Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB

Mai Hương Ngày: 29-01-2024 Lớp 8

Với giải Bài 73 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 9: Hình đồng dạng giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB

Bài 73 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ, CM và NP (Hình 60). Chứng minh:

a) DE song song với AC;

b) DE = DF.

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M

a) Do MNPQ là hình vuông nên MQ // NP, mà E ∈ MQ nên EQ // NP.

Xét ∆BNP với EQ // NP, ta có $\frac{B E}{E N} = \frac{B Q}{Q P}$ (định lí Thalès) (1)

MNPQ là hình vuông nên MQ ⊥ BC, do đó tam giác BQM vuông tại Q.

Xét ∆BQM (vuông tại Q) và ∆BAC (vuông tại A) có: $\hat{B}$ là góc chung

Do đó ∆BQM ᔕ ∆BAC (g.g).

Suy ra $\frac{B Q}{B A} = \frac{Q M}{A C}$ (tỉ số đồng dạng)

Hay $\frac{B Q}{Q M} = \frac{A B}{A C},$ mà QM = QP (do MNPQ là hình vuông)

Do đó $\frac{B Q}{Q P} = \frac{A B}{A C}$ (2)

Xét ∆ABC có AD là phân giác của góc BAC nên: $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ (tính chất đường phân giác) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có $\frac{B E}{E N} = \frac{D B}{D C}$

Xét ∆NBC có $\frac{B E}{E N} = \frac{B D}{D C}$ nên DE // NC (định lí Thalès đảo) hay DE // AC.

b) Do DE // AC (câu a) nên $\frac{D E}{C N} = \frac{B D}{B C}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Do đó $D E = \frac{B D}{B C} \cdot C N .$

• Do MNPQ là hình vuông nên MQ // NP, mà F ∈ NP nên FP // MQ.

Xét ∆MQB với FP // MQ, ta có $\frac{C F}{F M} = \frac{C P}{P Q}$ (định lí Thalès) (4)

Xét ∆CPN (vuông tại P) và ∆CAB (vuông tại A) có: $\hat{C}$ là góc chung

Do đó ∆CPN ᔕ ∆CAB (g.g).

Suy ra $\frac{C P}{C A} = \frac{P N}{A B}$ (tỉ số đồng dạng) hay $\frac{C P}{P N} = \frac{A C}{A B}$

Mà PQ = PN (do MNPQ là hình vuông) nên $\frac{C P}{P Q} = \frac{A C}{A B}$ (5)

Từ $\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}$ ta có $\frac{A C}{A B} = \frac{D C}{D B}$ (6)

Từ (4), (5), (6) ta có $\frac{C F}{F M} = \frac{C D}{D B}$

Xét ∆MBC có $\frac{C F}{F M} = \frac{C D}{D B}$ nên DF // BM (định lí Thalès đảo) hay DF // AB.

Suy ra $\frac{D F}{B M} = \frac{C D}{C B}$ (hệ quả của định lí Thalès), nên $D F = \frac{C D}{C B} \cdot B M$ .

Mặt khác, ∆ABC với MN // BC (cùng vuông góc với MQ), ta có $\frac{B M}{A B} = \frac{C N}{A C}$ (hệ quả của định lí Thalès), do đó $\frac{C N}{B M} = \frac{A C}{A B}$

Lại có $\frac{B D}{C D} = \frac{A B}{A C}$ nên $\frac{D E}{D F} = \frac{\frac{B D}{B C} \cdot C N}{\frac{C D}{C B} \cdot B M}$ = $\frac{B D}{C D} \cdot \frac{C N}{B M}$ = $\frac{A B}{A C} \cdot \frac{A C}{A B} = 1.$

Suy ra DE = DF.

Xem thêm lời giải SBT Toán lớp 8 bộ sách Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 56 trang 83 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và AC thỏa mãn MN // BC và $\frac{A M}{M B} = \frac{2}{3}$ .

Bài 57 trang 83 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác MNP và M’N’P’. Phát biểu nào sau đây là đúng?

Bài 58 trang 83 SBT Toán 8 Tập 2: Nếu ∆MNP ᔕ ∆DEG thì

Bài 59 trang 83 SBT Toán 8 Tập 2: Cho ∆MNP ᔕ ∆M’N’P’ và $\hat{M} = 30 °, \hat{N^{'}} = 40 °$ . Số đo góc P là:

Bài 60 trang 83 SBT Toán 8 Tập 2: Hình 54 cho biết A’B’ = 4, A’O = 3, AO = 6, OB = x, AB = y

Bài 61 trang 83 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có DE // BC (Hình 55).

Bài 62 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc ABC (Hình 56). Độ dài DC là:

Bài 63 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: ∆ABC ᔕ ∆DEF theo tỉ số đồng dạng k, ∆MNP ᔕ ∆DEF theo tỉ số đồng dạng q. Khi đó, ∆ABC ᔕ ∆MNP theo tỉ số đồng dạng là:

Bài 64 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: Để đo khoảng cách AB, trong đó điểm B không tới được, người ta tiến hành đo bằng cách lấy các điểm C, D, E sao cho AD = 10 m, CD = 7 m, DE = 4 m (Hình 57).

Bài 65 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB. Đường thẳng qua M song song với AC cắt AB ở D.