Tính các giới hạn sau: lim x-->2 căn 4x + 1 -3 / x-2

Với Giải Bài 5.12 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1 trong Bài 16: Giới hạn của hàm số Sách bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

Tính các giới hạn sau: lim x-->2 căn 4x + 1 -3 / x-2

Bài 5.12 trang 83 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 3}{x - 2}$ ;

b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + x^{2} + x - 3}{x^{3} - 1}$ ;

c) $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{{(x - 2)}^{2}}$ ;

d) $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} + x - 2}{x}$ .

Lời giải:

a) $\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{4 x + 1} - 3}{x - 2}$ $= \lim_{x \to 2} \frac{4 x + 1 - 3^{2}}{(x - 2) (\sqrt{4 x + 1} + 3)}$

$= \lim_{x \to 2} \frac{4 (x - 2)}{(x - 2) (\sqrt{4 x + 1} + 3)} = \lim_{x \to 2} \frac{4}{\sqrt{4 x + 1} + 3} = \frac{2}{3}$ .

b) $\lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + x^{2} + x - 3}{x^{3} - 1}$ $= \lim_{x \to 1} \frac{(x^{3} - 1) + (x^{2} - 1) + (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1) ((x^{2} + x + 1) + (x + 1) + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$ $= \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x^{2} + x + 1} = \frac{1 + 2 + 3}{1 + 1 + 1} = 2$ .

c) $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{{(x - 2)}^{2}}$ $= \lim_{x \to 2^{+}} \frac{(x - 2) (x - 3)}{{(x - 2)}^{2}} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 3}{x - 2}$ .

Vì $\lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) = 0, \lim_{x \to 2^{+}} (x - 3) = 2 - 3 = - 1 < 0$ và x – 2 > 0 khi x → 2⁺, nên $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 3}{x - 2} = - \infty$ .

Vậy $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{{(x - 2)}^{2}} = - \infty$ .

d) $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} + x - 2}{x}$

Vì $\lim_{x \to 0^{-}} (x^{2} + x - 2) = 0 + 0 - 2 = - 2 < 0$ , $\lim_{x \to 0^{-}} x = 0$ và x < 0 nên $\lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2} + x - 2}{x} = + \infty$ .