Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB

228

Với giải Bài 73 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 9: Hình đồng dạng giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải, từ đó biết cách làm bài tập Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB

Bài 73 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ, CM và NP (Hình 60). Chứng minh:

a) DE song song với AC;

b) DE = DF.

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M

a) Do MNPQ là hình vuông nên MQ // NP, mà E ∈ MQ nên EQ // NP.

Xét ∆BNP với EQ // NP, ta có BEEN=BQQP (định lí Thalès) (1)

MNPQ là hình vuông nên MQ ⊥ BC, do đó tam giác BQM vuông tại Q.

Xét ∆BQM (vuông tại Q) và ∆BAC (vuông tại A) có: B^ là góc chung

Do đó ∆BQM ᔕ ∆BAC (g.g).

Suy ra BQBA=QMAC (tỉ số đồng dạng)

Hay BQQM=ABAC, mà QM = QP (do MNPQ là hình vuông)

Do đó BQQP=ABAC (2)

Xét ∆ABC có AD là phân giác của góc BAC nên: DBDC=ABAC (tính chất đường phân giác) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có BEEN=DBDC

Xét ∆NBC có BEEN=BDDC nên DE // NC (định lí Thalès đảo) hay DE // AC.

b) Do DE // AC (câu a) nên DECN=BDBC (hệ quả của định lí Thalès)

Do đó DE=BDBCCN.

• Do MNPQ là hình vuông nên MQ // NP, mà F ∈ NP nên FP // MQ.

Xét ∆MQB với FP // MQ, ta có CFFM=CPPQ (định lí Thalès) (4)

Xét ∆CPN (vuông tại P) và ∆CAB (vuông tại A) có: C^ là góc chung

Do đó ∆CPN ᔕ ∆CAB (g.g).

Suy ra CPCA=PNAB (tỉ số đồng dạng) hay CPPN=ACAB

Mà PQ = PN (do MNPQ là hình vuông) nên CPPQ=ACAB (5)

Từ DBDC=ABAC ta có ACAB=DCDB (6)

Từ (4), (5), (6) ta có CFFM=CDDB

Xét ∆MBC có CFFM=CDDB nên DF // BM (định lí Thalès đảo) hay DF // AB.

Suy ra DFBM=CDCB (hệ quả của định lí Thalès), nên DF=CDCBBM.

Mặt khác, ∆ABC với MN // BC (cùng vuông góc với MQ), ta có BMAB=CNAC (hệ quả của định lí Thalès), do đó CNBM=ACAB

Lại có BDCD=ABAC nên DEDF=BDBCCNCDCBBM = BDCDCNBM = ABACACAB=1.

Suy ra DE = DF.

Đánh giá

0

0 đánh giá