Với giải Câu hỏi trang 41 Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức trong Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem: 

Toán 10 Kết nối tri thức trang 41 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Hoạt động 4 trang 41 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC với I là tâm đường trong nội tiếp tam giác.

a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Tính diện tích tam giác ABC theo r,a,b,c.

Phương pháp giải:

a) Tính diện tích tam giác ABC theo diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Diện tích tam giác IBC: $S_{IBC}=\frac{1}{2}r.a$.

Lời giải:

a) Diện tích tam giác ABC là:

$$S=S_{IAB}+S_{IBC}+S_{IAC}$$

b) Kí hiệu: D,E, F lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, AC.

Ta có:

$\begin{array}{l}{S}_{IAB}=\frac{1}{2}.ID.AB=\frac{1}{2}r.c\\ S_{IBC}=\frac{1}{2}IE.BC=\frac{1}{2}r.a\\ S_{IAC}=\frac{1}{2}IF.AC=\frac{1}{2}r.b\end{array}$

$\Rightarrow S=\frac{1}{2}r.c+\frac{1}{2}r.a+\frac{1}{2}r.b=\frac{1}{2}r.\left(a+b+c\right)$

Vậy diện tích tam giác ABC tính theo r, a, b, c là $S=\frac{1}{2}r.\left(a+b+c\right)$.

Hoạt động 5 trang 41 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC với đường cao BD.

a) Biểu thị BD theo AB và sinA.

b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b,c, sin A.

Phương pháp giải:

a) Biểu thị BD dựa vào sin A (hoặc $\sin \left({180}^o-A\right)$) trong tam giác vuông ABD.

b) +) Tính $S_{ABC}=\frac{1}{2}BD.AC$

+) Thay BD ở ý a) để suy ra công thức tính S theo b,c và sin A.

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông ABD vuông tại D ta có:

TH1: góc A nhọn

$\sin A=\frac{BD}{AB}\Rightarrow BD=AB.\sin A$

TH2: góc A tù

$\sin A=\sin ({180}^o-A)=\frac{BD}{AB}\Rightarrow BD=AB.\sin A$

Vậy $BD=AB.\sin A$

b) Ta có diện tích S của tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}BD.AC$

Mà $BD=AB.\sin A=c.\sin A$; BC = a. Thế vào (*) ta được:

$S=\frac{1}{2}c.\sin A.b$ hay $S=\frac{1}{2}bc.\sin A.$

Vậy diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A là $S=\frac{1}{2}bc.\sin A.$

Luyện tập 4 trang 41 Toán lớp 10: Tính diện tích tam giác ABC có $b=2,\hat{B}={30}^o,\hat{C}={45}^o$.

Phương pháp giải:

$S=\frac{1}{2}bc.\sin A.$

Bước 1: Tính c bằng cách áp dụng định lí sin.

Bước 2: Tính góc $\hat{A}$, tính $S=\frac{1}{2}bc.\sin A.$

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

$\Rightarrow c=\sin C.\frac{b}{\sin B}=\sin {45}^o.\frac{2}{\sin {30}^o}=2\sqrt{2}$

Lại có: $\hat{A}={180}^o-\hat{B}-\hat{C}={180}^o-{30}^o-{45}^o={105}^o$

Do đó diện tích tích S của tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}.2.2\sqrt{2}.\sin {105}^o=1+\sqrt{3}.$

Vậy diện tích tam giác ABC là $1+\sqrt{3}$.

Thảo luận trang 41 Toán lớp 10: Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?

Phương pháp giải:

Nhắc lại:

+) công thức tính diện tích tam giác ABC: $S=\frac{1}{2}bc.\sin A.$

+) $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Bước 1: Tính sin A theo cos A. Lưu ý: $\sin A>0$

Bước 2: Thay sin A vào $S=\frac{1}{2}bc.\sin A.$ Rút gọn biểu thức rồi kết luận.

Lời giải:

Từ định lí cosin trong tam giác ABC, ta suy ra: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Mà ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$

$\Rightarrow \sin A=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}A}$

Do $0^o<\hat{A}<{180}^o$ nên $\sin A>0$ hay $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{4b^2{c}^2}}\\ =\sqrt{\frac{4b^2{c}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{4b^2{c}^2}}=\frac{\sqrt{4b^2{c}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}}{2bc}\end{array}$

Thế vào công thức tính diện tích tam giác ABC ta được:

$S=\frac{1}{2}bc.\frac{\sqrt{4b^2{c}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}}{2bc}=\frac{1}{4}.\sqrt{4b^2{c}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}$

Chú ý: Nếu tiếp tục biến đổi công thức diện tích ta được

$\begin{array}{l}S=\frac{1}{4}.\sqrt{\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right)}\\ =\frac{1}{4}.\sqrt{\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]\left[a^2-{\left(b-c\right)}^2\right]}\\ =\frac{1}{4}.\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)}\end{array}$

Đến đây, đặt $p=\frac{a+b+c}{2}$, là nửa chu vi tam giác ABC, ta suy ra:

$\{\begin{array}{l}b+c+a=2p\\ b+c-a=b+c+a-2a=2\left(p-a\right)\\ a-b+c=b+c+a-2b=2\left(p-b\right)\\ a+b-c=b+c+a-2c=2\left(p-c\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow S=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(p-a\right).2p.2\left(p-b\right).2\left(p-c\right)}\\ \iff S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\end{array}$

(công thức Heron)