Toptailieu.vn xin giới thiệu sơ lược Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Toán 12 chọn lọc, hay nhất giúp học sinh lớp 12 ôn luyện để nắm chắc kiến thức cơ bản và đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán.

Mời các bạn đón xem:

Lý thuyết Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - Toán 12

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa:

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

    - Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) .

    - Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

    Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    - Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K .

    - Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

    Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

    - Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

    - Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

    - Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

* Chú ý.

    - Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm f'(x) > 0, ∀x ∈ K trên khoảng (a; b) thì hàm số đồng biến trên đoạn [a; b].

    - Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K ( hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K ) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K).

B. Bài tập

Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y = 4 + 3x – x2  ;                   b) y = 1/3x3 + 3x2  – 7x – 2 ;

c) y = x4 – 2x2  + 3 ;                  d) y = -x3 + x2  – 5.

Đáp án bài 1: a) Tập xác định : D = R;

y’ = 3 – 2x => y’ = 0 ⇔ x = 3/2
Ta có Bảng biến thiên :     

Hàmsố đồng biến trên khoảng (-∞; 3/2); nghịch biến trên khoảng ( 3/2; +∞ ).

b) Tập xác định  D = R;
y’= x2 + 6x – 7 => y’ = 0 ⇔ x = 1, x = -7.

Bảng biến thiên :

Hàmsố đồng biến trên các khoảng (-∞ ; -7), (1 ; +∞) ; nghịch biến trên các khoảng (-7 ; 1).

c) Tập xác định : D = R.

y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2  – 1) => y’ = 0 ⇔ x = -1, x = 0, x = 1.

Bảng biến thiên : (Học sinh tự vẽ)

Hàm số đồngbiến trên các khoảng (-1 ; 0), (1 ; +∞) ; nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; -1), (0 ; 1).

d) Tập xác định : D = R.     y’ = -3x2 + 2x => y’ = 0 ⇔ x = 0, x = 2/3.

Bảng biến thiên :

Hàmsố đồng biến trên khoảng ( 0 ; 2/3) ; nghịch biến trên các khoảng (-∞ ; 0),   ( 2/3; +∞).

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàmsố:

Đáp án bài 2: a) Tập xác định : D = R\{ 1 }

.

Hàm số đồng biến trên các khoảng : (-∞ ; 1), (1 ; +∞).

b) Tập xác định : D = R\{ 1 }.

Hàmsố nghịch biến trên các khoảng : (-∞ ; 1), (1 ; +∞).

c) Tập xác định : D = (-∞ ; -4] ∪ [5 ; +∞).

Với x ∈ (-∞ ; -4) thì y’ < 0; với x ∈ (5 ; +∞) thì y’ > 0. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞ ; -4) và đồng biến trên khoảng (5 ; +∞).

d) Tập xác định : D = R\{ -3 ; 3 }.

Hàmsố nghịch biến trên các khoảng : (-∞ ; -3), (-3 ; 3), (3 ; +∞).