Với Giải trang 30 SBT Toán lớp 11 trong Bài tập cuối chương 1 trang 25 Sách bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

 SBT Toán 11 trang 30 Tập 1 (Kết nối tri thức)

Bài 1.63 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) sin 5x + cos 5x = – 1;

b) cos 3x – cos 5x = sin x;

c) 2 cos² x + cos 2x = 2;

d) sin⁴ x + cos⁴ x = $\frac{1}{2}$sin² 2x.

Lời giải:

a) Ta có sin 5x + cos 5x = – 1

$\iff \sqrt{2}\sin \left(5x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$

$\iff \sin \left(5x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \sin \left(5x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$

b) Ta có cos 3x – cos 5x = sin x

$\iff -2\sin \frac{3x+5x}{2}\sin \frac{3x-5x}{2}=\sin x$

$\iff -2\sin 4x\sin \left(-x\right)=\sin x$

$\iff 2\sin 4x\sin x-\sin x=0$

$\iff \sin x\left(2\sin 4x-1\right)=0$

+ Với sin x = 0 ta được x = kπ (k ∈ ℤ).

+ Với $\sin 4x=\frac{1}{2}$$\iff \sin 4x=\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)$

c) Ta có 2 cos² x + cos 2x = 2

⇔ (2 cos² x – 1) + cos 2x = 1

⇔ cos 2x + cos 2x = 1

⇔ 2cos 2x = 1

⇔ cos 2x = $\frac{1}{2}$

⇔ cos 2x = $\cos \frac{\pi }{3}$

⇔ 2x = $\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

d) Ta có sin⁴ x + cos⁴ x = $\frac{1}{2}$sin² 2x

$\iff {\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$

$\iff 1-\frac{1}{2}{\left(2\sin x\cos x\right)}^2=\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$

$\iff 1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$

$\iff {\sin }^{2}2x=1$

$\iff \cos 2x=0$  (do sin² 2x + cos² 2x = 1)

$\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 1.64 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Một thanh xà gồ hình hộp chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 30 cm.

a) Chứng minh rằng diện tích mặt cắt của thanh xà gồ được tính bởi công thức

S(θ) = 450 sin 2θ (cm²),

ở đó góc θ được chỉ ra trong hình vẽ dưới đây.

b) Tìm góc θ để diện tích mặt cắt của thanh xà gồ là lớn nhất.

Lời giải:

a) Mặt cắt của thanh xà gồ (hình dưới) là hình chữ nhật có hai kích thước là

AB = 30cos θ và BC = 30sin θ.

Vậy diện tích mặt cắt là S = AB ∙ BC = 30cos θ ∙ 30sin θ = 450sin 2θ.

b) Vì – 1 ≤ sin 2θ ≤ 1 nên ta có S = 450sin 2θ ≤ 450.

Vậy diện tích mặt cắt của thanh xà gồ lớn nhất khi sin 2θ = 1 hay góc θ = 45°.

Bài 1.65 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1: Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hóa bởi hàm số

$P\left(t\right)=100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)$

ở đó P(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian t tính theo giây.

a) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 mmHg

Lời giải:

a) Huyết áp là 100 mmHg khi

$P\left(t\right)=100\iff 100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=100$

$\iff \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=0$$\iff \frac{7\pi }{3}t=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff t=\frac{3k}{7}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Xét 0 < t < 1 $\iff 0<\frac{3k}{7}<1\iff 0<k<\frac{7}{3}$. Suy ra k ∈ {1; 2} vì k ∈ ℤ.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 2 lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Huyết áp là 120 mmHg khi

$P\left(t\right)=120\iff 100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=120$

$\iff \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=1$$\iff \frac{7\pi }{3}t=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff t=\frac{3}{14}+\frac{6k}{7}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Xét 0 < t < 1 $\iff 0<\frac{3}{14}+\frac{6k}{7}<1\iff -\frac{1}{4}<k<\frac{11}{12}$. Suy ra k = 0 vì k ∈ ℤ.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 1 lần huyết áp là 120 mmHg.

a) Huyết áp là 100 mmHg khi

$P\left(t\right)=100\iff 100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=100$

$\iff \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=0$$\iff \frac{7\pi }{3}t=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff t=\frac{3k}{7}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Xét 0 < t < 1 $\iff 0<\frac{3k}{7}<1\iff 0<k<\frac{7}{3}$. Suy ra k ∈ {1; 2} vì k ∈ ℤ.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 2 lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Huyết áp là 120 mmHg khi

$P\left(t\right)=120\iff 100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=120$

$\iff \sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)=1$$\iff \frac{7\pi }{3}t=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$$\iff t=\frac{3}{14}+\frac{6k}{7}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Xét 0 < t < 1 $\iff 0<\frac{3}{14}+\frac{6k}{7}<1\iff -\frac{1}{4}<k<\frac{11}{12}$. Suy ra k = 0 vì k ∈ ℤ.

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 1 lần huyết áp là 120 mmHg.