Tính f(0);    f(1);    f(2);   f(3);     f(-2);     f(-10)

Phương pháp giải:

Thay từng giá trị của  x vào hàm số ${\displaystyle y=\frac{1}{2}x+5}$ rồi tính toán. 

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& f\left(0\right)=\frac{1}{2}.0+5=5\\ & f\left(2\right)=\frac{1}{2}.2+5=6\\ & f\left(3\right)=\frac{1}{2}.3+5=\frac{13}{2}\\ & f\left(-2\right)=\frac{1}{2}.\left(-2\right)+5=4\\ & f\left(-10\right)=\frac{1}{2}.\left(-10\right)+5=0\end{array}$

${\displaystyle f(1)=\frac{1}{2}.1+5={\displaystyle \frac{11}{2}}}$

$A\left({\displaystyle \frac{1}{3}};6\right),B\left({\displaystyle \frac{1}{2}};4\right),C\left(1;2\right),D\left(2;1\right),E\left(3;{\displaystyle \frac{2}{3}}\right),F\left(4;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

b) Vẽ đồ thị của hàm số $y=2x.$

Phương pháp giải

a) Xác định hoành độ và tung độ mỗi điểm rồi biểu diễn trên mặt phẳng $Oxy.$

b) Đồ thị hàm số $y=ax\left(a\ne 0\right)$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$ và $M\left(1;a\right)$ 

Lời giải:

a) Vẽ hình

b) Lấy $x=1\Rightarrow y=2x=2.1=2$

Nên đồ thị hàm số $y=2x$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$ và $C\left(1;2\right).$

Phương pháp giải:

Thay từng giá trị của  vào mỗi hàm số để tính giá trị tương ứng của  

Lời giải:

Ta có bảng sau:

Bài tập trang 44-46 SGK Toán 9

Tính: $f(-2);$    $f(-1);$       $f(0);$     $f(\frac{1}{2});$    $f(1);$   $f(2);$       $f(3)$.

b) Cho hàm số $y=g(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}x+3$.

Tính: $g(-2);$     $g(-1);$   $g(0);$     $g({\displaystyle \frac{1}{2}});$   $g(1);$      $g(2);$    $g(3)$.

c) Có nhận xét gì về giá trị của hai hàm số đã cho ở trên khi biến $x$ lấy cùng một giá trị ?

Phương pháp giải:

+) Giá trị của hàm số $f(x)$ tại $x=a$ là $f(a)$. 

Tức là thay $x=a$ vào biểu thức của hàm số $f(x)$ ta tính được $f(a)$.

+) Giá trị của hàm số $y=ax+b$ lớn hơn giá trị của hàm số $y=ax$ là $b$ đơn vị khi $x$ lấy cùng một giá trị.

Lời giải:

a) Thay các giá trị vào hàm số $y=f(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}x$. Ta có

 $f(-2)={\displaystyle \frac{2}{3}}.(-2)={\displaystyle \frac{2.(-2)}{3}}={\displaystyle \frac{-4}{3}}$.

 $f(-1)={\displaystyle \frac{2}{3}}.(-1)={\displaystyle \frac{2.(-1)}{3}}={\displaystyle \frac{-2}{3}}$.

 $f(0)={\displaystyle \frac{2}{3}}.0=0$. 

 $f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

 $f(1)={\displaystyle \frac{2}{3}}.1={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

 $f(2)={\displaystyle \frac{2}{3}}.2={\displaystyle \frac{4}{3}}$.

 $f(3)={\displaystyle \frac{2}{3}}.3=2$. 

b) Thay các giá trị vào hàm số $y=g(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}x+3$. Ta có

 $$\begin{gathered} g(-2)={\displaystyle \frac{2}{3}}.(-2)+3={\displaystyle \frac{2.(-2)}{3}}+3 \\ ={\displaystyle \frac{-4}{3}}+{\displaystyle \frac{9}{3}}={\displaystyle \frac{5}{3}}. \end{gathered}$$

 $$\begin{gathered} g(-1)={\displaystyle \frac{2}{3}}.(-1)+3={\displaystyle \frac{2.(-1)}{3}}+3 \\ ={\displaystyle \frac{-2}{3}}+{\displaystyle \frac{9}{3}}={\displaystyle \frac{7}{3}}. \end{gathered}$$

 $g(0)={\displaystyle \frac{2}{3}}.0+3={\displaystyle \frac{2.0}{3}}+3=0+3=3.$

 $$\begin{gathered} g\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}+3 \\ ={\displaystyle \frac{1}{3}}+3={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{9}{3}}={\displaystyle \frac{10}{3}}. \end{gathered}$$

 $$\begin{gathered} g(1)={\displaystyle \frac{2}{3}}.1+3={\displaystyle \frac{2}{3}}+3 \\ ={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{9}{3}}={\displaystyle \frac{11}{3}}. \end{gathered}$$

 $$\begin{gathered} g(2)={\displaystyle \frac{2}{3}}.2+3={\displaystyle \frac{2.2}{3}}+3={\displaystyle \frac{4}{3}}+3 \\ ={\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{9}{3}}={\displaystyle \frac{13}{3}} \end{gathered}$$

 $g(3)={\displaystyle \frac{2}{3}}.3+3=2+3=5.$

c)

Từ kết quả câu a và câu b ta thấy:

Khi $x$ lấy cùng một giá trị thì giá trị của $g(x)$ lớn hơn giá trị của $f(x)$ là $3$ đơn vị.

(Chú ý: Hai hàm số $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x$ và $y={\displaystyle \frac{2}{3}}x+3$ đều là hàm số đồng biến vì khi $x$ tăng thì $y$ cũng nhận được các giá trị tương ứng tăng lên).

a) Tính các giá trị tương ứng của y theo các giá trị của x rồi điền vào bảng sau:

b) Hàm số đã cho là hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao ?

Phương pháp giải:

a) Lần lượt thay từng giá trị của $x$ vào công thức hàm số $y=f(x)$ ta tính được giá trị $y$ của hàm số tại điểm đó. 

b) Với $x_1,x_2\in \mathbb{R}$:

Nếu $x_1<x_2$  và   $f(x_1)<f(x_2)$  thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Nếu $x_1<x_2$  và   $f(x_1)>f(x_2)$  thì hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Lời giải:

a) Ta có $y=f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3$.

Với $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3$ thay các giá trị của $x$ vào biểu thức của $y$, ta được:

+) $f\left(-2,5\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.\left(-2,5\right)+3$

$=(-0,5).(-2,5)+3$$=1,25+3=4,25$

+)  $f\left(-2\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.\left(-2\right)+3$

 $=(-0,5).(-2)+3=1+3=4$.

 +) $f\left(-1,5\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.\left(-1,5\right)+3$

$=(-0,5).(-1,5)+3$$=0,75+3=3,75$.

 +) $f\left(-1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.\left(-1\right)+3$

$=(-0,5).(-1)+3=0,5+3=3,5$.

+) $f\left(-0,5\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.\left(-0,5\right)+3$

$=(-0,5).(-0,5)+3$$=0,25+3=3,25$.

 +) $f\left(0\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.0+3$$=(-0,5).0+3=0+3=3$

 +) $f\left(0,5\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.0,5+3$

$=(-0,5).0,5+3$$=-0,25+3=2,75$

 +) $f\left(1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.1+3$

$=(-0,5).1+3=-0,5+3=2,5$.

+) $f\left(1,5\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.1,5+3$

$=(-0,5).1,5+3=-0,75+3$$=2,25$

+)  $f\left(2\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.2+3$

$=(-0,5).2+3=-1+3=2$.

 +) $f\left(2,5\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}.2,5+3$

$=(-0,5).2,5+3=-1,25+3$$=1,75$

Ta có bảng sau:

b) Nhìn vào bảng giá trị của hàm số ở câu $a$ ta thấy khi $x$ càng tăng thì giá trị của $f(x)$ càng giảm. Do đó hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho.

b) Trong hai hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến ? Hàm số nào nghịch biến ? Vì sao ?

Phương pháp giải:

a) Cách vẽ đồ thị hàm số $y=ax,(a\ne 0)$:  Cho $x=x_0\Rightarrow y_0=a{x}_0$

Đồ thị hàm số $y=ax(a\ne 0)$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm $A(x_0;y_0)$

b) Với $x_1,x_2\in \mathbb{R}$:  

Nếu $x_1<x_2$  và   $f(x_1)<f(x_2)$  thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Nếu $x_1<x_2$  và   $f(x_1)>f(x_2)$  thì hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Lời giải:

a)

+) Hàm số:  $y=2x$

Cho $x=0\Rightarrow y=2.0=0\Rightarrow O(0;0)$.

Cho $x=1\Rightarrow y=2.1=2\Rightarrow A(1;2)$.

Đồ thị của hàm số $y=2x$ là đường thẳng đi qua $O(0;0)$ và điểm $A(1;2)$.

+) Hàm số:  $y=-2x$

Cho $x=0\Rightarrow y=-2.0=0\Rightarrow O(0;0)$.

Cho $x=1\Rightarrow y=-2.1=-2\Rightarrow B(1;-2)$.

Đồ thị của hàm số $y=-2x$ là đường thẳng đi qua $O(0;0)$ và điểm $B(1;-2)$. 

b) Cách 1: Dùng định nghĩa

+) Xét hàm số: $y=f(x)=2x$

Với mọi $x_1,x_2\in \mathbb{R}$

Giả sử $x_1<x_2\Rightarrow 2x_1<2x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$

Do đó hàm số $y=2x$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. 

+) Xét hàm số $y=g(x)=-2x$

Với mọi $x_1,x_2\in \mathbb{R}$

Giả sử  $x_1<x_2\Rightarrow -2x_1>-2x_2\Rightarrow g(x_1)>g(x_2)$

Do đó hàm số $y=-2x$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.   

Cách 2:

Lập bảng giá trị cho $x$ nhận các giá trị $-2;-1;0;1;2$ ta được bảng sau:

Quan sát bảng trên ta thấy: Khi $x$ càng tăng thì giá trị của hàm số $y=2x$ càng tăng và giá trị của hàm số $y=-2x$ càng giảm. Do đó:

Hàm số $y=-2x$ nghịch biến, hàm số $y=2x$ đồng biến.

Hãy tìm hiểu và trình bày lại các bước thực hiện vẽ đồ thị đó. 

Phương pháp giải:

+) Cách vẽ đồ thị hàm số $y=ax,(a\ne 0)$:  Cho $x=x_0\Rightarrow y_0=a{x}_0$. Đồ thị hàm số đi qua điểm O(0;0) và điểm $(x_0;y_0)$

Đồ thị hàm số $y=ax(a\ne 0)$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm $A(x_0;y_0)$

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: Tam giác $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ thì $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$. 

Lời giải:

Cách vẽ:  

- Cho $x=1$ ta được $y=\sqrt{3}.1=\sqrt{3}$. Suy ra $A(1;\sqrt{3})$

- Cho $x=0$ ta được $y=\sqrt{3}.0=0$. Suy ra $O(0;0)$

Vẽ đường thẳng qua O, A được đồ thị hàm số $y=\sqrt{3}x.$

Các bước vẽ:

- Vẽ một hình vuông có độ dài cạnh là 1 đơn vị, có một đỉnh là O, lấy điểm $B(1;1)$. Khi đó, đường chéo OB có độ dài bằng $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.$

- Vẽ cung tròn tâm $O$, bán kính $OB$ , ta xác định được điểm $C$ trên tia $Ox$, và ta có $OC=\sqrt{2}.$

- Vẽ một hình chữ nhật có một đỉnh là O, cạnh CD = 1 và cạnh OC = OB = $\sqrt{2}$ ta được đường chéo $OD=\sqrt{C{D}^2+O{C}^2}=\sqrt{1+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{3}.$

- Vẽ cung tròn tâm $O$, bán kính $OD$ , ta xác định được điểm $E$ trên tia $Oy$, và ta có $OE=\sqrt{3}.$

- Vẽ hình chữ nhật có một đỉnh là O, có một cạnh bằng 1 đơn vị và một cạnh có độ dài bằng $OE=\sqrt{3}$ ta được điểm $A\left(1;\sqrt{3}\right)$ . 

- Vẽ đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm A ta được đồ thị của hàm số $y=\sqrt{3}x$ 

b) Đường thẳng song song với trục $Ox$ và cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ $y=4$ lần lượt cắt các đường thẳng $y=2x,y=x$ tại hai điểm $A$ và $B$.

Tìm tọa độ của các điểm $A,B$ và tính chu vi, diện tích của tam giác $OAB$ theo đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét.

Phương pháp giải:

a) Cách vẽ đồ thị hàm số $y=ax,(a\ne 0)$:  Cho $x=x_0\Rightarrow y_0=a{x}_0$

Đồ thị hàm số $y=ax(a\ne 0)$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm $A(x_0;y_0)$

b) +) Đường thẳng song song với trục $Ox$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ $y=b$ có phương trình đường thẳng là $y=b.$

+) Muốn tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $y=ax$ và $y=a^{\prime }x$ ta giải phương trình $ax=a^{\prime }x$ tìm được hoành độ. Thay hoành độ vào một trong hai đường thẳng trên tìm được tung độ.

+) Sử dụng đinh lí Py - ta - go trong tam giác vuông: $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ thì $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$.

+) Chu vi tam giác: $C_{∆OAB}=AB+BO+AO.$

+) Diện tích $\mathrm{\Delta }ABC$ có đường cao $h$  và $a$ là độ dài cạnh ứng với đường cao: $S_{∆OAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}.h.a$

Lời giải:

a) Xem hình trên và vẽ lại 

b)

+) Ta coi mỗi ô vuông trên hình $5$ là một hình vuông có cạnh là $1cm$.

    Từ hình vẽ ta xác định được: $A(2;4),B(4;4)$.

+) Tính độ dài các cạnh của $∆OAB$:

Dễ thấy $AB=4-2=2$  $(cm)$.

Gọi $C$ là điểm nằm trên trục tung, có tung độ là $4$, ta có $OC=4cm,AC=2cm;BC=4cm$

Áp dụng định lý Py-ta-go cho các tam giác vuông $OAC$ và $OBC$, ta có:

$\begin{array}{rl}& OA=\sqrt{A{C}^2+O{C}^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\left(cm\right)\\ & OB=\sqrt{B{C}^2+O{C}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\left(cm\right)\end{array}$

$\Rightarrow$ Chu vi $\mathrm{\Delta }OAB$ là:

$C_{\mathrm{\Delta }OAB}=OA+OB+AB$

              $=2+2\sqrt{5}+4\sqrt{2}\approx 12,13(cm)$

+) Tính diện tích $∆OAB$:

Cách 1:

$\begin{array}{rl}& S_{\mathrm{\Delta }OAB}=S_{\mathrm{\Delta }OBC}-S_{\mathrm{\Delta }OAC}\\ & =\frac{1}{2}OC.BC-\frac{1}{2}OC.AC\\ & =\frac{1}{2}{.4}^2-\frac{1}{2}.4.2=8-4=4\left(c{m}^2\right)\end{array}$

Cách 2: 

$∆OAB$ có đường cao ứng với cạnh $AB$ là $OC$.

$\Rightarrow S_{∆OAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}.OC.AB={\displaystyle \frac{1}{2}}.4.2=4$ $(c{m}^2)$

a) Tính giá trị $y$ tương ứng với mỗi hàm số theo giá trị đã cho của biến $x$ rồi điền vào bảng sau:

b) Có nhận xét gì về các giá trị tương ứng của hai hàm số đó khi biến $x$ lấy cùng một giá trị ?

Phương pháp giải:

a) Lần lượt thay từng giá trị của $x$ vào biểu thức của $y$ để tính giá trị của hàm số tại điểm đó.

b) Giá trị của hàm số $y=ax+b$ lớn hơn giá trị của hàm số $y=ax$ là $b$ đơn vị khi $x$ lấy cùng một giá trị.

Lời giải:

a) 

+) Thay giá trị của $x$ vào biểu thức của hàm số $y=0,5x$, ta được:

$f(-2,5)=0,5.(-2,5)=-1,25$.

 $f(-2,25)=0,5.(-2,25)=-1,125$.

$f(-1,5)=0,5.(-1,5)=-0,75$.

$f(-1)=0,5.(-1)=-0,5$.

$f(0)=0,5.0=0$.

$f(1)=0,5.1=0,5$.

$f(1,5)=0,5.1,5=0,75$.

$f(2,2,5)=0,5.2,25=1,125$.

$f(2,5)=0,5.2,5=1,25$.

+) Thay giá trị của $x$ vào biểu thức của hàm số $y=0,5x+2$, ta được:

$f(-2,5)=0,5.(-2,5)+2=-1,25+2=0,75$.

$f(-2,25)=0,5.(-2,25)+2=-1,125+2=0,875$.

$f(-1,5)=0,5.(-1,5)+2=-0,75+2=1,25$.

$f(-1)=0,5.(-1)+2=-0,5+2=1,5$.

$f(0)=0,5.0+2=0+2=2$.

$f(1)=0,5.1+2=0,5+2=2,5$.

$f(1,5)=0,5.1,5+2=0,75+2=2,75$.

$f(2,2,5)=0,5.2,25+2=1,125+2=3,125$.

$f(2,5)=0,5.2,5+2=1,25+2=3,25$.

Vậy ta có bảng sau:

b)

Khi $x$ lấy cùng một giá trị của $x$ thì giá trị của hàm số $y=0,5x+2$ lớn hơn giá trị của hàm số $y=0,5x$ là $2$ đơn vị.

Cho $x$ hai giá trị bất kì $x_1,x_2$ sao cho $x_1<x_2$ .

Hãy chứng minh $f(x_1)<f(x_2)$ rồi rút ra kết luận hàm số đã cho đồng biến trên$\mathbb{R}$

Phương pháp giải:

+) Định nghĩa hàm số đồng biến:   Với $x_1,x_2\in \mathbb{R}$:

     Nếu $x_1<x_2$  và   $f(x_1)<f(x_2)$  thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+) Tính chất của bất đẳng thức: Với $c>0$ thì: $a<b\iff a.c<b.c$

Lời giải:

Cách 1:

Ta có:  

$f\left(x_1\right)=3x_1$

$f\left(x_2\right)=3x_2$

Theo giả thiết, ta có:

$x_1<x_2\iff 3.x_1<3.x_2$ ( nhân cả 2 vế của bất đẳng thức với $3>0$ nên chiều bất đẳng thức không đổi)

$\iff f(x_1)<f(x_2)$ (vì $f\left(x_1\right)=3x_1;$$f\left(x_2\right)=3x_2)$

Vậy với $x_1<x_2$ ta được $f(x_1)<f(x_2)$ nên hàm số $y=3x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. 

Cách 2:

Vì $x_1<x_2$ nên $x_1-x_2<0$

Từ đó: $f(x_1)-f(x_2)=3x_1-3x_2=3(x_1-x_2)<0$ 

Hay $f(x_1)<f(x_2)$ 

Vậy với $x_1<x_2$ ta được $f(x_1)<f(x_2)$ nên hàm số $y=3x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Lý thuyết Bài 1: Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

I. Nhắc lại và bổ sung khái niệm về hàm số và đồ thị hàm số

1. Khái niệm hàm số

+) Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho với mỗi giá trị của $x$, ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của $y$ thì $y$ gọi là hàm số của $x$ ($x$ gọi là biến số).
Ta viết : $y=f\left(x\right)$, $y=g\left(x\right)$, …

+) Giá trị của hàm số $f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$ kí hiệu là $f\left(x_0\right)$.

+) Tập xác định $D$ của hàm số $f\left(x\right)$ là tập hợp các giá trị của $x$ sao cho $f\left(x\right)$ có nghĩa.

+) Khi $x$ thay đổi mà $y$ luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số $y=f\left(x\right)$ gọi là hàm hằng.

2. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ là tập hợp tất cả các điểm $M\left(x;y\right)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ sao cho $x,y$ thỏa mãn hệ thức $y=f\left(x\right)$

II. Các dạng toán thường gặp