Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 32 Bài 2: Hoán vị, chỉnh vị và tổ hợp

Giang Ngày: 11-02-2023 Lớp 10

495

Với giải Câu hỏi trang 32 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo trong Bài 2: Hoán vị, chỉnh vị và tổ hợpgiúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 32 Bài 2: Hoán vị, chỉnh vị và tổ hợp

Thực hành 5 trang 32 Toán 10 Tập 2: Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a) $A_{15}^{10}$

b) $C_{10}^{6} + C_{10}^{7} + C_{11}^{8}$

c) $C_{5}^{1} C_{20}^{2} + C_{5}^{2} C_{20}^{1}$

Lời giải

a) Để tính $A_{15}^{10}$ ta ấn liên tiếp các phím

Thực hành 5 trang 32 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Thì nhận được kết quả là $1, {08972864.10}^{10}$

b) Để tính $C_{10}^{6} + C_{10}^{7} + C_{11}^{8}$ thì ta ấn liên tiếp các phím

Thực hành 5 trang 32 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 2)

Thì ta nhận được kết quả là 495

c) Để tính $C_{5}^{1} C_{20}^{2} + C_{5}^{2} C_{20}^{1}$ thì ta ấn liên tiếp các phím

Thực hành 5 trang 32 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 3)

Thì ta được kết quả là 1150.

Bài tập

Bài 1 trang 32 Toán 10 Tập 2: Cần xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 chiếc ghế

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp?

b) Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì có bao nhiêu cách sắp xếp?

Bài 1 trang 32 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Phương pháp giải

a) Tính hoán vị của 5 bạn học sinh

b) Tính hoán vị của 4 bạn học sinh

Lời giải

a) Mỗi cách sắp xếp 5 bạn học sinh vào 5 chiếc ghế là một hoán vị của 5 bạn học sinh. Do đó, số cách sắp xếp 5 bạn học sinh ngồi vào 5 cái ghế là hoán vị là:

$P_{5} = 5!$ (cách)

b) Khi bạn Nga nhất định ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì số cách sắp xếp là số cách sắp xếp 4 bạn còn lại vào 4 chiếc ghế, mỗi cách như vậy là một hoán vị của 4 bạn học sinh. Do đó, số cách sắp xếp là:

$P_{4} = 4! = 24$ (cách)

Bài 2 trang 32 Toán 10 Tập 2: Từ các chữ số sau đây, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

a) 1; 2; 3; 4; 5; 6

b) 0; 1; 2; 3; 4; 5

Phương pháp giải

a) Tính chỉnh hợp chập 4 của 6

b) Bước 1: Chọn một chữ số làm chữ số hàng nghìn (khác 0)

Bước 2: Chọn 3 chữ số còn lại và sắp xếp chúng

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

a) Mỗi số có 4 chữ số khác nhau lập được từ 6 chữ số đã cho là cách chọn 4 chữ số và sắp xếp chúng, mỗi cách chọn như vậy là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Do đó, số các số có 4 chữ số khác nhau lập được từ 6 chữ số đã cho là:

$A_{6}^{4} = 6.5.4.3 = 360$ (số)

b) Việc lập một số có 4 chữ số từ 6 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 bao gồm 2 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn 1 chữ số khác 0 làm chữ số hàng nghìn, có 5 cách chọn (1; 2; 3; 4 hoặc 5)

Công đoạn 2: Chọn 3 chữ số từ 5 chữ số còn lại (trừ chữ số đã chọn làm chữ số hàng nghìn) và sắp xếp chúng, mỗi cách như vậy là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Do đó, số cách chọn 3 chữ số từ 5 chữ số còn lại và sắp xếp chúng là:

$A_{5}^{3} = 5.4.3 = 60$ (cách)

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các số có 4 chữ số khác nhau lập được từ 6 chữ số đã cho là :

$5.60 = 300$ (số)

Bài 3 trang 32 Toán 10 Tập 2: Tổ 1 có 4 bạn nam và 5 bạn nữ. Có bao nhiêu cách cử 3 bạn của tổ làm trực nhật trong mỗi trường hợp như sau?

a) 3 bạn được chọn bất kỳ

b) 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ

Phương pháp giải

a) Tính tổ hợp chập 3 của 9

b) Bước 1: Chọn 2 bạn nam từ 4 bạn nam đã cho

Bước 2: Chọn 1 bạn nữ từ 5 bạn đã cho

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

a) Mỗi cách chọn 3 bạn từ 9 bạn trong tổ một đi trực nhật là một tổ hợp chập 3 của 9. Do đó, số cách cử 3 bạn bất kì đi trực nhật là:

$C_{9}^{3} = \frac{9!}{3! .6!} = 84$ (cách)

b) Mỗi cách chọn 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ đi trực nhật gồm 2 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 2 bạn nam

Mỗi cách chọn 2 bạn nam từ 4 bạn nam đã cho là một tổ hợp chập 2 của 4. Do đó, số cách chọn 2 bạn nam từ 4 bạn nam đã cho là: $C_{4}^{2} = \frac{4!}{2! .2!} = 6$ (cách)

Công đoạn 2: Chọn 1 bạn nữa trong 5 bạn đã cho, có 5 cách

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các cử 3 bạn đi trực nhật trong đó 2 nam và 1 nữ là:

$6.5 = 30$ (cách)

Bài 4 trang 32 Toán 10 Tập 2: Từ một danh sách gồm 8 người, người ta bầu ra một ủy ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư ký và một ủy viên. Có bao nhiêu khả năng có thể về kết quả bầu ủy ban này?

Phương pháp giải

Tính chỉnh hợp chập 4 của 8

Lời giải

Mỗi kết quả bầu ủy ban như trên là mỗi kết quả chọn 4 người trong 8 người và sắp xếp 4 người đó vào 4 vị trí chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký và ủy viên, nên mỗi kết quả có thể xảy ra là một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử. Do đó, số khả năng có thể xảy ra về kết quả bầu ủy ban là:

$A_{8}^{4} = 8.7.6.5 = 1680$ (khả năng)

Bài 5 trang 32 Toán 10 Tập 2: Một nhóm gồm 7 bạn đến trung tâm chăm sóc người cao tuổi làm từ thiện. Theo chỉ dẫn của trung tâm, 3 bạn hỗ trợ đi lại, 2 bạn hỗ trợ tắm rửa và 2 bạn hỗ trợ ăn uống. Có bao nhiêu cách phân công các bạn trong nhóm làm các công việc trên?

Phương pháp giải

Bước 1: Chọn 3 bạn để hỗ trợ đi lại

Bước 2: Chọn 2 bạn để hỗ trợ tắm rửa

Bước 3: Chọn 2 bạn hỗ trợ ăn uống

Bước 4: Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Việc phân công các bạn tình nguyện làm các việc trên gồm 3 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn 3 bạn để hỗ trợ đi lại, mỗi cách chọn 3 bạn từ nhóm 7 bạn để làm công việc này là một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Do đó, số cách chọn 3 bạn làm công việc hỗ trợ đi lại là:

$C_{7}^{3} = \frac{7!}{3! .4!} = 35$ (cách)

Công đoạn 2: Chọn 2 bạn để hỗ trợ tắm rửa, mỗi cách chọn 2 bạn từ nhóm 4 bạn còn lại để làm công việc này là một tổ hợp chập 2 của 4 phần tử. Do đó, số cách chọn 2 bạn làm công việc hỗ trợ tắm rửa là:

$C_{4}^{2} = \frac{4!}{2! .2!} = 6$ (cách)

Công đoạn 3: Chọn 2 bạn để hỗ trợ ăn uống từ 2 bạn cuối cùng, có 1 cách duy nhất

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách phân công các bạn trong nhóm làm công việc trên là:

$35.6.1 = 210$ (cách)

Bài 6 trang 32 Toán 10 Tập 2: Có 4 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác tạo thành những hình bình hành (như hình 10). Có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?

Bài 6 trang 32 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)
Phương pháp giải

Bước 1: Chọn 2 đường thẳng song song trong 4 đường

Bước 2: Chọn 2 đường thẳng song song từ 5 đường kia

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Ta thấy rằng, cứ 2 đường thẳng song song cắt 2 đường thẳng song song khác thì tạo thành một hình bình hành

Do đó, hình bình hành tạo thành được xác định qua 2 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn 2 đường thẳng song song với nhau trong 4 đường thẳng, mỗi cách chọn 2 đường thẳng từ 4 đường là một tổ hợp chập 2 của 4. Do đó, số cách chọn 2 đường thẳng từ 4 đường thẳng là:

$C_{4}^{2} = \frac{4!}{2! .2!} = 6$

Công đoạn 2: Chọn 2 đường thẳng song song với nhau trong 5 đường thẳng bị cắt bởi 2 đường kia, mỗi cách chọn 2 đường thẳng từ 5 đường là một tổ hợp chập 2 của 5. Do đó, số cách chọn 2 đường thẳng từ 5 đường thẳng là: $C_{4}^{2} = \frac{5!}{2! .3!} = 10$

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số hình bình hành được tạo thành là:

$6.10 = 60$ (hình bình hành)

Bài 7 trang 32 Toán 10 Tập 2: Mùa giải 2019, giải bóng đá vô địch quốc gia (V.League) có 14 đội bóng tham gia. Các đội bóng đấu vòng tròn 2 lượt đi và về. Hỏi cả giải đấu có bao nhiêu trận đấu?

Phương pháp giải

Tính chỉnh hợp chập 2 của 14

Lời giải

Mỗi trận đấu gồm 2 đội từ 14 đội và trên sân nhà hay sân đối thủ, nên mỗi trận đấu là một cách chọn 2 đội và sắp xếp chúng. Do đó, mỗi trận đấu là một chỉnh hợp chập 2 của 14 phần tử. Vậy số trận đấu có thể xảy ra là:

$A_{14}^{2} = 14.13 = 182$ (trận).

Xem thêm các bài giải Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

HĐ Khởi động trang 26 Toán 10 Tập 2: Có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ từ 11 câu thủ? Có bao nhiêu cách sắp xếp

HĐ Khám phá 1 trang 26 Toán 10 Tập 2: Sau giờ thực hành trải nghiệm, ba đội A, B, C bốc thăm để xác định thứ tự trình bày, thuyết minh về sản phẩm của mỗi đội...

Thực hành 1 trang 28 Toán 10 Tập 2: Một nhóm bạn gồm 6 thành viên cùng đi xem phim, đã mua 6 vé có ghế ngồi cùng dãy và kế tiếp nhau (như hình 3). Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các thành viên của nhóm?...

Vận dụng 1 trang 28 Toán 10 Tập 2: Một giải bóng đá có 14 đội bóng tham gia. Có bao nhiêu khả năng về thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc?...

HĐ Khám phá 2 trang 28 Toán 10 Tập 2: Tại một trạm quan sát có sẵn 5 lá cờ màu đỏ, trắng, xanh, vàng và cam (kí hiệu Đ, T, X, V, C). Khi cần báo một tín hiệu, người ta chọn ba lá cờ và cắm vào 3 vị trí sẵn thành một hàng (Xem hình 4)...

Thực hành 2 trang 29 Toán 10 Tập 2: Từ 7 chữ số số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được các số có 3 chữ số đôi một khác nhau...

HĐ Khám phá 3 trang 29 Toán 10 Tập 2: Lan vừa mua 4 cuốn sách kí hiệu là A, B, C và D. Bạn ấy dự định chọn ra 3 cuốn để đưa về quê đọc trong dịp nghỉ hè...

Thực hành 3 trang 31 Toán 10 Tập 2: Tính...

Thực hành 4 trang 31 Toán 10 Tập 2: Nội dung thi đấu đôi nam nữ của giải bóng bàn cấp trường có 7 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt...

Vận dụng 2 trang 31 Toán 10 Tập 2: Cho 6 điểm cùng nằm trên một đường tròn như hình 8...