Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu giải Sách bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 11 Bài 32.

SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 9.8 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x + 1)²(x² – 1);

b) $y={\left(x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^3$ .

Lời giải:

a) Ta có: y' = ((x + 1)²)'(x² – 1) + (x + 1)²(x² – 1)'

= 2(x + 1)(x² – 1) + 2x(x + 1)²

= 2x³ – 2x + 2x² – 2 + 2x³ + 4x² + 2x = 4x³ + 6x² – 2.

Vậy y' = 4x³ + 6x² – 2.

b) $y^{\text{'}}=3{\left(x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^2{\left(x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^{\text{'}}$

$=3{\left(x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^2\left(2x+\frac{1}{x\sqrt{x}}\right)$.

Bài 9.9 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2-x+1}{x+2}$ ;

b) $y=\frac{1-x^2}{x^2+1}$ .

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}={\left(\frac{x^2-x+1}{x+2}\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{{\left(x^2-x+1\right)}^{\text{'}}\cdot \left(x+2\right)-\left(x^2-x+1\right)\cdot {\left(x+2\right)}^{\text{'}}}{{\left(x+2\right)}^2}$

$=\frac{\left(2x-1\right)\cdot \left(x+2\right)-\left(x^2-x+1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}$

$=\frac{2x^2+3x-2-x^2+x-1}{{\left(x+2\right)}^2}$$=\frac{x^2+4x-3}{{\left(x+2\right)}^2}$.

Vậy $y^{\text{'}}=\frac{x^2+4x-3}{{\left(x+2\right)}^2}$ .

b) $y^{\text{'}}={\left(\frac{1-x^2}{x^2+1}\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{{\left(1-x^2\right)}^{\text{'}}\cdot \left(x^2+1\right)-\left(1-x^2\right)\cdot {\left(x^2+1\right)}^{\text{'}}}{{\left(x^2+1\right)}^2}$

$=\frac{\left(-2x\right)\cdot \left(x^2+1\right)-\left(1-x^2\right)\cdot \left(2x\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$

$=\frac{-2x^3-2x-\left(2x-2x^3\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$$=\frac{-4x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$.

Bài 9.10 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$ và $g\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+x^2$ . Tính f'(0) – g'(1).

Lời giải:

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\right)}^{\text{'}}$$=\frac{x^{\text{'}}\cdot \sqrt{4-x^2}-x\cdot {\left(\sqrt{4-x^2}\right)}^{\text{'}}}{4-x^2}$

$=\frac{\sqrt{4-x^2}-x\cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}}{4-x^2}$$=\frac{\sqrt{4-x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}}{4-x^2}$

$=\frac{4-x^2+x^2}{\left(4-x^2\right)\sqrt{4-x^2}}$$=\frac{4}{\left(4-x^2\right)\sqrt{4-x^2}}$.

Khi đó $f^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{4}{\left(4-0\right)\sqrt{4-0}}=\frac{1}{2}$ .

Có $g^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+x^2\right)}^{\text{'}}$$={\left(\frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}+{\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{\text{'}}+{\left(x^2\right)}^{\text{'}}$$=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2x\sqrt{x}}+2x$ .

Khi đó $g^{\text{'}}\left(1\right)=-\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2.1\sqrt{1}}+2\cdot 1=\frac{1}{2}$ .

Do đó f'(0) – g'(1) = $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ . Vậy f'(0) – g'(1) = 0.

Bài 9.11 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=3\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-2\cot \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$ .

Lời giải:

Có $y^{\text{'}}={\left(3\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-2\cot \left(\frac{\pi }{4}-x\right)\right)}^{\text{'}}$

$={\left(3\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right)}^{\text{'}}-{\left(2\cot \left(\frac{\pi }{4}-x\right)\right)}^{\text{'}}$

$=3\cdot \frac{{\left(x+\frac{\pi }{4}\right)}^{\text{'}}}{co{s}^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)}+2\cdot \frac{{\left(\frac{\pi }{4}-x\right)}^{\text{'}}}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)}$

$=\frac{3}{co{s}^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)}-\frac{2}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)}$

$=\frac{3}{co{s}^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)}-\frac{2}{co{s}^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)}$

$=\frac{1}{co{s}^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)}=1+{\tan }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

Bài 9.12 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=co{s}^{2}x+co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)+co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$ . Tính đạo hàm f'(x) và chứng tỏ f'(x) = 0 với mọi x $\in$ ℝ.

Lời giải:

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(co{s}^{2}x+co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)+co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)\right)}^{\text{'}}$

$={\left(co{s}^{2}x\right)}^{\text{'}}+{\left(co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)\right)}^{\text{'}}+{\left(co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)\right)}^{\text{'}}$

$$\begin{gathered} =2\cos x\cdot {\left(cosx\right)}^{\text{'}}+2cos\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)\cdot {\left(cos\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)\right)}^{\text{'}}+ \\ 2cos\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)\cdot {\left(cos\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)\right)}^{\text{'}} \end{gathered}$$

$=-2\cos x\cdot \sin x-2\cos \left(\frac{2\pi }{3}+x\right)\sin \left(\frac{2\pi }{3}+x\right)+2\cos \left(\frac{2\pi }{3}-x\right)\sin \left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$

$=-\sin 2x-\sin \left(\frac{4\pi }{3}+2x\right)+\sin \left(\frac{4\pi }{3}-2x\right)$

$=-\sin 2x-\sin \left(\pi +\frac{\pi }{3}+2x\right)+\sin \left(\pi +\frac{\pi }{3}-2x\right)$

$=-\sin 2x+\sin \left(\frac{\pi }{3}+2x\right)-\sin \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)$

= -sin2x + 2cos$\frac{\pi }{3}$sin2x = -sin2x + sin2x = 0.

Vậy f'(x) = 0 với mọi x $\in$ ℝ.

Bài 9.13 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 4sin²$\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$. Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 8 với mọi x $\in$ ℝ. Tìm x để f'(x) = 8.

Lời giải:

+ Có 

Vì  với mọi x $\in$ ℝ nên  với mọi x $\in$ ℝ .

Vậy |f'(x)| ≤ 8 với mọi x $\in$ ℝ.

+ Có f'(x) = 8 $\iff$8sin$\left(4x-\frac{2\pi }{3}\right)$=8

$\iff \sin \left(4x-\frac{2\pi }{3}\right)=1$

$\iff 4x-\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (k $\in$ ℤ)

$\iff 4x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ (k $\in$ ℤ)

$\iff x=\frac{7\pi }{24}+k\frac{\pi }{2}$ (k $\in$ ℤ).

Vậy f'(x) = 8 khi $x=\frac{7\pi }{24}+k\frac{\pi }{2}$ với k $\in$ ℤ.

Bài 9.14 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Biết y là hàm số của x thỏa mãn phương trình xy = 1 + lny. Tính y'(0).

Lời giải:

Đạo hàm hai vế của phương trình đã cho, ta có

(xy)' = (1 + lny)' $\iff$y + xy' = $\frac{y\text{'}}{y}$

$\iff$ y = $\frac{y\text{'}}{y}$ - xy' $\iff$ y = $\left(\frac{1}{y}-x\right)$y'.

$\iff$ y = $\left(\frac{1-xy}{y}\right)$y' $\iff$ y' = $\frac{y^2}{1-xy}$.

Tại x = 0 thay vào phương trình xy = 1 + lny ta được lny = −1 $\iff$ y = e⁻¹.

Do đó $y^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{e^{-2}}{1-0\cdot e^{-1}}=e^{-2}=\frac{1}{e^2}$ .

Vậy $y^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{1}{e^2}$ .

Bài 9.15 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là v₀ (m/s) (bỏ qua sức cản của không khí) thì độ cao h của vật (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức $h=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$ (g là gia tốc trọng trường). Tính vận tốc khi vật chạm đất.

Lời giải:

Vận tốc của vật tại thời điểm t là v(t) = h'(t) = ${\left(v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2\right)}^{\text{'}}$ = v_o - gt.

Tại thời điểm vật chạm đất thì h = 0 (t > 0) tức là v_ot - $\frac{1}{2}$gt² = 0

$\iff t\left(v_0-\frac{1}{2}gt\right)=0$$\iff v_0-\frac{1}{2}gt=0$$\iff t=\frac{2v_0}{g}$.

Vận tốc khi vật chạm đất là $v\left(\frac{2v_0}{g}\right)=v_0-g.\frac{2v_0}{g}=-v_0$ (m/s).

Vậy vận tốc khi vật chạm đất là −v₀ m/s.

Bài 9.16 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi công thức $s\left(t\right)=10+\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$, trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Vận tốc của hạt sau t giây là v(t) = s'(t) = ${\left(10+\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\right)}^{\text{'}}$

$=\sqrt{2}cos\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)\cdot {\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)}^{\text{'}}$$=4\sqrt{2}\pi cos\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$.

Vì  nên  $\le$4$\sqrt{2}$$\pi$ hay |v(t)|$\le$4$\sqrt{2}$$\pi$.

Do đó vận tốc cực đại của hạt là 4$\sqrt{2}$$\pi$$\approx$17,8 m/s đạt được khi  = 1

$\iff \sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)=0$$\iff 4\pi t+\frac{\pi }{6}=k\pi$$\iff t=-\frac{1}{24}+\frac{1}{4}k$, với k $\in$ ℕ^*.

Vậy vận tốc cực đại của hạt khoảng 17,8 m/s khi $t=-\frac{1}{24}+\frac{1}{4}k$ ,với k $\in$ ℕ^*.

Xem thêm các bài SBT Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 9.8 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x + 1)²(x² – 1);

b) $y={\left(x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^3$ .

Bài 9.9 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2-x+1}{x+2}$ ;

b) $y=\frac{1-x^2}{x^2+1}$ .

Bài 9.11 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=3\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-2\cot \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$ .

Bài 9.12 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=co{s}^{2}x+co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}+x\right)+co{s}^2\left(\frac{2\pi }{3}-x\right)$ . Tính đạo hàm f'(x) và chứng tỏ f'(x) = 0 với mọi x $\in$ ℝ.

Bài 9.13 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 4sin². Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 8 với mọi x  ℝ. Tìm x để f'(x) = 8.

Bài 9.14 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Biết y là hàm số của x thỏa mãn phương trình xy = 1 + lny. Tính y'(0).

Bài 9.15 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là v₀ (m/s) (bỏ qua sức cản của không khí) thì độ cao h của vật (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức  (g là gia tốc trọng trường). Tính vận tốc khi vật chạm đất.

Bài 9.16 trang 60 SBT Toán 11 Tập 2: Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi công thức $s\left(t\right)=10+\sqrt{2}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$, trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải: