Cho elip (E): (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 (a > b

Cho elip (E): (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 (a > b > 0)

Nguyen Thi Minh Thao Ngày: 05-10-2022 Lớp 10

700

Với giải Bài 7.35 trang 59 SGK Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài tập cuối chương VII giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 10 Bài 7.35 trang 59 SGK Toán 10 Tập 2

Bài 7.35 trang 59 SGK Toán 10 Tập 2: Cho elip (E): $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$

a) Tìm các giao điểm $A_{1}, A_{2}$ của (E) với trục hoành và các giao điểm $B_{1}, B_{2}$ của (E) với trục tung. Tính $A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}$ .

b) Xét một điểm bất kì $M (x_{o}; y_{o})$ thuộc (E).

Chứng minh rằng, $b^{2} \leq x_{o}^{2} + y_{o}^{2} \leq a^{2}$ và $b \leq O M \leq a$ .

Chú ý: $A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}$ tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.

Phương pháp giải:

a) Tọa độ $A_{1}, A_{2}$ thỏa mãn phương trình (E) và $y = 0$ . Tọa độ $B_{1}, B_{2}$ thỏa mãn phương trình (E) và $x = 0$ .

b) Sử dụng tính chất $a > b > 0$ và đẳng thức $\frac{x_{o}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{o}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Lời giải:

a) Các giao điểm của (E) với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

${\begin{cases} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x \pm a \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} A_{1} (- a; 0) \\ A_{2} (a; 0) \end{cases}$

Các giao điểm của (E) với trục tung có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình

${\begin{cases} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = 0 \\ y = \pm b \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} B_{1} (0; - b) \\ B_{2} (0; b) \end{cases}$

Ta có $A_{1} A_{2} = 2 a, B_{1} B_{2} = 2 b$ .

b) Do M thuộc (E) nên ta có $\frac{x_{o}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{o}^{2}}{b^{2}} = 1$

Do $a > b > 0$ nên ta có $\frac{x_{o}^{2}}{a^{2}} \leq \frac{x_{o}^{2}}{b^{2}}$ . Suy ra $1 \leq \frac{x_{o}^{2}}{b^{2}} + \frac{y_{o}^{2}}{b^{2}} \Rightarrow b^{2} \leq x_{o}^{2} + y_{o}^{2}$

Tương tự ta có $\frac{y_{o}^{2}}{a^{2}} \leq \frac{y_{o}^{2}}{b^{2}}$ nên $1 \geq \frac{y_{o}^{2}}{a^{2}} \leq \frac{y_{o}^{2}}{b^{2}} \Rightarrow a^{2} \geq x_{o}^{2} + y_{o}^{2}$