π}{3} - x}{2} \cos \frac{x - \frac{π}{3} + x}{2}$

$= 2 \sin \frac{π}{6} \cos (x - \frac{π}{6})$ $= 2. \frac{1}{2} \cos (x - \frac{π}{6}) = \cos (x - \frac{π}{6})$ .

Ta có $- 1 \leq \cos (x - \frac{π}{6}) \leq 1 \forall x \in ℝ$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi $\cos (x - \frac{π}{6}) = 1$ $\Leftrightarrow x - \frac{π}{6} = k 2 π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + k 2 π (k \in ℤ)$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi $\cos (x - \frac{π}{6}) = - 1$ $\Leftrightarrow x - \frac{π}{6} = π + k 2 π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow x = \frac{7 π}{6} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

c) Ta có y = sin⁴ x + cos⁴ x = (sin² x + cos² x)² – 2sin² x cos² x

= 1 – 2 (sin x cos x)² = $1 - 2. {(\frac{\sin 2 x}{2})}^{2}$ = $1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x$

= $1 - \frac{1}{2} . \frac{1 - \cos 4 x}{2}$ = $1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x$ = $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x$ .

Vì – 1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên $- \frac{1}{4} \leq \frac{1}{4} \cos 4 x \leq \frac{1}{4}$ , do đó $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

hay $\frac{1}{2} \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x \leq 1 \forall x \in ℝ$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos 4x = 1 ⇔ 4x = k2π (k ∈ ℤ)

$\Leftrightarrow x = k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{1}{2}$ , đạt được khi cos 4x = – 1 ⇔ 4x = π + k2π (k ∈ ℤ)

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .

d) Ta có y = cos 2x + 2cos x − 1

= (2cos² x – 1) + 2cos x – 1

= 2cos² x + 2cos x – 2

= 2t² + 2t – 2 với t = cos x ∈ [– 1; 1].

Xét hàm số y = 2t² + 2t – 2 trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.

SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 1 trang 25 (ảnh 9)

Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \frac{5}{2}$ , đạt được khi $\cos x = - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x = \pm \frac{2 π}{3} + k 2 π (k \in ℤ)$ .