Toán 10 Kết nối tri thức trang 43 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Giang Ngày: 12-02-2023 Lớp 10

221

Với giải Câu hỏi trang 43 Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức trong Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Kết nối tri thức trang 43 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 3.9 trang 43 Toán lớp 10: Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là $50^{o}$ và $40^{o}$ so với phương nằm ngang (H.3.18).

a) Tính các góc của tam giác ABC.

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

Bài 3.9 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1 I Kết nối tri thức với cuộc sống (ảnh 1)

Lời giải a

a) Tính các góc của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Nhắc lại: Tổng ba góc của một tam giác luôn bằng $180^{o}$ .

Bước 1: Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC.

Bước 2: Tính góc $\hat{B A C}$ , góc $\hat{A B C}$ => góc $\hat{B C A}$ .

Lời giải:

Bài 3.9 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1 I Kết nối tri thức với cuộc sống (ảnh 2)

Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC.

Ta có: $\hat{H A B} = 50^{o}$ ; $\hat{H A C} = 40^{o}$

$\Rightarrow \hat{B A C} = 50^{o} - 40^{o} = 10^{o}$ (1)

Xét tam giác ABH, vuông tại H ta có:

$\hat{H} = 90^{o}; \hat{B A H} = 50^{o} .$

$\Rightarrow \hat{H B A} = 180^{o} - 90^{o} - 50^{o} = 40^{o}$ hay $\hat{C B A} = 40^{o}$ . (2)

Từ (1) và (2), suy ra: $\hat{B C A} = 180^{o} - 40^{o} - 10^{o} = 130^{o} .$

Vậy ba góc của tam giác ABC lần lượt là: $\hat{A} = 10^{o}; \hat{B} = 40^{o}; \hat{C} = 130^{o}$ .

Lời giải b

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính AB: $A B = \frac{B C . \sin C}{\sin A}$

Bước 2: Tính BH => chiều cao của tòa nhà = BH + độ cao của vị trí quan sát.

Lời giải:

Áp dụng định lý sin cho tam giác ABC, ta được:

$\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C}$ $\Rightarrow A B = \frac{B C . \sin C}{\sin A}$

Mà: $B C = 5 (m); \hat{C} = 130^{o}; \hat{A} = 10^{o}$

$\Rightarrow A B = \frac{5. \sin 130^{o}}{\sin 10^{o}} \approx 22 (m)$

Bài 3.9 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1 I Kết nối tri thức với cuộc sống (ảnh 3)

Xét tam giác ABH, vuông tại H ta có:

$\sin \hat{B A H} = \frac{B H}{A B}$ $\Rightarrow B H = A B . \sin \hat{B A H}$

Mà: $A B \approx 22 (m); \hat{B A H} = 50^{o}$

$\Rightarrow B H \approx 22. \sin 50^{o} \approx 16, 85 (m)$

Vậy chiều cao của tòa nhà là: $B H - B C + 7 = 16, 85 - 5 + 7 = 18, 85 (m)$

Bài 3.10 trang 43 Toán lớp 10: Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một các xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Bài 3.10 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1 I Kết nối tri thức với cuộc sống (ảnh 1)

Lời giải:

Bước 1:

Đánh dấu vị trí quan sát tại điểm A, chiều rộng của hòn đảo kí hiệu là đoạn BC.

Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

Trên tia đối của tia AH, lấy điểm M, ghi lại khoảng cách AM = a.

Bước 2:

Tại A, quan sát để xác định các góc $\hat{B A C} = α, \hat{H A C} = β$ .

Tiếp tục quan sát tại M, xác định góc $\hat{H M C} = γ$ .

Bước 3: Giải tam giác AMC, tính AC.

AM = a, $\hat{A M C} = \hat{H M C} = γ$ và $\hat{M A C} = 180^{o} - β$

$\Rightarrow \hat{A C M} = 180^{o} - γ - (180^{o} - β) = β - γ$

Áp dụng định định lí sin trong tam giác AMC ta có:

$\frac{A C}{\sin A M C} = \frac{A M}{\sin A C M} \Rightarrow A C = \sin γ . \frac{a}{\sin (β - γ)}$

Bước 4:

$\hat{A B C} = 90^{o} - \hat{H A B} = 90^{o} - (α - β)$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

Bài 3.11 trang 43 Toán lớp 10: Để tránh núi, giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ? $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} \Rightarrow B C = \sin α . \frac{\sin γ . \frac{a}{\sin (β - γ)}}{\sin (90^{o} - (α - β))} .$

Bài 3.11 trang 43 Toán lớp 10 Tập 1 I Kết nối tri thức với cuộc sống (ảnh 1)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính AC: $A C^{2} = B C^{2} + B A^{2} - 2. B C . B A . \cos A B C$

Bước 2: Tính góc ACB, suy ra góc ACD.

Bước 3: Tính AD: $A D^{2} = D C^{2} + C A^{2} - 2. D C . C A \cos A C D$

Bước 4: Tính số kilomet giảm đi so với đường cũ.

Lời giải:

Bước 1:

Áp dụng định lí cos trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l} A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} - 2.6.8. \cos 105^{o} \\ \Rightarrow A C \approx 11, 2 (k m) \end{array}$

Bước 2:

Lại có: Theo định lí sin thì

$\begin{array}{l} \frac{A B}{\sin A C B} = \frac{A C}{\sin A B C} \Rightarrow \sin A C B = \frac{8. \sin 105^{o}}{11, 2} \\ \Rightarrow \hat{A C B} \approx 43, 6^{o} \\ \Rightarrow \hat{A C D} = 135^{o} - 43, 6^{o} = 91, 4^{o} \end{array}$