Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Top 30 Đề thi Giữa học kì 2 Toán 10 (Kết nối tri thức 2024) có đáp án gồm các đề thi được tuyển chọn và tổng hợp từ các đề thi môn Toán THPT trên cả nước có hướng dẫn giải chi tiết giúp học sinh làm quen với các dạng đề, ôn luyện để đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời các bạn đón xem:

Top 30 Đề thi Giữa học kì 2 Toán 10 (Kết nối tri thức 2024) có đáp án

Đề thi Giữa học kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức (Có đáp án) - Đề số 1

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Giữa kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán học 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

Câu 1. Giải các bất phương trình sau

a) $x\left(x-3\right)\le -x^2+5$

b)  ${\displaystyle \frac{2}{5x+6}}\le {\displaystyle \frac{5}{x-1}}$

c) $\sqrt{x^2+2\mathrm{x}+6}>2\mathrm{x}+1$

d) $\left|3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+2\right|<-x+2$

Câu 2. Cho hàm số $y=f\left(x\right)=2x^2-mx+3m-2$ và $y=g\left(x\right)=m{x}^2-2x+4m-5$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Câu 3. Cho tam giác $ABC$ với $AB=3;AC=7;BC=8$. Hãy tính diện tích tam giác và các bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác $ABC$.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ $\mathrm{O}\mathrm{x}\mathrm{y}$, cho hai điểm $A\left(-1;2\right),B\left(3;1\right)$ và đường thẳng $\left(d\right):\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\end{array}$(t là tham số).

Câu 5. Giải phương trình $4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2\mathrm{x}-1}=4{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+3$.

Lời giải chi tiết

Câu 1. (VD)

Phương pháp:

a) Đưa về bất phương trình bậc hai

b) Quy đồng mẫu đưa về bất phương trình tích, sử dụng bảng xét dấu.

c) Bình phương hai vế

d) Bình phương hai vế

Giải:

a) $x\left(x-3\right)\le -x^2+5$

$\begin{array}{l}\iff x^2-3x\le -x^2+5\le 0\\ \iff 2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}-5\le 0\\ \iff -1\le x\le \frac{5}{2}\end{array}$

b) ${\displaystyle \frac{2}{5x+6}}\le {\displaystyle \frac{5}{x-1}}$

$\begin{array}{l}\iff {\displaystyle \frac{2}{5\mathrm{x}+6}}-{\displaystyle \frac{5}{x-1}}\le 0\\ \iff {\displaystyle \frac{2\left(x-1\right)-5\left(5\mathrm{x}+6\right)}{\left(5\mathrm{x}+6\right)\left(x-1\right)}}\le 0\\ \iff {\displaystyle \frac{-23\mathrm{x}-32}{\left(5\mathrm{x}+6\right)\left(x-1\right)}}\le 0\\ \iff [\begin{array}{l}-{\displaystyle \frac{32}{23}}\le x<{\displaystyle \frac{-6}{5}}\\ x>1\end{array}\end{array}$

c)$\sqrt{x^2+2\mathrm{x}+6}>2\mathrm{x}+1$

TH1: $\mathrm{x}\le -{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Bất phương trình luôn đúng.

TH2: $x>-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\sqrt{x^2+2\mathrm{x}+6}>2\mathrm{x}+1$

$\begin{array}{l}\iff x^2+2\mathrm{x}+6>4{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+1\\ \iff 3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-5<0\\ \iff -5<x<1\end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta có $-{\displaystyle \frac{1}{2}}<x<1$

Vậy $S=\left(-\mathrm{\infty };1\right)$

d)$\left|{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+2\right|<-x+2$

TH1: $x^2+3\mathrm{x}+2\ge 0\iff [\begin{array}{l}x\ge -1\\ x\le -2\end{array}$

$\begin{array}{l}bpt\iff \{\begin{array}{l}-x+2>0\\ x^2+3\mathrm{x}+2<-x+2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x<2\\ x^2+4\mathrm{x}<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<2\\ -4<x<0\end{array}\\ \iff -4<x<0\end{array}$

Suy ra $-4<x\le -2$ hoặc $-1\le x<0$

TH2:$x^2+3\mathrm{x}+2<0\iff -2<x<-1$

$\begin{array}{l}bpt\iff \{\begin{array}{l}x<2\\ x^2+3\mathrm{x}+2>x-2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x<2\\ x^2+2\mathrm{x}+4>0\end{array}\iff x<2\end{array}$

Suy ra   $-2<x<-1$

Vậy $S=\left(-4;0\right)$.

Câu 2.(VD)

Phương pháp

Đưa về cùng một vế rồi biện luận bất phương trình bậc hai theo m.

Sử dụng dấu của tam thức bậc hai:

$\begin{array}{l}a{x}^2+b\mathrm{x}+c\ge 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\\ \iff \{\begin{array}{l}a>0\\ \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\end{array}$

Giải:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge g\left(x\right)\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\\ \iff \left(2-m\right)x^2+\left(2-m\right)x+3\\ -m\ge 0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\\ \iff \{\begin{array}{l}2-m>0\\ {\left(2-m\right)}^2-4.\left(2-m\right)\left(3-m\right)\\ \le 0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}m<2\\ \left(2-m\right)\left(3m-10\right)\le 0\end{array}\\ \iff m<2\end{array}$

Vậy $m<2$ thì $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Câu 3.(VD)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

$\begin{array}{l}S={\displaystyle \frac{abc}{4\mathrm{R}}}\\ S=p\mathrm{r}\end{array}$

Giải:

Diện tích tam giác ABC:

$p={\displaystyle \frac{AB+BC+CA}{2}}=9$

$S=\sqrt{9.\left(9-3\right)\left(9-7\right)\left(9-8\right)}=6\sqrt{3}$

$\Rightarrow R={\displaystyle \frac{abc}{4\mathrm{S}}}={\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{3}}$

$r={\displaystyle \frac{S}{p}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$

Câu 4. (VD)

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\left(d^{\prime }\right)$ đi qua A và vuông góc với $\left(d\right)$.

b) Tìm tọa độ điểm $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua $\left(d\right)$.

c) Tìm tọa độ điểm $M$ trên $\left(d\right)$ sao cho $M$ cách $B$ một khoảng bằng $\sqrt{5}$.

Phương pháp:

a) Tìm vtcp của $\left(d\right)$. Vì $\left(d^{\prime }\right)\mathrm{\perp }\left(d\right)$ nên vtcp của $\left(d\right)$ là vtpt của $\left(d^{\prime }\right)$.

b) Điểm $A^{\prime }$ đối xứng $A$ qua $\left(d\right)$ nên $A^{\prime }$ thuộc đường thẳng $\left(d^{\prime }\right)$. Tìm giao điểm N của $\left(d\right)$ và $\left(d^{\prime }\right)$. Điểm N là trung điểm của ${\mathrm{A}\mathrm{A}}^{\prime }$.

c) Tham số hóa điểm M. Lập phương trình $MB=\sqrt{5}$.

Giải:

a) vtcp của $\left(d\right)$: $\overrightarrow{u}=\left(1;1\right)$. Đường thẳng $\left(d^{\prime }\right)$ qua A và nhận $\overrightarrow{u}$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: $\left(x+1\right)+\left(y-2\right)=0\iff x+y-1=0$

b) Gọi N là giao điểm của $\left(d\right)$ và $\left(d^{\prime }\right)$. Suy ra $N\left(0;1\right)$. Điểm $A^{\prime }$ đối xứng $A$ qua $\left(d\right)$ nên $A^{\prime }$ thuộc đường thẳng $\left(d^{\prime }\right)$ và N là trung điểm của AA’. Do đó điểm A có tọa độ $A\left(1;0\right)$.

c) Tham số hóa điểm $M\left(1+t;2+t\right)$ Ta có $MB=\sqrt{5}$

$\begin{array}{l}\iff M{B}^2=5\\ \iff {\left(t-2\right)}^2+{\left(t-1\right)}^2=5\\ \iff [\begin{array}{l}t=0\\ t=3\end{array}\end{array}$

Vậy $M\left(1;2\right)$ hoặc $M\left(4;5\right)$.

Câu 5. (VDC)

Phương pháp:

Chuyển về một vế, biến đổi xuất hiện hằng đẳng thức rồi đánh giá hằng đẳng thức đó.

Giải:

ĐKXĐ: $\mathrm{x}\ge {\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\begin{array}{l}4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2\mathrm{x}-1}=4{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+3\\ \iff 4{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}\sqrt{x+3}+x+3+\\ 2\mathrm{x}-1-2\sqrt{2\mathrm{x}-1}+1=0\\ \iff {\left(2\mathrm{x}-\sqrt{x+3}\right)}^2+{\left(\sqrt{2\mathrm{x}-1}-1\right)}^2\\ =0\\ \iff \{\begin{array}{l}2\mathrm{x}=\sqrt{x+3}\\ \sqrt{2\mathrm{x}-1}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4{\mathrm{x}}^2=x+3\\ x=1\end{array}\\ \iff x=1\end{array}$

Đề thi Giữa học kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức (Có đáp án) - Đề số 2

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Giữa kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán học 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (2,0 điểm):

1) Giải bất phương trình $5x^2-{\left(3-2x\right)}^2\ge 4$.

2) Giải phương trình $9-\sqrt{3x+1}=x$.

Câu 2 (2,0 điểm):

1) Tìm tập xác định của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{8-x^2}{4x-x^2}}}$

2) Giải bất phương trình $x^2-2\left|x-1\right|+2>0$.

Câu 3 (2,0 điểm):

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $x^2-2\left(m-1\right)x-4m<0$ vô nghiệm.

2) Giải bất phương trình $\sqrt{x^2+3}\ge 2x$.

Câu 4 (1,5 điểm): Cho tam giác $ABC$ có $AB=3cm,AC=10cm,$$\mathrm{\angle }BAC={120}^0$.

1) Tính diện tích tam giác $ABC$.

2) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ của tam giác $ABC$.

Câu 5 (1,5 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left(8;-1\right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $2x-y-7=0$.

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$. Tìm điểm $M$ thuộc $d$ sao cho $AM=5$.

2) Trong các đường thẳng đi qua $O$, hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng mà khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng đó là lớn nhất.

Câu 6 (1,0 điểm): Cho $x\ge -1$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y={\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}}$.

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

1) Đưa về bất phương trình tích sau đó lập bảng xét dấu.

2) Tìm ĐKXĐ của bất phương trình.

Áp dụng: $\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)$$\iff \{\begin{array}{l}g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)=g^2\left(x\right)\end{array}$

Cách giải:

1) Giải bất phương trình $5x^2-{\left(3-2x\right)}^2\ge 4$.

$\begin{array}{l}5x^2-{\left(3-2x\right)}^2\ge 4\\ \iff 5x^2-\left(9-12x+4x^2\right)\ge 4\\ \iff 5x^2-9+12x-4x^2-4\ge 0\\ \iff x^2+12x-13\ge 0\\ \iff x^2+13x-x-13\ge 0\\ \iff \left(x^2+13x\right)-\left(x+13\right)\ge 0\\ \iff x\left(x+13\right)-\left(x+13\right)\ge 0\\ \iff \left(x-1\right)\left(x+13\right)\ge 0\end{array}$

Ta có bảng xét dấu của bất phương trình:

                                

Từ bảng xét dấu, ta thấy để $\left(x-1\right)\left(x+13\right)\ge 0$thì $x\in \left(-\mathrm{\infty };-13\right]\cup \left[1;+\mathrm{\infty }\right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\mathrm{\infty };-13\right]\cup \left[1;+\mathrm{\infty }\right)$.

2) Giải phương trình $9-\sqrt{3x+1}=x$.

Điều kiện xác định : $3x+1\ge 0$$\iff x\ge -{\displaystyle \frac{1}{3}}$

     $9-\sqrt{3x+1}=x$$\iff \sqrt{3x+1}=9-x$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}9-x\ge 0\\ 3x+1={\left(9-x\right)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}9-x\ge 0\\ x^2-21x+80=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\le 9\\ \left(x-5\right)\left(x-16\right)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\le 9\\ [\begin{array}{l}x-5=0\\ x-16=0\end{array}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\le 9\\ [\begin{array}{l}x=5\\ x=16\end{array}\end{array}\iff x=5\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=5$.

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

1) $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}}$ xác định khi và chỉ khi $B\left(x\right)\ne 0$; $f\left(x\right)=\sqrt{P\left(x\right)}$ xác định  khi và chỉ khi $P\left(x\right)\ge 0$

2) Xét từng trường hợp: $\left|f\left(x\right)\right|=f\left(x\right)$ nếu $f\left(x\right)\ge 0$; $\left|f\left(x\right)\right|=-f\left(x\right)$ nếu $f\left(x\right)<0$.

Cách giải:

1) Tìm tập xác định của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{8-x^2}{4x-x^2}}}$.

Hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{8-x^2}{4x-x^2}}}$ xác định khi và chỉ khi :

$\{\begin{array}{l}1-{\displaystyle \frac{8-x^2}{4x-x^2}}\ge 0\\ 4x-x^2\ne 0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{4x-x^2}{4x-x^2}}-{\displaystyle \frac{8-x^2}{4x-x^2}}\ge 0\\ x\left(4-x\right)\ne 0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{4x-8}{4x-x^2}}\ge 0(\ast )\\ x\ne 0;x\ne 4\end{array}$

Ta có bảng xét dấu của bất phương trình $(\ast )$:

                         

Từ bảng xét dấu, ta thấy để ${\displaystyle \frac{4x-8}{4x-x^2}}\ge 0$thì $x\in \left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left[2;4\right)$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left[2;4\right)$

2) Giải bất phương trình $x^2-2\left|x-1\right|+2>0$.

Trường hợp 1: $x-1\ge 0$$\iff x\ge 1$

Bất phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}{x}^2-2\left(x-1\right)+2>0\\ \iff x^2-2x+4>0\\ \iff \left(x^2-2x+1\right)+3>0\\ \iff {\left(x-1\right)}^2+3>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\end{array}$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x\ge 1$.

Trường hợp 2: $x-1<0$$\iff x<1$

Bất phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}{x}^2-2\left(-x+1\right)+2>0\\ \iff x^2+2x-2+2>0\\ \iff x^2+2x>0\\ \iff x\left(x+2\right)>0\\ \iff [\begin{array}{l}x>0\\ x<-2\end{array}\end{array}$

Kết hợp với điều kiện $x<1$ ta được nghiệm thỏa mãn hệ phương trình sau :

$\{\begin{array}{l}x<1\\ [\begin{array}{l}x>0\\ x<-2\end{array}\end{array}$$\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x<1\\ x>0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x<1\\ x<-2\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x<1\\ x<-2\end{array}$

Kết hợp trường hợp 1 và trường hợp 2 , ta được nghiệm của bất phương trình là $[\begin{array}{l}x>0\\ x<-2\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\mathrm{\infty };-2\right)\cup \left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Câu 3 (VD)

Phương pháp:

1) $f\left(x\right)<0$ vô nghiệm $\iff$$f\left(x\right)\ge 0$ có nghiệm với mọi $x\in \mathbb{R}$$\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}$

2) Áp dụng $\sqrt{f\left(x\right)}\ge g\left(x\right)$$\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\\ g\left(x\right)\le 0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)\ge g^2\left(x\right)\end{array}\end{array}$

Cách giải:

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $x^2-2\left(m-1\right)x-4m<0$ vô nghiệm.

Bất phương trình $x^2-2\left(m-1\right)x-4m<0$ vô nghiệm

$\iff$ $x^2-2\left(m-1\right)x-4m\ge 0$ có nghiệm với mọi $x\in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1>0\left(tm\right)\\ 4{\left(m-1\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-4m\right)\le 0\end{array}\\ \iff 4{\left(m-1\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-4m\right)\le 0\\ \iff 4\left(m^2-2m+1\right)+16m\le 0\\ \iff 4m^2-8m+4+16m\le 0\\ \iff 4m^2+8m+4\le 0\\ \iff 4{\left(m+1\right)}^2\le 0\\ \iff {\left(m+1\right)}^2\le 0\end{array}$

Mà ${\left(m+1\right)}^2\ge 0$ với mọi $m$ suy ra ${\left(m+1\right)}^2=0$$\iff$$m+1=0\iff m=-1$.

Vậy với $m=-1$ thì bất phương trình $x^2-2\left(m-1\right)x-4m<0$ vô nghiệm.

2) Giải bất phương trình $\sqrt{x^2+3}\ge 2x$.

$\sqrt{x^2+3}\ge 2x$

$\begin{array}{l}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}2x\le 0\\ x^2+3\ge 0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}2x\ge 0\\ x^2+3\ge 4x^2\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x\le 0\\ x^2+3\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2\le 1\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x\le 0\\ \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ -1\le x\le 1\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x\le 0\\ 0\le x\le 1\end{array}\iff x\le 1\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\mathrm{\infty };1\right]$.

Câu 4 (VD)

Phương pháp:

1) Áp dụng công thức hàm số sin trong tính diện tích tam giác:

 $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ab\sin C$$={\displaystyle \frac{1}{2}}ac\sin B$$={\displaystyle \frac{1}{2}}bc\sin A$

2) Tính $MA$ và $MB$. Sau đó, áp dụng định lý côsin trong tam giác: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$.

Cách giải:

1) Tính diện tích tam giác $ABC$.

$\begin{array}{l}{S}_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin \mathrm{\angle }BAC\\ ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\cdot 10\cdot \sin {120}^0={\displaystyle \frac{15\sqrt{3}}{2}}\left(c{m}^2\right)\end{array}$

2) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ của tam giác $ABC$.

                                       

Gọi $BM$ là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ của tam giác $ABC$.

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow AM=MC={\displaystyle \frac{AC}{2}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5\left(cm\right)$

Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABM$ ta có:

$\begin{array}{l}B{M}^2=A{B}^2+A{M}^2-2.AB.AM.\cos \mathrm{\angle }BAC\\ =3^2+5^2-\mathrm{2.3.5.}\cos {120}^0\\ =49\end{array}$

$\Rightarrow BM=7\left(cm\right)$

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ của tam giác $ABC$ là $7\left(cm\right)$.

Câu 5 (VD)

Phương pháp:

1) Phương trình tham số của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $A\left(x_0;y_0\right)$ nhận $\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)$ là VTCP :

$\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+at\end{array}\left(t\in \mathbb{R}\right)$

2) Vẽ đồ thị hàm số; Áp dụng: Trong một tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.

Cách giải:

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$. Tìm điểm $M$ thuộc $d$ sao cho $AM=5$.

*) Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$.  

$d:2x-y-7=0$

Phương trình tham số của đường thẳng $d$: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-7+2t\end{array}\left(t\in \mathbb{R}\right)$

Vì điểm $M\in d$$\Rightarrow$$M$có tọa độ là : $M\left(a;2a-7\right)\in d$

 Có : $A\left(8;-1\right)$$,M\left(a;2a-7\right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left(a-8;2a-6\right)$

$\begin{array}{l}AM=5\iff \sqrt{{\left(a-8\right)}^2+{\left(2a-6\right)}^2}=5\\ \iff {\left(a-8\right)}^2+{\left(2a-6\right)}^2=25\\ \iff a^2-16a+64+4a^2-24a+36-25=0\\ \iff 5a^2-40a+75=0\\ \iff \left(a-5\right)\left(5a-15\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}a-5=0\\ 5a-15=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}a=5\\ a=3\end{array}\end{array}$

+) Với $a=5\Rightarrow M\left(5;3\right)$

+) Với $a=3\Rightarrow M\left(3;-1\right)$

Vậy $M\left(5;3\right)$ hoặc $M\left(3;-1\right)$thỏa mãn $AM=5$.

2) Trong các đường thẳng đi qua $O$, hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng mà khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng đó là lớn nhất.

                                                        

Kẻ $AH\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }$ tại $H$, khi đó $AH$ là khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$.

$\mathrm{\Delta }OHA$ vuông tại $H$ nên $AH\le OA$(quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên trong tam giác vuông)

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $H\equiv O$.

Do đó, $AH$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $H\equiv O$$\iff OA\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }$

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{\mathrm{\Delta }}={\overrightarrow{u}}_{OA}=\left(8;-1\right)$

$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua $O\left(0;0\right)$ là: $8x-y=0$

Câu 6 (VD)

Phương pháp:

+ Biến đổi đề chứng minh $y\ge 0$

+ Tìm $Max$: Áp dụng bất đẳng thức ${\left(x+y\right)}^2\le 2\left(x^2+y^2\right)$ hoặc bình phương hai vế.

Cách giải:

*) Tìm $Miny$

$x\ge -1$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}x+1\ge 0\\ \sqrt{x^2+1}>0\end{array}$$\Rightarrow {\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}}\ge 0$$\Rightarrow y\ge 0$

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $x+1=0\iff x=-1$

Vậy $Miny=0$$\iff x=-1$.

*) Tìm $Maxy$

Với mọi $x,y\in \mathbb{R}$ ta có:

$\begin{array}{l}{\left(x-y\right)}^2\ge 0\\ \iff 2xy\le x^2+y^2\\ \iff 2xy+x^2+y^2\le x^2+y^2+x^2+y^2\\ \iff x^2+y^2+2xy\le 2\left(x^2+y^2\right)\\ \iff {\left(x+y\right)}^2\le 2\left(x^2+y^2\right)\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left(x+1\right)}^2\le 2\left(x^2+1\right)\\ \iff {\displaystyle \frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+1}}\le 2\\ \iff {\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}}\le \sqrt{2}\\ \iff y\le \sqrt{2}\end{array}$

Dấuxảy ra khi và chỉ khi $x=1$

Vậy $Maxy=\sqrt{2}\iff x=1$.

Đề thi Giữa học kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức (Có đáp án) - Đề số 3

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Giữa kì 2

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán học 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (2,0 điểm):

1) Giải bất phương trình $5x^2-{\left(3-2x\right)}^2\ge 4$.

2) Giải phương trình $9-\sqrt{3x+1}=x$.

Câu 2 (2,0 điểm):

1) Tìm tập xác định của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{8-x^2}{4x-x^2}}}$

2) Giải bất phương trình $x^2-2\left|x-1\right|+2>0$.

Câu 3 (2,0 điểm):

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $x^2-2\left(m-1\right)x-4m<0$ vô nghiệm.

2) Giải bất phương trình $\sqrt{x^2+3}\ge 2x$.

Câu 4 (1,5 điểm): Cho tam giác $ABC$ có $AB=3cm,AC=10cm,$$\mathrm{\angle }BAC={120}^0$.

1) Tính diện tích tam giác $ABC$.

2) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ của tam giác $ABC$.

Câu 5 (1,5 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left(8;-1\right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $2x-y-7=0$.

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$. Tìm điểm $M$ thuộc $d$ sao cho $AM=5$.

2) Trong các đường thẳng đi qua $O$, hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng mà khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng đó là lớn nhất.

Câu 6 (1,0 điểm): Cho $x\ge -1$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y={\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}}$.

Lời giải chi tiết

Câu 1 (VD)

Phương pháp:

1) Đưa về bất phương trình tích sau đó lập bảng xét dấu.

2) Tìm ĐKXĐ của bất phương trình.

Áp dụng: $\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)$$\iff \{\begin{array}{l}g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)=g^2\left(x\right)\end{array}$

Cách giải:

1) Giải bất phương trình $5x^2-{\left(3-2x\right)}^2\ge 4$.

$\begin{array}{l}5x^2-{\left(3-2x\right)}^2\ge 4\\ \iff 5x^2-\left(9-12x+4x^2\right)\ge 4\\ \iff 5x^2-9+12x-4x^2-4\ge 0\\ \iff x^2+12x-13\ge 0\\ \iff x^2+13x-x-13\ge 0\\ \iff \left(x^2+13x\right)-\left(x+13\right)\ge 0\\ \iff x\left(x+13\right)-\left(x+13\right)\ge 0\\ \iff \left(x-1\right)\left(x+13\right)\ge 0\end{array}$

Ta có bảng xét dấu của bất phương trình:

                                

Từ bảng xét dấu, ta thấy để $\left(x-1\right)\left(x+13\right)\ge 0$thì $x\in \left(-\mathrm{\infty };-13\right]\cup \left[1;+\mathrm{\infty }\right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\mathrm{\infty };-13\right]\cup \left[1;+\mathrm{\infty }\right)$.

2) Giải phương trình $9-\sqrt{3x+1}=x$.

Điều kiện xác định : $3x+1\ge 0$$\iff x\ge -{\displaystyle \frac{1}{3}}$

     $9-\sqrt{3x+1}=x$$\iff \sqrt{3x+1}=9-x$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}9-x\ge 0\\ 3x+1={\left(9-x\right)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}9-x\ge 0\\ x^2-21x+80=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\le 9\\ \left(x-5\right)\left(x-16\right)=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\le 9\\ [\begin{array}{l}x-5=0\\ x-16=0\end{array}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\le 9\\ [\begin{array}{l}x=5\\ x=16\end{array}\end{array}\iff x=5\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=5$.

Câu 2 (VD)

Phương pháp:

1) $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}}$ xác định khi và chỉ khi $B\left(x\right)\ne 0$; $f\left(x\right)=\sqrt{P\left(x\right)}$ xác định  khi và chỉ khi $P\left(x\right)\ge 0$

2) Xét từng trường hợp: $\left|f\left(x\right)\right|=f\left(x\right)$ nếu $f\left(x\right)\ge 0$; $\left|f\left(x\right)\right|=-f\left(x\right)$ nếu $f\left(x\right)<0$.

Cách giải:

1) Tìm tập xác định của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{8-x^2}{4x-x^2}}}$.

Hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{8-x^2}{4x-x^2}}}$ xác định khi và chỉ khi :

$\{\begin{array}{l}1-{\displaystyle \frac{8-x^2}{4x-x^2}}\ge 0\\ 4x-x^2\ne 0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{4x-x^2}{4x-x^2}}-{\displaystyle \frac{8-x^2}{4x-x^2}}\ge 0\\ x\left(4-x\right)\ne 0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{4x-8}{4x-x^2}}\ge 0(\ast )\\ x\ne 0;x\ne 4\end{array}$

Ta có bảng xét dấu của bất phương trình $(\ast )$:

                         

Từ bảng xét dấu, ta thấy để ${\displaystyle \frac{4x-8}{4x-x^2}}\ge 0$thì $x\in \left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left[2;4\right)$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D=\left(-\mathrm{\infty };0\right)\cup \left[2;4\right)$

2) Giải bất phương trình $x^2-2\left|x-1\right|+2>0$.

Trường hợp 1: $x-1\ge 0$$\iff x\ge 1$

Bất phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}{x}^2-2\left(x-1\right)+2>0\\ \iff x^2-2x+4>0\\ \iff \left(x^2-2x+1\right)+3>0\\ \iff {\left(x-1\right)}^2+3>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\end{array}$

Vậy bất phương trình có nghiệm là $x\ge 1$.

Trường hợp 2: $x-1<0$$\iff x<1$

Bất phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}{x}^2-2\left(-x+1\right)+2>0\\ \iff x^2+2x-2+2>0\\ \iff x^2+2x>0\\ \iff x\left(x+2\right)>0\\ \iff [\begin{array}{l}x>0\\ x<-2\end{array}\end{array}$

Kết hợp với điều kiện $x<1$ ta được nghiệm thỏa mãn hệ phương trình sau :

$\{\begin{array}{l}x<1\\ [\begin{array}{l}x>0\\ x<-2\end{array}\end{array}$$\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x<1\\ x>0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x<1\\ x<-2\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}0<x<1\\ x<-2\end{array}$

Kết hợp trường hợp 1 và trường hợp 2 , ta được nghiệm của bất phương trình là $[\begin{array}{l}x>0\\ x<-2\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\mathrm{\infty };-2\right)\cup \left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Câu 3 (VD)

Phương pháp:

1) $f\left(x\right)<0$ vô nghiệm $\iff$$f\left(x\right)\ge 0$ có nghiệm với mọi $x\in \mathbb{R}$$\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}$

2) Áp dụng $\sqrt{f\left(x\right)}\ge g\left(x\right)$$\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\\ g\left(x\right)\le 0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)\ge g^2\left(x\right)\end{array}\end{array}$

Cách giải:

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $x^2-2\left(m-1\right)x-4m<0$ vô nghiệm.

Bất phương trình $x^2-2\left(m-1\right)x-4m<0$ vô nghiệm

$\iff$ $x^2-2\left(m-1\right)x-4m\ge 0$ có nghiệm với mọi $x\in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1>0\left(tm\right)\\ 4{\left(m-1\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-4m\right)\le 0\end{array}\\ \iff 4{\left(m-1\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-4m\right)\le 0\\ \iff 4\left(m^2-2m+1\right)+16m\le 0\\ \iff 4m^2-8m+4+16m\le 0\\ \iff 4m^2+8m+4\le 0\\ \iff 4{\left(m+1\right)}^2\le 0\\ \iff {\left(m+1\right)}^2\le 0\end{array}$

Mà ${\left(m+1\right)}^2\ge 0$ với mọi $m$ suy ra ${\left(m+1\right)}^2=0$$\iff$$m+1=0\iff m=-1$.

Vậy với $m=-1$ thì bất phương trình $x^2-2\left(m-1\right)x-4m<0$ vô nghiệm.

2) Giải bất phương trình $\sqrt{x^2+3}\ge 2x$.

$\sqrt{x^2+3}\ge 2x$

$\begin{array}{l}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}2x\le 0\\ x^2+3\ge 0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}2x\ge 0\\ x^2+3\ge 4x^2\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x\le 0\\ x^2+3\ge 0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x^2\le 1\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x\le 0\\ \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ -1\le x\le 1\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x\le 0\\ 0\le x\le 1\end{array}\iff x\le 1\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(-\mathrm{\infty };1\right]$.

Câu 4 (VD)

Phương pháp:

1) Áp dụng công thức hàm số sin trong tính diện tích tam giác:

 $S={\displaystyle \frac{1}{2}}ab\sin C$$={\displaystyle \frac{1}{2}}ac\sin B$$={\displaystyle \frac{1}{2}}bc\sin A$

2) Tính $MA$ và $MB$. Sau đó, áp dụng định lý côsin trong tam giác: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$.

Cách giải:

1) Tính diện tích tam giác $ABC$.

$\begin{array}{l}{S}_{\mathrm{\Delta }ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin \mathrm{\angle }BAC\\ ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 3\cdot 10\cdot \sin {120}^0={\displaystyle \frac{15\sqrt{3}}{2}}\left(c{m}^2\right)\end{array}$

2) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ của tam giác $ABC$.

                                       

Gọi $BM$ là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ của tam giác $ABC$.

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow AM=MC={\displaystyle \frac{AC}{2}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5\left(cm\right)$

Áp dụng định lý côsin trong tam giác $ABM$ ta có:

$\begin{array}{l}B{M}^2=A{B}^2+A{M}^2-2.AB.AM.\cos \mathrm{\angle }BAC\\ =3^2+5^2-\mathrm{2.3.5.}\cos {120}^0\\ =49\end{array}$

$\Rightarrow BM=7\left(cm\right)$

Vậy độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $B$ của tam giác $ABC$ là $7\left(cm\right)$.

Câu 5 (VD)

Phương pháp:

1) Phương trình tham số của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $A\left(x_0;y_0\right)$ nhận $\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)$ là VTCP :

$\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+at\end{array}\left(t\in \mathbb{R}\right)$

2) Vẽ đồ thị hàm số; Áp dụng: Trong một tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.

Cách giải:

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$. Tìm điểm $M$ thuộc $d$ sao cho $AM=5$.

*) Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$.  

$d:2x-y-7=0$

Phương trình tham số của đường thẳng $d$: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-7+2t\end{array}\left(t\in \mathbb{R}\right)$

Vì điểm $M\in d$$\Rightarrow$$M$có tọa độ là : $M\left(a;2a-7\right)\in d$

 Có : $A\left(8;-1\right)$$,M\left(a;2a-7\right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left(a-8;2a-6\right)$

$\begin{array}{l}AM=5\iff \sqrt{{\left(a-8\right)}^2+{\left(2a-6\right)}^2}=5\\ \iff {\left(a-8\right)}^2+{\left(2a-6\right)}^2=25\\ \iff a^2-16a+64+4a^2-24a+36-25=0\\ \iff 5a^2-40a+75=0\\ \iff \left(a-5\right)\left(5a-15\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}a-5=0\\ 5a-15=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}a=5\\ a=3\end{array}\end{array}$

+) Với $a=5\Rightarrow M\left(5;3\right)$

+) Với $a=3\Rightarrow M\left(3;-1\right)$

Vậy $M\left(5;3\right)$ hoặc $M\left(3;-1\right)$thỏa mãn $AM=5$.

2) Trong các đường thẳng đi qua $O$, hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng mà khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng đó là lớn nhất.

                                                        

Kẻ $AH\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }$ tại $H$, khi đó $AH$ là khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$.

$\mathrm{\Delta }OHA$ vuông tại $H$ nên $AH\le OA$(quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên trong tam giác vuông)

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $H\equiv O$.

Do đó, $AH$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $H\equiv O$$\iff OA\mathrm{\perp }\mathrm{\Delta }$

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{\mathrm{\Delta }}={\overrightarrow{u}}_{OA}=\left(8;-1\right)$

$\Rightarrow$ Phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua $O\left(0;0\right)$ là: $8x-y=0$

Câu 6 (VD)

Phương pháp:

+ Biến đổi đề chứng minh $y\ge 0$

+ Tìm $Max$: Áp dụng bất đẳng thức ${\left(x+y\right)}^2\le 2\left(x^2+y^2\right)$ hoặc bình phương hai vế.

Cách giải:

*) Tìm $Miny$

$x\ge -1$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}x+1\ge 0\\ \sqrt{x^2+1}>0\end{array}$$\Rightarrow {\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}}\ge 0$$\Rightarrow y\ge 0$

Dấu xảy ra khi và chỉ khi $x+1=0\iff x=-1$

Vậy $Miny=0$$\iff x=-1$.

*) Tìm $Maxy$

Với mọi $x,y\in \mathbb{R}$ ta có:

$\begin{array}{l}{\left(x-y\right)}^2\ge 0\\ \iff 2xy\le x^2+y^2\\ \iff 2xy+x^2+y^2\le x^2+y^2+x^2+y^2\\ \iff x^2+y^2+2xy\le 2\left(x^2+y^2\right)\\ \iff {\left(x+y\right)}^2\le 2\left(x^2+y^2\right)\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left(x+1\right)}^2\le 2\left(x^2+1\right)\\ \iff {\displaystyle \frac{{\left(x+1\right)}^2}{x^2+1}}\le 2\\ \iff {\displaystyle \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}}\le \sqrt{2}\\ \iff y\le \sqrt{2}\end{array}$

Dấuxảy ra khi và chỉ khi $x=1$

Vậy $Maxy=\sqrt{2}\iff x=1$.