a) ${\displaystyle y=-x^2+1}$ trong khoảng ${\displaystyle \left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)}$;

b) ${\displaystyle y=\frac{x{(x+3)}^2}{3}}$ trong các khoảng ${\displaystyle (\frac{1}{2};\frac{3}{2})}$ và ${\displaystyle (\frac{3}{2};4)}$

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị hàm số và xét trong từng khoảng, tìm điểm cao nhất (ứng với giá trị lớn nhất) và điểm thấp nhất (ứng với giá trị nhỏ nhất).

Lời giải:

Từ đồ thị hàm số ta thấy, tại $x=0$ hàm số có giá trị lớn nhất bằng $1$.

Xét dấu đạo hàm:

b) Từ đồ thị hàm số ta thấy:

Tại $x=1$ hàm số có giá trị lớn nhất bằng ${\displaystyle \frac{4}{3}}$

Tại $x=3$ hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $0$.

Xét dấu đạo hàm:

Lời giải:

- Với $\Delta x>0$

Ta có $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)}{\mathrm{\Delta }x}}=0=f^{\prime }\left(x_0^{+}\right)$

- Với $\Delta x<0.$

Ta có $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)}{\mathrm{\Delta }x}}=0=f^{\prime }\left(x_0^{-}\right)$

Do đó $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)}{\mathrm{\Delta }x}}=0=f^{\prime }\left(x_0\right)$

b) Nêu mối quan hệ giữa sự tồn tại cực trị và dấu của đạo hàm.

Sử dụng đồ thị, hãy xem xét các hàm số sau đây có cực trị hay không 

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị, tìm điểm cực trị ( cực đại: điểm mà tại đó hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến, cực tiểu: ngược lại)

Lời giải:

Hàm số không có cực trị.

Hàm số  đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại

b)

Nếu hàm số có cực trị thì dấu của đạo hàm bên trái và bên phải điểm cực trị sẽ khác nhau.

+ Hàm số có cực trị: quan sát từ đồ thị

Lời giải:

$y=|x|=\{\begin{array}{c}x;x\ge 0\hfill \\ -x;x<0\hfill \end{array}$

Khi đó:

$y^{\prime }=\{\begin{array}{c}1;x\ge 0\hfill \\ -1;x<0\hfill \end{array}$

Ta có: $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{y}^{\prime }=1\ne -1=\underset{x\to 0^{-}}{lim}{y}^{\prime }$

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x=0.$

Nhưng dựa vào đồ thị của hàm số $y=|x|.$ Ta có hàm số đạt cực trị tại $x=0.$

Lời giải:

1. TXĐ: $D=\mathbb{R}$

2. $f\left(x\right)=3x^2-3$. Cho $f\left(x\right)=0\iff x=1$ hoặc $x=-1.$

3. Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và giá trị cực đại là $2$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và giá trị cực tiểu là $-2.$

a) $y=2x^3+3x^2-36x-10$ ;       b) $y=x{}^4+2x^2-3$ ;

 c) $y=x+\frac{1}{x}$           ;d) $y=x^3{\left(1-x\right)}^2$;        e)$y=\sqrt{x^2-x+1}$

Phương pháp giải:

Quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số:

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính $f^{\prime }\left(x\right)$. Tìm các điểm mà tại đó $f^{\prime }\left(x\right)$ bằng 0 hoặc $f^{\prime }\left(x\right)$ không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$\begin{array}{rl}& y^{\prime }=6{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-36;y^{\prime }=0\\ & \iff [\begin{array}{c}x=2\Rightarrow y=-54\hfill \\ x=-3\Rightarrow y=71\hfill \end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }<0\iff x\in \left(-3;2\right)\\ y^{\prime }>0\iff x\in \left(-\mathrm{\infty };-3\right)\cup \left(2;+\mathrm{\infty }\right)\end{array}$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ và  $y$_CĐ $=71$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và $y$_CT $=-54$

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$y^{\prime }=4{\mathrm{x}}^3+4\mathrm{x}=4\mathrm{x}\left(x^2+1\right)$;

$y^{\prime }=0\iff x=0\Rightarrow y=-3$

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }>0\Rightarrow x>0\\ y^{\prime }<0\Rightarrow x<0\end{array}$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và $y$_CT $=-3$

c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$\ { 0 }

$\begin{array}{rl}& y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2};y^{\prime }=0\\ & \iff x^2-1=0\iff [\begin{array}{c}x=1\Rightarrow y=2\hfill \\ x=-1\Rightarrow y=-2\hfill \end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }<0\iff x\in \left(-1;1\right)\\ y^{\prime }>0\iff x\in \left(-\mathrm{\infty };-1\right)\cup \left(1;+\mathrm{\infty }\right)\end{array}$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 0^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }$

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$, $y$_CĐ $=-2$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$, $y$_CT  $=2$

d) Tập xác định $D=\mathbb{R}$

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }={\left(x^3\right)}^{\prime }{\left(1-x\right)}^2+x^3{\left[{\left(1-x\right)}^2\right]}^{\prime }\\ =3x^2{\left(1-x\right)}^2+x^3.2\left(1-x\right){\left(1-x\right)}^{\prime }\\ =3x^2{\left(1-x\right)}^2+2x^3\left(1-x\right)\left(-1\right)\\ =3x^2{\left(1-x\right)}^2-2x^3\left(1-x\right)\\ =x^2\left(1-x\right)\left[3\left(1-x\right)-2x\right]\\ =x^2\left(1-x\right)\left(3-3x-2x\right)\\ =x^2\left(1-x\right)\left(3-5x\right)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=1\Rightarrow y=0\hfill \\ x=\frac{3}{5}\Rightarrow y=\frac{108}{3125}\hfill \\ x=0\Rightarrow y=0\hfill \end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }<0\iff x\in \left(\frac{3}{5};1\right)\\ y^{\prime }>0\iff x\in \left(-\mathrm{\infty };\frac{3}{5}\right)\cup \left(1;+\mathrm{\infty }\right)\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{3}{5};y=\frac{108}{3125}$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$, $y$_CT =$0$

e) Vì  $x^2$ –$x+1>0,\forall \in \mathbb{R}$ nên tập xác định : $D=\mathbb{R}$

$y^{\prime }=\frac{2\mathrm{x}-1}{2\sqrt{x^2-x+1}};y^{\prime }=0\iff x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l}{y}^{\prime }>0\iff x>\frac{1}{2};y^{\prime }<0\iff x<\frac{1}{2}\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty },\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{1}{2};y_{CT}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

a) $y=x^4-2x^2+1$        ;b) $y=\sin 2x–x$

c) $y=\sin x+\cos x$               ;d) $y=x^5-x^3-2x+1$.

Phương pháp giải:

Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính $f^{\prime }\left(x\right)$. Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ và kí hiệu $x_i\left(i=1,2,...,n\right)$ là các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính $f^{″}\left(x\right)$ và $f^{″}\left(x_i\right)$.

Bước 4: Dựa vào dấu của $f^{″}\left(x_i\right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

Lời giải"

a) TXĐ: $D=\mathbb{R}.$

$y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1)$ ;

$y^{\prime }=0$ $\iff 4x(x^2-1)=0$ $\iff x=0,x=\pm 1$.

$y^{″}=12x^2-4$.

$y^{″}(0)=-4<0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$,

$y$_CĐ  = $y(0)=1$.

$y^{″}(\pm 1)=8>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm 1$,

$y$_CT  =  $y(\pm 1)$ = 0.

b) TXĐ: $D=\mathbb{R}.$

$y^{\prime }=2\cos 2x-1$ ;
$y^{\prime }=0\iff \cos 2x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ $\iff 2x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k2\pi$

$\iff x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi .$

$y^{″}=-4\sin 2x$.

$y^{″}\left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi \right)=-4\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k2\pi \right)$

$=-2\sqrt{3}<0$ nên hàm số đạt cực đại tại các điểm $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi$,

$y$_CĐ  = $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k2\pi )-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}-k\pi$ = ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}-k\pi$ , $k\in \mathbb{Z}$.

$y^{″}\left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi \right)=-4\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k2\pi \right)$

$=2\sqrt{3}>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+k\pi$,

$y$_CT = $\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}+k2\pi )+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}-k\pi$ =$-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}-k\pi$ , $k\in \mathbb{Z}$.

c) TXĐ: $D=\mathbb{R}.$

$y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$;

$y^{\prime }=\sqrt{2}\cos \left(x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$ ;

 $y^{\prime }=0\iff \cos \left(x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=0\iff$$x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi \iff x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi .$

$y^{″}=-\sqrt{2}\sin \left(x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right).$

$y^{″}\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi \right)=-\sqrt{2}\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$

$=-\sqrt{2}\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi \right)$

$=\{\begin{array}{c}-\sqrt{2}\text{ nếu k chẵn}\hfill \\ \sqrt{2}\text{ nếu k lẻ}\hfill \end{array}$

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+k2\pi$,

đạt cực tiểu tại các điểm $x={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+(2k+1)\pi (k\in \mathbb{Z}).$

d) TXĐ: $D=\mathbb{R}.$

$y^{\prime }=5x^4-3x^2-2=(x^2-1)(5x^2+2)$; $y^{\prime }=0\iff x^2-1=0\iff x=\pm 1$.

$y^{″}=20x^3-6x$.

$y^{″}(1)=14>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$,

$y$_CT = $y(1)=-1$.

$y^{″}(-1)=-14<0$ hàm số đạt cực đại tại $x=-1$,

$y$_CĐ = $y(-1)=3$.

- Chứng minh $f(x)\ge f(0)$ với mọi $x\in R$.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}y=f\left(x\right)=\sqrt{\left|x\right|}=\{\begin{array}{l}\sqrt{x}khix\ge 0\\ \sqrt{-x}khix<0\end{array}\\ \underset{0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x}}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{-x}}{x}}\\ =\underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{-x}}{-{\left(\sqrt{-x}\right)}^2}}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{-x}}}=-\mathrm{\infty }\\ \Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}}\ne \underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}}\end{array}$

$\Rightarrow$ Không tồn tại đạo hàm của hàm số đã cho tại $x=0$.

Dễ thấy $f(x)=\sqrt{\left|x\right|}\ge 0$ với mọi $x\in R$ và $f(0)=0$ nên $x=0$ chính là điểm cực tiểu của hàm số.

$y=x^3-m{x}^2-2x+1$

luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Phương pháp giải:

B1: Tính $y^{\prime }$

B2: Chứng tỏ phương trình $y^{\prime }=0$ luôn có 2 nghiệm phân biệt, với mọi m

Từ đó suy ra dấy của $y^{\prime }$ và sự tồn tại cực đại cực tiểu.

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}.$

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-2mx-2$

Xét phương trình: $3x^2-2mx-2=0$

Có: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=m^2-(-2).3=m^2+6>0\mathrm{\forall }m$

$\Rightarrow$ phương trình $y^{\prime }=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.

Giả sử $x_1<x_2$, ta có bảng biến thiên:

Dễ thấy hàm số đạt cực đại tại $x=x_1$ và đạt cực tiểu tại $x=x_2$.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

y=53a2x3+2ax2−9x+b đều là những số dương và x0=−59 là điểm cực đại.

Phương pháp giải:

- Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x_0$ $\iff \{\begin{array}{l}{y}^{\prime }\left(x_0\right)=0\\ y^{″}\left(x_0\right)<0\end{array}$, từ đó tìm $a$.

- Thay $a$ vừa tìm được ở trên vào hàm số.

Tìm $b$ dựa vào điều kiện: Hàm số đã cho có các cực trị đều dương $\iff y_{CT}>0$.

Lời giải:

Ta có: $y^{\prime }=5a^2{x}^2+4ax-9$, $y^{″}=10a^{2}x+4a$.

Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x_0=-{\displaystyle \frac{5}{9}}$ $\iff \{\begin{array}{l}{y}^{\prime }\left(-{\displaystyle \frac{5}{9}}\right)=0\\ y^{″}\left(-{\displaystyle \frac{5}{9}}\right)<0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}5a^2.{\left(-{\displaystyle \frac{5}{9}}\right)}^2+4a.\left(-{\displaystyle \frac{5}{9}}\right)-9=0\\ 10a^2.\left(-{\displaystyle \frac{5}{9}}\right)+4a<0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{125a^2}{81}}-{\displaystyle \frac{20a}{9}}-9=0\\ -{\displaystyle \frac{50a^2}{9}}+4a<0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{81}{25}},a=-{\displaystyle \frac{9}{5}}\\ a<0hoặca>{\displaystyle \frac{18}{25}}\end{array}\iff [\begin{array}{l}a={\displaystyle \frac{81}{25}}\\ a=-{\displaystyle \frac{9}{5}}\end{array}$

Ta có: $y^{\prime }=5a^2{x}^2+4ax-9$ có ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=49a^2>0$ với $a\ne 0$ nên phương trình $y^{\prime }=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt$x_1={\displaystyle \frac{1}{a}},x_2=-{\displaystyle \frac{9}{5a}}$.

Hàm số đã cho có các cực trị đều dương $\iff y_{CT}>0$.

Với $a={\displaystyle \frac{81}{25}}$ thì $x_1={\displaystyle \frac{25}{81}},x_2=-{\displaystyle \frac{5}{9}}$.

Do đó $y_{CT}=y\left({\displaystyle \frac{25}{81}}\right)$ $={\displaystyle \frac{5}{3}}.{\left({\displaystyle \frac{81}{25}}\right)}^2.{\left({\displaystyle \frac{25}{81}}\right)}^3+2.{\displaystyle \frac{81}{25}}.{\left({\displaystyle \frac{25}{81}}\right)}^2$$-9.{\displaystyle \frac{25}{81}}+b>0$

$\iff b>{\displaystyle \frac{400}{243}}$

Với $a=-{\displaystyle \frac{9}{5}}$ thì $x_1=-{\displaystyle \frac{5}{9}},x_2=1$.

Do đó $y_{CT}=y\left(1\right)$ $={\displaystyle \frac{5}{3}}.{\left(-{\displaystyle \frac{9}{5}}\right)}^2{.1}^3+2.\left(-{\displaystyle \frac{9}{5}}\right){.1}^2$$-9.1+b>0$.

Vậy các giá trị $a,b$ cần tìm là: $\{\begin{array}{cc}a=-{\displaystyle \frac{9}{5}}& \\ b>{\displaystyle \frac{36}{5}}& \end{array}$ hoặc $\{\begin{array}{cc}a={\displaystyle \frac{81}{25}}& \\ b>{\displaystyle \frac{400}{243}}& \end{array}$.

$x_0$ là điểm cực đại của hàm số $y=f\left(x\right)$ $\iff \{\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=0\\ f^{″}\left(x_0\right)<0\end{array}$

Lời giải:

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-m\right\};$

Ta có: $y=x+{\displaystyle \frac{1}{x+m}}$ $\Rightarrow y^{\prime }=1-{\displaystyle \frac{1}{{\left(x+m\right)}^2}}$ $\Rightarrow y^{″}={\displaystyle \frac{2\left(x+m\right)}{{\left(x+m\right)}^4}}={\displaystyle \frac{2}{{\left(x+m\right)}^3}}$.

Hàm số đạt cực đại tại $x=2$ $\iff \{\begin{array}{l}{y}^{\prime }\left(2\right)=0\\ y^{″}\left(2\right)<0\end{array}$

+) $y^{″}\left(2\right)<0\iff {\displaystyle \frac{2}{{\left(2+m\right)}^3}}<0$ $\iff {\left(2+m\right)}^3<0\iff 2+m<0$ $\iff m<-2$

+) $y^{\prime }\left(2\right)=0\iff 1-{\displaystyle \frac{1}{{\left(2+m\right)}^2}}=0$ $\iff {\left(2+m\right)}^2=1\iff [\begin{array}{l}m=-1\left(L\right)\\ m=-3\left(TM\right)\end{array}$

Vậy $m=-3$.