Toán 10 Cánh Diều Bài 1: Tọa độ của vectơ

Chang Ngày: 14-02-2023 Lớp 10

643

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ sách Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 2. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Cánh Diều Bài 1: Tọa độ của vectơ

Câu hỏi trang 60 Toán 10

Câu hỏi khởi động trang 60 Toán lớp 10 Tập 2: Hình 1 minh họa hoạt động của một màn hình ra đa ở trạm kiểm soát không lưu của sân bay, đang theo dõi một máy bay hạ cánh. Máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa bởi một đốm sáng, kí hiệu là M. Dựa trên sự thay đổi của tọa độ vectơ $\vec{O M}$ , trạm kiểm soát có thể xác định được đường bay của máy bay.

(ảnh 1)

Tọa độ của vectơ $\vec{O M}$ là gì?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ biết tọa độ của vectơ $\vec{O M}$ chính là tọa độ của điểm M.

1. Tọa độ của một điểm

Hoạt động 1 trang 60 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2), hãy:

a) Tìm hoành độ và tung độ của điểm A.

b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M tùy ý.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2), hãy: (ảnh 1)

Lời giải:

a) Từ điểm A, kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và ta thấy đường thẳng này cắt trục hoành tại điểm ứng với số 2. Tương tự, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và ta thấy đường thẳng này cắt trục tung tại điểm ứng với số 2.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2), hãy: (ảnh 2)

Vậy hoành độ của điểm A là 2 và tung độ của điểm A là 2.

b) Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2), hãy: (ảnh 3)

- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.

Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).

2. Tọa độ của một vectơ

Câu hỏi trang 61 Toán 10

Hoạt động 2 trang 61 Toán lớp 10 Tập 2: Cho điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) Vẽ vectơ $\vec{O M}$ .

b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M.

Lời giải:

a) Ta vẽ vectơ $\vec{O M}$ như sau:

(ảnh 1)

b) Để xác định tọa độ của một điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau:

- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.

Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).

Hoạt động 3 trang 61 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ (Hình 7). Hãy xác định điểm A sao cho.

(ảnh 1)

Lời giải:

Để xác định điểm A, ta làm như sau:

(ảnh 2)

- Qua O kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ $\vec{u}$ .

- Lấy điểm A trên đường thẳng d sao cho hai vectơ $\vec{O A}, \vec{u}$ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OA bằng độ dài vectơ $\vec{u}$ .

Vậy ta xác định được điểm A thỏa mãn yêu cầu.

Luyện tập 1 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{c}, \vec{d}$ trong Hình 11.

Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình 11. (ảnh 1)

Lời giải:

Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình 11. (ảnh 2)

- Giá của vectơ $\vec{c}$ song song với trục Ox, trên trục Ox, lấy điểm A sao cho hai vectơ $\vec{O A}, \vec{c}$ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OA bằng độ dài vectơ $\vec{c}$ và bằng 3 (đơn vị ô vuông)Ta có: $\vec{c} = \vec{O A}$ và A(– 3; 0); tọa độ vectơ $\vec{O A}$ chính là tọa độ điểm A nên $\vec{c} = (- 3; 0)$ .

- Giá của vectơ $\vec{d}$ song song với trục Oy, trên trục Oy, lấy điểm B sao cho hai vectơ $\vec{O B}, \vec{d}$ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OB bằng độ dài vectơ $\vec{d}$ và bằng 2 (đơn vị ô vuông).

Ta có: $\vec{d} = \vec{O B}$ và B(0; 2); tọa độ vectơ $\vec{O B}$ chính là tọa độ điểm B nên $\vec{d} = (0; 2)$ .

Câu hỏi trang 63 Toán 10

Hoạt động 4 trang 63 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ $\vec{u} = (a; b)$ . Ta chọn điểm A sao cho $\vec{O A} = \vec{u}$ .

Xét vectơ đơn vị $\vec{i}$ trên trục hoành Ox và vectơ đơn vị $\vec{j}$ trên trục tung Oy (Hình 12).

(ảnh 1)

a) Tìm hoành độ và tung độ của điểm A.

b) Biểu diễn vectơ $\vec{O H}$ qua vectơ $\vec{i}$ .

c) Biểu diễn vectơ $\vec{O K}$ qua vectơ $\vec{j}$ .

d) Chứng tỏ rằng $\vec{u} = a \vec{i} + b \vec{j}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{O A} = \vec{u}$ , mà (a; b) là tọa độ của vectơ $\vec{u}$ nên điểm A có hoành độ là a và tung độ là b.

b) Điểm H biểu diễn số a trên trục Ox nên $\vec{O H} = a \vec{i}$ .

c) Điểm K biểu diễn số b trên trục Oy nên $\vec{O K} = b \vec{j}$ .

d) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\vec{O A} = \vec{O K} + \vec{O H}$ .

Mà $\vec{O H} = a \vec{i}$ , $\vec{O K} = b \vec{j}$ nên $\vec{O A} = a \vec{i} + b \vec{j}$ .

Theo bài ra ta có: $\vec{O A} = \vec{u}$ .

Vậy $\vec{u} = a \vec{i} + b \vec{j}$ .

Luyện tập 2 trang 63 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm B(– 1; 0) và vectơ $\vec{v}$ = (0; – 7).

a) Biểu diễn $\vec{v}$ vectơ qua hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ .

b) Biểu diễn $\vec{O B}$ vectơ qua hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ .

Lời giải:

a) Vì $\vec{v}$ = (0; – 7) nên $\vec{v} = 0. \vec{i} + (- 7) . \vec{j} = - 7 \vec{j}$ .

b) Vì điểm B có tọa độ là (– 1; 0) nên $\vec{O B} = (- 1; 0)$ . Do đó:

$\vec{O B} = (- 1) . \vec{i} + 0. \vec{j} = - \vec{i}$ .

3. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ

Câu hỏi trang 64 Toán 10

Hoạt động 5 trang 64 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A, B (Hình 13).

(ảnh 1)

a) Tìm hoành độ xA và tung độ yA của điểm A; hoành độ xB và tung độ yB của điểm B.

b) Tìm điểm M sao cho $\vec{O M} = \vec{A B}$ . Từ đó, tìm hoành độ a và tung độ b của vectơ $\vec{A B}$ .

c) So sánh: xB – xA và a; yB – yA và b.

Lời giải:

a) Từ A và B ta kẻ các đường thẳng vuông góc với trục tung và trục hoành.

(ảnh 2)

Ta xác định được tọa độ của các điểm A và B.

Hoành độ của điểm A là xA = 2, tung độ của điểm A là yA = 2.

Hoành độ của điểm B là xB = 4, tung độ của điểm B là yB = 3.

b) Để xác định điểm M, ta làm như sau:

- Từ đểm O, kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ $\vec{A B}$ (chính là đường thẳng AB).

- Lấy điểm M trên đường thẳng d sao cho hai vectơ $\vec{A B}, \vec{O M}$ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OM bằng độ dài vectơ $\vec{A B}$ (chính là độ dài đoạn thẳng AB).

Ta xác định được điểm M thỏa mãn $\vec{O M} = \vec{A B}$ như hình vẽ:

(ảnh 3)

Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành, đường thẳng này cắt trục hoành tại điểm ứng với số 2, nên hoành độ của điểm M là xM = 2.

Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung, đường thẳng này cắt trục tung tại điểm ứng với số 1, nên tung độ của điểm M là yM = 1.

Tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ $\vec{O M}$ nên $\vec{O M} = (2; 1)$ .

Lại có $\vec{O M} = \vec{A B}$ , do đó tọa độ của vectơ $\vec{A B}$ là (2; 1).

Vậy hoành độ của vectơ $\vec{A B}$ là a = 2 và tung độ của vectơ $\vec{A B}$ là b = 1.

c) Ta có: xB – xA = 4 – 2 = 2 và a = 2 nên xB – xA = a.

Và yB – yA = 3 – 2 = 1 và b = 1 nên yB – yA = b.

Luyện tập 3 trang 64 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm: A(1; 3), B(5; – 1), C(2; – 2), D(– 2; 2).

Chứng minh $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} = (5 - 1; (- 1) - 3)$ . Do đó $\vec{A B} = (4; - 4)$ .

Lại có: $\vec{D C} = (2 - (- 2); (- 2) - 2)$ . Do đó $\vec{D C} = (4; - 4)$

Vậy $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Bài tập

Câu hỏi trang 65 Toán 10

Bài 1 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình 16 và biểu diễn mỗi vectơ đó qua hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$

(ảnh 1)

Lời giải:

Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình 16 và biểu diễn mỗi vectơ đó qua (ảnh 2)

Từ O, vẽ các đường thẳng song song với giá của các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ .

Trên các đường thẳng đó, lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho $\vec{O A} = \vec{a}$ , $\vec{O B} = \vec{b}$ , $\vec{O C} = \vec{c}$ , $\vec{O D} = \vec{d}$ (như hình vẽ trên).

Từ các điểm A, B, C, D, kẻ các đường thẳng vuông góc với các trục tọa độ Ox, Oy để xác định tọa độ các điểm này. Ta xác định được tọa độ của các điểm là: A(– 5; – 3), B(3; – 4), C(– 1; 3) và D(2; 5).

+) Ta có $\vec{O A} = \vec{a}$ và tọa độ A là A(– 5; – 3), tọa độ của vectơ $\vec{O A}$ chính là tọa độ của điểm A, do đó tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là (– 5; – 3) và $\vec{a} = (- 5) . \vec{i} + (- 3) . \vec{j} = - 5 \vec{i} - 3 \vec{j}$ .

+) Ta có $\vec{O A} = \vec{a}$ và tọa độ của B(3; – 4), tọa độ của vectơ $\vec{O B}$ chính là tọa độ của điểm B, do đó tọa độ của vectơ $\vec{b}$ là (3; – 4) và $\vec{b} = 3. \vec{i} + (- 4) . \vec{j} = 3 \vec{i} - 4 \vec{j}$ .

+) Ta có $\vec{O C} = \vec{c}$ và tọa độ của C(– 1; 3), tọa độ của vectơ $\vec{O C}$ chính là tọa độ của điểm C, do đó tọa độ của vectơ $\vec{c}$ là (– 1; 3) và $\vec{c} = (- 1) . \vec{i} + 3. \vec{j} = - \vec{i} + 3 \vec{j}$ .

+) Ta có $\vec{O D} = \vec{d}$ và tọa độ của D(2; 5), tọa độ của vectơ $\vec{O D}$ chính là tọa độ của điểm D, do đó tọa độ của vectơ $\vec{d}$ là (2; 5) và $\vec{d} = 2. \vec{i} + 5. \vec{j} = 2 \vec{i} + 5 \vec{j}$ .

Bài 2 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ của các vectơ sau:

a) $\vec{a} = 3 \vec{i}$ ;

b) $\vec{b} = - \vec{j}$ ;

c) $\vec{c} = \vec{i} - 4 \vec{j}$ ;

d) $\vec{d} = 0, 5 \vec{i} + \sqrt{6} \vec{j}$ .

Lời giải:

Tìm tọa độ của các vectơ sau: (ảnh 1)

Bài 3 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm các số thực a và b sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau:

a) $\vec{u} = (2 a - 1; - 3)$ và $\vec{v} = (3; 4 b + 1)$ ;

b) $\vec{x} = (a + b; - 2 a + 3 b)$ và $\vec{y} = (2 a - 3; 4 b)$ .

Lời giải:

Hai vectơ bằng nhau khi hoành độ của vectơ này bằng hoành độ của vectơ kia và tung độ của vectơ này bằng tung độ của vectơ kia.

Tìm các số thực a và b sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau: (ảnh 1)

Từ (1) và (2) ta được: a – 3 = – 2a ⇔ a + 2a = 3 ⇔ 3a = 3 ⇔ a = 1.

Thay vào (1) ta được: b = 1 – 3 = – 2.

Vậy a = 1 và b = – 2.

Câu hỏi trang 66 Toán 10

Bài 4 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2; 3), B(– 1; 1), C(3; – 1).

a) Tìm toạ độ điểm M sao cho $\vec{A M} = \vec{B C}$ .

b) Tìm toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng AC. Chứng minh rằng $\vec{B N} = \vec{N M}$

Lời giải:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2; 3), B(– 1; 1), C(3; – 1). (ảnh 1)

Bài 5 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(– 1; 3).

a) Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O.

b) Tìm toạ độ điểm B đối xứng với điểm M qua trục Ox.

c) Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm M qua trục Oy

Lời giải:

a) Điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O nên O là trung điểm của AM.

Do đó $\vec{A O} = \vec{O M}$ .

Gọi tọa độ điểm A(a; b).

Ta có: $\vec{A O} = (0 - a; 0 - b) = (- a; - b)$ ; $\vec{O M} = (- 1; 3)$ (tọa độ vectơ $\vec{O M}$ chính là tọa độ điểm M).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(– 1; 3). (ảnh 1)

Vậy tọa độ điểm A là A(1; – 3).

b) Vì điểm B đối xứng với điểm M qua trục Ox nên hoành độ của điểm B giữ nguyên và tung độ của điểm B đối nhau với trung độ của điểm M.

Vậy ta có tọa độ của B là B(– 1; – 3).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(– 1; 3). (ảnh 2)

c) Điểm C đối xứng với điểm M qua trục Oy nên tung độ của điểm C giữ nguyên và hoành độ của điểm C đối nhau với hoành độ của điểm M.

Vậy tọa độ của điểm C là C(1; 3).

Bài 6 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(– 3; 1), B(– 1; 3), I(4; 2). Tìm toạ độ của hai điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành nhận I làm tâm đối xứng.

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm C(x_C; y_C), tọa độ điểm D(x_D; y_D).

Khi đó ta có: $\vec{A I} = (4 - (- 3); 2 - 1) = (7; 1)$ , $\vec{I C} = (x_{C} - 4; y_{C} - 2)$ .

Vì I là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD nên I là trung điểm của AC, do đó

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(– 3; 1), B(– 1; 3), I(4; 2) (ảnh 1)

Vậy tọa độ điểm C là C(11; 3).

Ta có: $\vec{A B} = ((- 1) - (- 3); 3 - 1) = (2; 2)$ , $\vec{D C} = (11 - x_{D}; 3 - y_{D})$ .

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{D C}$ $\Leftrightarrow \vec{D C} = (2; 2)$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(– 3; 1), B(– 1; 3), I(4; 2) (ảnh 2)

Vậy tọa độ điểm D là D(9; 1).

Bài 7 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC. Các điểm M(1; – 2), N(4; – 1) và P(6; 2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC. Các điểm M(1; – 2), N(4; – 1) và P(6; 2) (ảnh 1)

Từ khóa :

Giải bài tập Toán 10

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

297

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

319

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

347

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

295