Câu 1. Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức $\frac{\text{1}}{\text{2}-\text{x}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{2x + 1}}{{\left(\text{x}-\text{2}\right)}^{\text{2}}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{{\text{3x}}^{\text{2}}-\text{1}}{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ 4x + 4}}$

A. (x - 2)(x + 2)²

B. (2 - x)(x - 2)²(x + 2)²

C. (x - 2)²(x + 2)²

D. (x - 2)²

Đáp án đúng là: C

Ta có các phân thức $\frac{\text{1}}{\text{2}-\text{x}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{2x + 1}}{{\left(\text{x}-\text{2}\right)}^{\text{2}}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{{\text{3x}}^{\text{2}}-\text{1}}{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ 4x + 4}}$ có mẫu thức lần lượt là: 2 - x; (x - 2)² và x² + 4x + 4 = (x + 2)² nên mẫu thức chung là (x - 2)²(x + 2)².

Câu 2. Phân thức $\frac{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{7x + 12}}{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{6x + 9}}$ (với x ≠ 3) bằng với phân thức nào sau đây?

A. $\frac{\text{x}-4}{\text{x}+3}$

B. $\frac{\text{x + }4}{\text{x}+3}$

C. $\frac{\text{x}-4}{\text{x}-3}$

D. $\frac{\text{x + }4}{\text{x}-3}$

Đáp án đúng là: C

$\frac{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{7x + 12}}{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{6x + 9}}\text{=}\frac{{\text{x}}^{\text{2}}-\text{4x}-\text{3x + 12}}{{\left(\text{x}-\text{3}\right)}^{\text{2}}}$

= $\frac{\text{x}\left(\text{x}-\text{4}\right)-\text{3}\left(\text{x}-\text{4}\right)}{{\left(\text{x}-\text{3}\right)}^{\text{2}}}\text{=}\frac{\left(\text{x}-\text{4}\right)\left(\text{x}-\text{3}\right)}{{\left(\text{x}-\text{3}\right)}^{\text{2}}}\text{=}\frac{\text{x}-\text{4}}{\text{x}-\text{3}}$.

Câu 3. Mẫu thức chung của các phân thức $\frac{5}{2\left(\text{x}-3\right)},\frac{7}{{\left(\text{x}-3\right)}^3}$ là

A. (x - 3)³

B. x - 3

C. 2(x - 3)⁴

D. 2(x - 3)³

Đáp án đúng là: D

Mẫu thức của hai phân thức $\frac{5}{2\left(\text{x}-3\right)},\frac{7}{{\left(\text{x}-3\right)}^3}$ là 2(x – 3) và (x - 3)³ nên mẫu thức chung có phần hệ số là 2, phần biến số là (x - 3)³.

Do đó mẫu thức chung là 2(x - 3)³.

Câu 4. Biểu thức nào sau đây không là phân thức đại số?

A. $\frac{1}{{\text{x}}^2+1}$

B. $\frac{\text{x}+3}{5}$

C. x² - 3x + 1

D. $\frac{{\text{x}}^2+4}{0}$

Đáp án đúng là: D

$\frac{{\text{x}}^2+4}{0}$ không phải là phân thức đại số.

Câu 5. Với điều kiện nào của x thì phân thức $\frac{5\text{x}-7}{{\text{x}}^2-9}$ có nghĩa?

A. x ≠ 3

B. $\text{x}\ne \frac{7}{5}$

C. x ≠ -3

D. $\text{x}\ne \pm 3$

Đáp án đúng là: D

Phân thức $\frac{5\text{x}-7}{{\text{x}}^2-9}$ có nghĩa khi và chỉ khi x² - 9 ≠ 0 hay $\text{x}\ne \pm 3$.

Câu 6. Cho a > b > 0. Chọn câu đúng.

A. $\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}\text{=}\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{+ b}}^{\text{2}}}{{\left(\text{a}-\text{b}\right)}^{\text{2}}}$

B. $\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}\text{> 2}\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{+ b}}^{\text{2}}}{{\left(\text{a}-\text{b}\right)}^{\text{2}}}$

C. $\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}\text{>}\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{+ b}}^{\text{2}}}{{\left(\text{a}-\text{b}\right)}^{\text{2}}}$

D. $\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}<\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{+ b}}^{\text{2}}}{{\left(\text{a}-\text{b}\right)}^{\text{2}}}$

Đáp án đúng là: D

Do a > b > 0 nên a – b > 0, a + b > 0

Khi đó (a – b)(a + b) > 0

Ta có: $\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}\text{=}\frac{{\left(\text{a + b}\right)}^{\text{2}}}{\left(\text{a}-\text{b}\right)\left(\text{a + b}\right)}\text{=}\frac{\text{a + b}}{\text{a}-\text{b}}$

Nhân cả tử và mẫu của phân thức với (a−b) ta được:

$\frac{\text{a + b}}{\text{a}-\text{b}}$ = $\frac{\left(\text{a + b}\right)\left(\text{a}-\text{b}\right)}{\left(\text{a}-\text{b}\right)\left(\text{a}-\text{b}\right)}$ = $\frac{{\text{a}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}{{\left(\text{a}-\text{b}\right)}^{\text{2}}}\text{<}\frac{{\text{a}}^{\text{2}}{\text{+ b}}^{\text{2}}}{{\left(\text{a}-\text{b}\right)}^{\text{2}}}$ (do 0 < a² - b² < a² + b²)

Câu 7. Có bao nhiêu giá trị của x để phân thức $\frac{{\text{x}}^2-1}{{\text{x}}^2-2\text{x}+1}$ có giá trị bằng 0?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: ${\text{x}}^2-2\text{x}+1\ne 0$ ⇔ ${\left(\text{x}-1\right)}^2\ne 0$ ⇔ x - 1 ≠ 0⇔ x ≠ 0

Ta có: $\frac{{\text{x}}^2-1}{{\text{x}}^2-2\text{x}+1}=0$ ⇔ x² - 1 = 0 ⇔ x² = 1 ⇔ $\left[\begin{array}{c}x=1\left(L\right)\\ x=-1\left(TM\right)\end{array}\right.$

Vậy có 1 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 8. Tìm đa thức M thỏa mãn: $\frac{\text{M}}{\text{2x}-\text{3}}\text{=}\frac{{\text{6x}}^{\text{2}}\text{+ 9x}}{{\text{4x}}^{\text{2}}-\text{9}}\left(\text{x}\ne \pm \frac{3}{2}\right)$

A. M = 6x² + 9x

B. M = -3x

C. M = 3x

D. M = 2x + 3

Đáp án đúng là: C

Với $\text{x}\ne \pm \frac{3}{2}$, ta có:

$\frac{\text{M}}{\text{2x}-\text{3}}\text{=}\frac{{\text{6x}}^{\text{2}}\text{+ 9x}}{{\text{4x}}^{\text{2}}-\text{9}}$

$M\left(4x^2-9\right)=\left(6x^2+9x\right)\left(2x-3\right)$

M(2x - 3)(2x + 3) = 3x(2x + 3)(2x - 3)

=> M = 3x

Câu 9. Quy đồng mẫu thức các phân thức $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}$ ta được:

A. $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2xz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3xy}}{\text{xyz}}$

B. $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2xz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3y}}{\text{xyz}}$

C. $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2z}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3xy}}{\text{xyz}}$

D. $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2xz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3}}{\text{xyz}}$

Đáp án đúng là: A

Mẫu chung của các phân thức là xyz

Nhân tử phụ của $\frac{\text{1}}{\text{x}}$ là yz nên $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}$

Nhân tử phụ của $\frac{2}{y}$ là xz nên $\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2xz}}{\text{xyz}}$

Nhân tử phụ của $\frac{\text{3}}{\text{z}}$ là xy nên $\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3xy}}{\text{xyz}}$

Vậy quy đồng mẫu số các phân thức $\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{,\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}$ ta được

$\frac{\text{1}}{\text{x}}\text{=}\frac{\text{yz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{2}}{\text{y}}\text{=}\frac{\text{2xz}}{\text{xyz}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{3}}{\text{z}}\text{=}\frac{\text{3xy}}{\text{xyz}}$.

Câu 10. Phân thức nào dưới đây bằng với phân thức $\frac{{\text{5x}}^{\text{2}}{\text{y}}^{\text{3}}}{\text{3}}$?

A. $\frac{{\text{25x}}^{\text{3}}{\text{y}}^{\text{4}}}{{\text{15x}}^{\text{2}}\text{y}}$

B. $\frac{{\text{25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{3}}}{{\text{15x}}^{\text{2}}\text{y}}$

C. $\frac{{\text{25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{3}}}{\text{15xy}}$

D. $\frac{{\text{25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}}{{\text{15x}}^{\text{2}}\text{y}}$

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\text{5x}}^{\text{2}}{\text{y}}^{\text{3}}{\text{.15x}}^{\text{2}}{\text{y = 75x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}$ và ${\text{3.25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}{\text{ = 75x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}$

$\Rightarrow {\text{5x}}^{\text{3}}{\text{y}}^{\text{3}}{\text{.15x}}^{\text{2}}{\text{y = 3.25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}$ $\Rightarrow \frac{{\text{5x}}^{\text{2}}{\text{y}}^{\text{3}}}{\text{3}}\text{=}\frac{{\text{25x}}^{\text{4}}{\text{y}}^{\text{4}}}{{\text{15x}}^{\text{2}}\text{y}}$

Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để phân thức $\frac{5}{3\text{x}+2}$ có giá trị là một số nguyên?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: 3x + 2 ≠ 0 hay $\text{x}\ne \frac{-2}{3}$

Để $\frac{5}{3\text{x}+2}\in \mathbb{Z}$ thì (3x + 2) ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}

Với 3x + 2 = -5, ta có $\text{x}=-\frac{7}{3}$ (loại vì $\text{x}\notin \mathbb{Z}$)

Với 3x + 2 = -1, ta có x = -1 (thỏa mãn $\text{x}\in \mathbb{Z}$)

Với 3x + 2 = 1, ta có $\text{x}=-\frac{1}{3}$ (loại vì $\text{x}\notin \mathbb{Z}$)

Với 3x + 2 = 5, ta có x = 1 (thỏa mãn $\text{x}\in \mathbb{Z}$)

Vậy có hai giá trị x để phân thức $\frac{5}{3\text{x}+2}$ có giá trị là một số nguyên.

Câu 12. Cho các phân thức $\frac{\text{2x}}{\text{3}-\text{3x}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{5x}-\text{4}}{\text{4x + 4}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ x + 1}}{\text{2}\left({\text{x}}^{\text{2}}-\text{1}\right)}$

• An nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là 2(x² - 1)

• Bình nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là 12(x−1)(x + 1).

Chọn câu đúng.

A. Bạn An đúng, bạn Bình sai.

B. Bạn An sai, bạn Bình đúng.

C. Hai bạn đều đúng.

D. Hai bạn đều sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có các phân thức $\frac{\text{2x}}{\text{3}-\text{3x}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{5x}-\text{4}}{\text{4x + 4}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ x + 1}}{\text{2}\left({\text{x}}^{\text{2}}-\text{1}\right)}$ có mẫu thức lần lượt là:

3 – 3x = 3(1 – x); 4x + 4 = 4(x + 1) và 2(x² – 1) = 2(x – 1)(x + 1)

Vì (x – 1)(x + 1) = x² – 1 và BCNN(2; 3; 4) = 12 nên mẫu thức chung của các phân thức $\frac{\text{2x}}{\text{3}-\text{3x}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\text{5x}-\text{4}}{\text{4x + 4}}\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{{\text{x}}^{\text{2}}\text{+ x + 1}}{\text{2}\left({\text{x}}^{\text{2}}-\text{1}\right)}$ là 12(x – 1)(x + 1)

Vậy An sai, Bình đúng.

Câu 13. Cho A = $\frac{{\text{x}}^{\text{4}}-{\text{x}}^{\text{3}}-\text{x + 1}}{{\text{x}}^{\text{4}}{\text{+ x}}^{\text{3}}{\text{+ 3x}}^{\text{2}}\text{+ 2x + 2}}$. Kết luận nào sau đây đúng?

A. A luôn nhận giá trị không âm với mọi x

B. A luôn nhận giá trị dương với mọi x

C. Giá trị của A không phụ thuộc vào x

D. A luôn nhận giá trị âm với mọi x

Đáp án đúng là: A

A = $\frac{{\text{x}}^{\text{4}}-{\text{x}}^{\text{3}}-\text{x + 1}}{{\text{x}}^{\text{4}}{\text{+ x}}^{\text{3}}{\text{+ 3x}}^{\text{2}}\text{+ 2x + 2}}$

= $\frac{x^3\left(x-1\right)-\left(x-1\right)}{{\text{x}}^{\text{4}}{\text{+ x}}^{\text{3}}{\text{+ 3x}}^{\text{2}}\text{+ 2x + 2}}$

= $\frac{\left(x^3-1\right)\left(x-1\right)}{x^2\left(x^2+x+1\right)+2\left(x^2+x+1\right)}$

= $\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+x+1\right)}$

= $\frac{{\left(x-1\right)}^2\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+x+1\right)}$

= $\frac{{\left(x-1\right)}^2}{x^2+2}$.

Ta có: ${\left(\text{x}-1\right)}^2\ge 0\forall \text{x}\in ℝ$ và ${\text{x}}^2+2>0\forall \text{x}\in ℝ$ nên A = $\frac{{\left(\text{x}-1\right)}^2}{{\text{x}}^2+2}\ge 0\forall \text{x}\in ℝ$

Vậy A luôn nhận giá trị không âm với mọi x.