Với giải Bài 9 trang 38 Chuyên đề Toán 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 4: Nhị thức Newton giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Bài 4: Nhị thức Newton
Bài 9 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:
a) n5 – n chia hết cho 5 ∀ n ∈ ℕ*;
b) n7 – n chia hết cho 7 ∀ n ∈ ℕ*.
Lời giải:
a)
+) Với n = 1, ta có: 15 – 1 = 0 ⁝ 5.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (k + 1)5 – (k + 1) ⁝ 5.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k5 – k ⁝ 5.
Khi đó:
Mà (k5 - k) và (5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k) đều chia hết cho 5, do đó
(k5 - k) + (5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k) ⁝ 5 hay (k + 1)5 – (k + 1) ⁝ 5.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.
b)
+) Với n = 1, ta có: 17 – 1 = 0 ⁝ 7.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (k + 1)7 – (k + 1) ⁝ 7.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k7 – k ⁝ 7.
Khi đó:
(k + 1)7 – (k + 1)
= (k7 + 7k6 + 21k5 + 35k3 + 21k2 + 7k +1) - (k+ 1)
= (k7 - k) + (7k6 + 21k5 + 35k3 + 21k2 + 7k)
Mà (k7 - k) và (7k6 + 21k5 + 35k3 + 21k2 + 7k) đều chia hết cho 7, do đó
(k7 - k) + (7k6 + 21k5 + 35k3 + 21k2 + 7k) ⁝ 7 hay (k + 1)7 – (k + 1) ⁝ 7.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.
Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.
