Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 103: Bài tập cuối chương 5

Giang Ngày: 10-02-2023 Lớp 10

365

Với giải Câu hỏi trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo trong Bài tập cuối chương 5 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Bài 5 trang 103 Toán 10 Tập 1: Cho $\vec{a}, \vec{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\vec{0}$ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ;

b) $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ .

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất ${\vec{a}}^{2} = {| \vec{a} |}^{2}$

Lời giải

a) $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} | \Leftrightarrow {| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} = {(| \vec{a} | + | \vec{b} |)}^{2}$

$\Leftrightarrow {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {(| \vec{a} | + | \vec{b} |)}^{2} \Leftrightarrow {(\vec{a})}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {(\vec{b})}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} + 2. | \vec{a} | . | \vec{b} | + {| \vec{b} |}^{2}$

$\Leftrightarrow {| \vec{a} |}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {| \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} + 2. | \vec{a} | . | \vec{b} | + {| \vec{b} |}^{2}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{a} . \vec{b} = 2 | \vec{a} | . | \vec{b} |$

$\Leftrightarrow 2 | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b}) = 2 | \vec{a} | . | \vec{b} |$

$\Leftrightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = 1 \Leftrightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 0^{\circ}$

Vậy $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} | \Leftrightarrow \vec{a}, \vec{b}$ cùng hướng.

b) $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | \Leftrightarrow {| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} - \vec{b} |}^{2}$

$\Leftrightarrow {(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {(\vec{a} - \vec{b})}^{2}$

$\Leftrightarrow {(\vec{a})}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {(\vec{b})}^{2} = {(\vec{a})}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {(\vec{b})}^{2}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{a} . \vec{b} = - 2 \vec{a} . \vec{b} \Leftrightarrow 4 \vec{a} . \vec{b} = 0$

$\Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0 \Leftrightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 90^{\circ}$

Vậy $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} | \Leftrightarrow \vec{a}, \vec{b}$ vuông góc với nhau.

Bài 6 trang 103 Toán 10 Tập 1: Cho $| \vec{a} + \vec{b} | = 0$ . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Lời giải

$| \vec{a} + \vec{b} | = 0 \Leftrightarrow \vec{a} + \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{a} = - \vec{b}$

$\vec{a} = - \vec{b}$ suy ra hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vecto đối nhau nên chúng cùng phương, ngược hướng và có độ dài bằng nhau.

Bài 7 trang 103 Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng $\vec{A B} = \vec{C D}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Phương pháp giải

Chứng minh thông qua ABCD là hình bình hành.

Lời giải

Với 4 điểm A, B, C, D ta có: $\vec{A B} = \vec{C D}$ khi và chỉ khi tứ giác ABDC là hình bình hành

Theo tính chất của hình bình hành thì giao điểm của hai đường chéo là trung điểm của mỗi đường và ngược lại.

Nói cách khác: trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 8 trang 103 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng $\vec{R J} + \vec{I Q} + \vec{P S} = \vec{0}$ .

Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng quy tắc ba điểm

Bước 2: Xác định các cặp vectơ đối nhau từ các hình bình hành $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ là hai vectơ đối nhau với ABCD là hình bình hành

Bước 3: Sử dụng tính chất của vectơ đối $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ là hai vectơ đối nhau thì $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0}$ $\vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B}$

Lời giải

$\vec{R J} + \vec{I Q} + \vec{P S} = (\vec{R A} + \vec{A J}) + (\vec{I B} + \vec{B Q}) + (\vec{P C} + \vec{C S})$

$= (\vec{R A} + \vec{C S}) + (\vec{A J} + \vec{I B}) + (\vec{B Q} + \vec{P C}) = \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$ (đpcm)

Bài 8 trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân rời sáng tạo (ảnh 1)

Bài 9 trang 103 Toán 10 Tập 1: Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía Bắc với tốc độ $45$ m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc $20^{\circ}$ về phía tây bắc (hình 2). Tính tốc độ của gió

Bài 9 trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân rời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải

Bước 1: Dựa vào hình 2 xác định các vectơ tương ứng với vận tốc của máy bay, vận tốc so với mặt đất

Bước 2: Dựa vào mối liên hệ giữa các vectơ đã cho $\vec{v} = \vec{v_{1}} + \vec{v_{2}}$ xác định vectơ tương ứng với vận tốc gió

Bước 3: Áp dụng định lý cosin tìm tốc độ của gió

Lời giải

Từ giả thiết ta có:

+) Vectơ tương ứng với vận tốc máy bay là vectơ $\vec{v_{1}}$

+) Vectơ tương ứng với vận tốc máy bay so với mặt đất là vectơ $\vec{v}$

+) Vectơ tương ứng với vận tốc gió là vectơ $\vec{v_{2}}$

Ta có : $| \vec{v_{1}} | = 45; | \vec{v} | = 38; (\vec{v_{1}}, \vec{v}) = 20^{\circ}$

Áp dụng định lý cosin ta có:

$| \vec{v_{2}} | = \sqrt{{| \vec{v} |}^{2} + {| \vec{v_{1}} |}^{2} - 2 | \vec{v} | . | \vec{v_{1}} | . \cos (\vec{v}, \vec{v_{1}})}$

$= \sqrt{38^{2} + 45^{2} - 2.38.45. \cos 20^{\circ}} ≃ 16$ (m/s)

Vậy tốc độ của gió gần bằng 16 m/s

Bài 10 trang 103 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$

Phương pháp giải

Bước 1: Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, BC

Bước 2: Xác định các tam giác đều, hình bình hành sau đó áp dụng vào biểu thức vectơ, trong tam giác đều thì đường cao vừa là trung tuyến, quy tắc hình bình hành $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (với ABCD là hình bình hành)

Bước 3: Sử dụng quy tắc ba điểm $\vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B}$ , tính chất trọng tâm của tam giác $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ (với G là trọng tâm của tam giác ABC)

Lời giải

$\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = (\vec{M O} + \vec{O D}) + (\vec{M O} + \vec{O E}) + (\vec{M O} + \vec{O F})$

Qua M kẻ các đường thẳng $M_{1} M_{2} / / A B; M_{3} M_{4} / / A C; M_{5} M_{6} / / B C$

Từ đó ta có: $\hat{M M_{1} M_{6}} = \hat{M M_{6} M_{1}} = \hat{M M_{4} M_{2}} = \hat{M M_{2} M_{4}} = \hat{M M_{3} M_{5}} = \hat{M M_{5} M_{3}} = 60^{\circ}$

Suy ra các tam giác $Δ M M_{3} M_{5}, Δ M M_{1} M_{6}, Δ M M_{2} M_{4}$ đều

Áp dụng tính chất trung tuyến $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ (với M là trung điểm của BC) ta có:

$\vec{M E} = \frac{1}{2} (\vec{M M_{1}} + \vec{M M_{6}}); \vec{M D} = \frac{1}{2} (\vec{M M_{2}} + \vec{M M_{4}}); \vec{M F} = \frac{1}{2} (\vec{M M_{3}} + \vec{M M_{5}})$

$\Rightarrow \vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{1}{2} (\vec{M M_{2}} + \vec{M M_{4}}) + \frac{1}{2} (\vec{M M_{1}} + \vec{M M_{6}}) + \frac{1}{2} (\vec{M M_{3}} + \vec{M M_{5}})$

Ta có: các tứ giác $A M_{3} M M_{1}; C M_{4} M M_{6}; B M_{2} M M_{5}$ là hình bình hành

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có

$\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{1}{2} (\vec{M M_{2}} + \vec{M M_{4}}) + \frac{1}{2} (\vec{M M_{1}} + \vec{M M_{6}}) + \frac{1}{2} (\vec{M M_{3}} + \vec{M M_{5}})$

$= \frac{1}{2} (\vec{M M_{1}} + \vec{M M_{3}}) + \frac{1}{2} (\vec{M M_{2}} + \vec{M M_{5}}) + \frac{1}{2} (\vec{M M_{4}} + \vec{M M_{6}})$

$= \frac{1}{2} \vec{M A} + \frac{1}{2} \vec{M B} + \frac{1}{2} \vec{M C} = \frac{1}{2} (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C})$

$= \frac{1}{2} ((\vec{M O} + \vec{O A}) + (\vec{M O} + \vec{O B}) + (\vec{M O} + \vec{O C}))$

$= \frac{1}{2} (3 \vec{M O} + (\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C})) = \frac{3}{2} \vec{M O}$ (đpcm)

Vậy $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$

Bài 10 trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân rời sáng tạo (ảnh 1)

Bài 11 trang 103 Toán 10 Tập 1: Một xe goòng được kéo bởi một lực $\vec{F}$ có độ lớn là là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài là 200 m. Cho biết góc giữa lực $\vec{F}$ và $\vec{A B}$ là $30^{\circ}$ và $\vec{F}$ được phân tích thành 2 lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ (hình 3). Tính công sinh ra bởi các lực $\vec{F}, \vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

Bài 11 trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân rời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng các tính chất trong tam giác vuông xác định độ lớn của các lực

Bước 2: Xác định góc giữa các lực và hướng dịch chuyển

Bước 3: Sử dụng công thức $A = \vec{F} . \vec{d}$ (với $\vec{d}$ là vectơ thể hiện độ dịch chuyển và quãng đường mà vật đi được)

Lời giải

Ta xác định được các độ lớn:

$| \vec{F} | = 50, | \vec{F_{2}} | = | \vec{F} | \cos 30^{\circ} = 50. \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 \sqrt{3}, | \vec{F_{1}} | = | \vec{F} | . \sin 30^{\circ} = 50. \frac{1}{2} = 25$ (N)

Dựa vào hình vẽ ta có: $(\vec{F}, \vec{d}) = 30^{\circ}, (\vec{F_{1}}, \vec{d}) = 90^{\circ}, (\vec{F_{2}}, \vec{d}) = 0^{\circ}$

Áp dụng công thức tính công sinh ra bởi lực $A = \vec{F} . \vec{d}$ ta có:

$A = \vec{F} . \vec{d} = | \vec{F} | | \vec{d} | \cos (\vec{F}, \vec{d}) = 50.200. \cos 30^{\circ} = 5000 (J)$

$A_{1} = \vec{F_{1}} . \vec{d} = | \vec{F_{1}} | | \vec{d} | \cos (\vec{F_{1}}, \vec{d}) = 25.200. \cos 90^{\circ} = 0 (J)$

$A_{2} = \vec{F_{2}} . \vec{d} = | \vec{F_{2}} | | \vec{d} | \cos (\vec{F_{2}}, \vec{d}) = 25 \sqrt{3} .200 . \cos 0^{\circ} = 5000 \sqrt{3} (J)$

Bài 12 trang 103 Toán 10 Tập 1: Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên dòng chảy của nước trên con sông đó chạy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v}$ lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.

a) Tính độ dài của các vectơ $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v}$

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?

c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?

Bài 12 trang 103 Toán 10 Tập 1 Chân rời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải

a) Sử dụng tính chất trong tam giác vuông $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ (với c là cạnh huyền của tam giác vuông và a, b là cạnh góc vuông)

b) Chỉ ra kết quả độ dài vectơ $\vec{v}$ đã tính được ở câu a)

c) Sử dụng tính chất trong tam giác vuông $\sin B = \frac{a}{c}$ (với c là cạnh huyền của tam giác vuông và a, b là cạnh góc vuông)

Lời giải

a) Ta có:

$| \vec{v_{1}} | = 0, 75; | \vec{v_{2}} | = 1, 20$

Dựa vào hình vẽ ta thấy $\vec{v} = \vec{v_{1}} + \vec{v_{2}}$ và $\vec{v_{1}} ⊥ \vec{v_{2}}$

Áp dụng tính chất trong tam giác vuông ta có: ${| \vec{v} |}^{2} = {| \vec{v_{1}} |}^{2} + {| \vec{v_{2}} |}^{2} \Rightarrow | \vec{v} | = \sqrt{{| \vec{v_{1}} |}^{2} + {| \vec{v_{2}} |}^{2}} = \sqrt{0, 75^{2} + 1, 2^{2}} = \frac{3 \sqrt{89}}{20}$

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là $\frac{3 \sqrt{89}}{20}$ m/s

c) Nước có hướng dichuyển song song với bờ nên hướng di chuyển của thuyền

so với bờ tương đương với hướng di chuyển của thuyền so với nước

Suy ra góc lệch giữa hướng di chuyển của thuyền và bờ là $(\vec{v}, \vec{v_{2}})$

Ta có: $\sin (\vec{v}, \vec{v_{2}}) = \frac{| \vec{v_{1}} |}{| \vec{v} |} = \frac{0, 75}{\frac{3 \sqrt{89}}{20}} = \frac{5 \sqrt{89}}{89} \Rightarrow (\vec{v}, \vec{v_{2}}) ≃ 32^{\circ}$