Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh: n^5 - n chia hết cho 5 với mọi n thuộc N sao

634

Với giải Bài 9 trang 38 Chuyên đề Toán 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 4: Nhị thức Newton giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton

Bài 9 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:

a) n5 – n chia hết cho 5 ∀ n ∈ ℕ*;

b) n7 – n chia hết cho 7 ∀ n ∈ ℕ*.

Lời giải:

a)

+) Với n = 1, ta có: 15 – 1 = 0 ⁝ 5.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (k + 1)5 – (k + 1) ⁝ 5.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k5 – k ⁝ 5.

Khi đó:

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh: n^5 - n chia hết cho 5 với mọi n thuộc N sao (ảnh 1)

Mà (k5 - k) và (5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k)  đều chia hết cho 5, do đó

(k5 - k) + (5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k) ⁝ 5 hay (k + 1)5 – (k + 1) ⁝ 5.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

b)

+) Với n = 1, ta có: 17 – 1 = 0 ⁝ 7.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (k + 1)7 – (k + 1) ⁝ 7.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k7 – k ⁝ 7.

Khi đó:

(k + 1)7 – (k + 1)

= (k7 + 7k6 + 21k+ 35k3 + 21k2 + 7k +1) - (k+ 1)

= (k7 - k) + (7k6 + 21k+ 35k3 + 21k2 + 7k)

Mà (k7 - k) và (7k6 + 21k+ 35k3 + 21k2 + 7k)  đều chia hết cho 7, do đó

(k7 - k) + (7k6 + 21k+ 35k3 + 21k2 + 7k) ⁝ 7 hay (k + 1)7 – (k + 1) ⁝ 7.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Từ khóa :
Giải bài tập
Đánh giá

0

0 đánh giá