Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp

495

Với giải Bài 8 trang 38 Chuyên đề Toán 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 4: Nhị thức Newton giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton

Bài 8 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

 left parenthesis a plus b right parenthesis to the power of n equals C subscript n superscript 0 a to the power of n plus C subscript n superscript 1 a to the power of n minus 1 end exponent b plus ... plus C subscript n superscript n minus 1 end superscript a b to the power of n minus 1 end exponent plus C subscript n superscript n b to the power of n

với  n ∈ ℕ*.

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có: (a + b)1 = a + b = C subscript 1 superscript 0 a to the power of 1 plus C subscript 1 superscript 1 b to the power of 1.

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

left parenthesis a plus b right parenthesis to the power of k plus 1 end exponent equals C subscript k plus 1 end subscript superscript 0 a to the power of k plus 1 end exponent plus C subscript k plus 1 end subscript superscript 1 a to the power of left parenthesis k plus 1 right parenthesis minus 1 end exponent b plus ... plus C subscript k plus 1 end subscript superscript left parenthesis k plus 1 right parenthesis minus 1 end superscript a b to the power of left parenthesis k plus 1 right parenthesis minus 1 end exponent plus C subscript k plus 1 end subscript superscript k plus 1 end superscript b to the power of k plus 1 end exponent.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

left parenthesis a plus b right parenthesis to the power of k equals C subscript k superscript 0 a to the power of k plus C subscript k superscript 1 a to the power of k minus 1 end exponent b plus ... plus C subscript k superscript k minus 1 end superscript a b to the power of k minus 1 end exponent plus C subscript k superscript k b to the power of k.

Khi đó:

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp (ảnh 1)

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Từ khóa :
Giải bài tập
Đánh giá

0

0 đánh giá