Với Giải trang 31 Tập 1 SBT Toán lớp 11 trong Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản Sách bài tập Toán lớp 11 Cánh Diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

SBT Toán 11 trang 31 Tập 1 (Cánh Diều)

Bài 60 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Giải phương trình:

a) $\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ ;

b) $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$ ;

c) ${\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)={\sin }^2\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$ ;

d) ${\cos }^2\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)={\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ ;

e) cos x + sin x = 0;

g) sin x – $\sqrt{3}$ cos x = 0.

Lời giải:

a) $\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

b)  $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$

c)  ${\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)={\sin }^2\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)$

 $\iff \frac{1-\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)}{2}=\frac{1-\cos \left(4x+\pi \right)}{2}$(Sử dụng công thức hạ bậc)

$\iff \cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(4x+\pi \right)$.

$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

d)  ${\cos }^2\left(2x+\frac{\pi }{2}\right)={\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff \frac{1+\cos \left(4x+\pi \right)}{2}=\frac{1-\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)}{2}$    (sử dụng công thức hạ bậc)

$\iff \cos \left(4x+\pi \right)=-\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$

$\iff \cos \left(4x+\pi \right)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}+\pi \right)$    (sử dụng quan hệ hơn kém π)

$\iff \cos \left(4x+\pi \right)=\cos \left(2x+\frac{4\pi }{3}\right)$

e) cos x + sin x = 0

⇔ cos x = – sin x

⇔ tan x = – 1

$\iff x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$. 

g) sin x – $\sqrt{3}$ cos x = 0

$\iff \frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=0$

$\iff \sin x\cos \frac{\pi }{3}-\cos x\sin \frac{\pi }{3}=0$

$\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=0$

$\iff x-\frac{\pi }{3}=k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 61 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Dùng đồ thị hàm số y = sin x, y = cos x để xác định số nghiệm của phương trình:

a) 5sin x – 3 = 0 trên đoạn [– π; 4π];

b) $\sqrt{2}$ cos x + 1 = 0 trên khoảng (– 4π; 0).

Lời giải:

a) Ta có 5sin x – 3 = 0 $\iff \sin x=\frac{3}{5}$ .

Do đó, số nghiệm của phương trình 5sin x – 3 = 0 trên đoạn [– π; 4π] bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [– π; 4π] và đường thẳng $\iff \sin x=\frac{3}{5}$ .

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [– π; 4π] và đường thẳng $y=\frac{3}{5}$  cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình 5sin x – 3 = 0 có 4 nghiệm trên đoạn [– π; 4π].

b) Ta có $\sqrt{2}$ cos x + 1 = 0 $\iff \cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Do đó, số nghiệm của phương trình $\sqrt{2}$ cos x + 1 = 0 trên đoạn (– 4π; 0) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn (– 4π; 0) và đường thẳng $y=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn (– 4π; 0) và đường thẳng $y=-\frac{1}{\sqrt{2}}$  cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $\sqrt{2}$ cos x + 1 = 0 có 4 nghiệm trên khoảng (– 4π; 0).

Bài 62 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Mực nước cao nhất tại một cảng biển là 16 m khi thủy triều lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là 10 m. Đồ thị ở Hình 15 mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước h (m) theo thời gian t (h) (0 ≤ t ≤ 24) được cho bởi công thức $h=m+a\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$  với m, a là các số thực dương cho trước.

a) Tìm m, a.

b) Tìm thời điểm trong ngày khi chiều cao của mực nước là 11,5 m.

Lời giải:

a) Ta có $h=m+a\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ .

Vì $-1\le \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)\le 1$  với mọi 0 ≤ t ≤ 24 nên $m-a\le m+a\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)\le m+a$ .

Do vậy chiều cao của mực nước cao nhất bằng m + a khi $\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=1$  và thấp nhất bằng m – a khi $\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-1$ .

Theo giả thiết, ta có: 

Vậy m = 13 và a = 3.

b) Từ câu a) ta có công thức $h=13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ .

Do chiều cao của mực nước là 11,5 m nên $13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=\mathrm{11,5}$ $\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-\frac{1}{2}$ 

$\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$

Mà 0 ≤ t ≤ 24 nên t = 8 và t = 16.

Vậy ứng với hai thời điểm trong ngày là t = 8 (h) và t = 16 (h) thì chiều cao của mực nước là 11,5 m.a