Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O

Mai Hương Ngày: 25-01-2024 Lớp 8

203

Với giải Bài 28 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1 Cánh diều chi tiết trong Bài 6: Hình thoi giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O

Bài 28 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác $A B C$ $A B C$ nhọn có các đường cao $B D, C E$ $B D, C E$ . Tia phân giác của các góc $A C E, A B D$ $A C E, A B D$ cắt nhau tại $O$ $O$ và cắt $A B, A C$ $A B, A C$ lần lượt tại $M, N$ $M, N$ . Tia $B N$ $B N$ cắt $C E$ $C E$ tại $K$ $K$ , tia $C M$ $C M$ cắt $B D$ $B D$ tại $H$ $H$ . Chứng minh:

a) $B N ⊥ C M$ $B N ⊥ C M$

b) Tứ giác $M N H K$ $M N H K$ là hình thoi.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 6 (Cánh diều): Hình thoi (ảnh 3)

a) Do tam giác $A B D$ $A B D$ vuông tại $D$ $D$ và tam giác $A C E$ $A C E$ vuông tại $E$ $E$ nên $ˆ A B D + ˆ A = ˆ A C E + ˆ A = 90^{\circ}$ $\hat{A B D} + \hat{A} = \hat{A C E} + \hat{A} = 90^{\circ}$ . Suy ra $ˆ A B D = ˆ A C E$ $\hat{A B D} = \hat{A C E}$ .

Mà $B N$ $B N$ và $C M$ $C M$ lần lượt là tia phân giác của $ˆ A B D$ $\hat{A B D}$ và $ˆ A C E$ $\hat{A C E}$ , suy ra $ˆ A B N = ˆ D B N = ˆ A C M = ˆ E C M$ $\hat{A B N} = \hat{D B N} = \hat{A C M} = \hat{E C M}$ .

Do tam giác $C E M$ $C E M$ vuông tại $E$ $E$ nên $ˆ E C M + ˆ E M C = 90^{\circ}$ $\hat{E C M} + \hat{E M C} = 90^{\circ}$

Suy ra $ˆ A B N + ˆ E M C = 90^{\circ}$ $\hat{A B N} + \hat{E M C} = 90^{\circ}$ hay $ˆ M B O + ˆ B M O = 90^{\circ}$ $\hat{M B O} + \hat{B M O} = 90^{\circ}$ .

Do đó ta tính được $ˆ B O M = 90^{\circ}$ $\hat{B O M} = 90^{\circ}$ . Vậy $B N ⊥ C M$ $B N ⊥ C M$ .

b) $Δ B M O = Δ B H O$ $Δ B M O = Δ B H O$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $O M = O H$ $O M = O H$

$Δ C N O = Δ C K O$ $Δ C N O = Δ C K O$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $O N = O K$ $O N = O K$ .

Tứ giác $M N H K$ $M N H K$ có hai đường chéo $M H$ $M H$ và $N K$ $N K$ cắt nhau tại trung điểm $O$ $O$ của mỗi đường nên $M N H K$ $M N H K$ là hình bình hành.