Toán 10 Cánh Diều trang 43 Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Giang Ngày: 13-02-2023 Lớp 10

339

Với giải Câu hỏi trang 43 Toán 10 Tập1 Cánh Diều trong Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Cánh Diều trang 43 Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Luyện tập – vận dụng 4 trang 43 SGK Toán 10 tập 1 :Trong bài toán ở phần mở đầu, độ cao y (m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải:

Độ cao y là tung độ của đỉnh parabol.

Lời giải:

Hàm số biểu diễn đồ thị $y = - 0, 00188 {(x - 251, 5)}^{2} + 118$

$\begin{array}{l} {(x - 251, 5)}^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow - 0, 00188 {(x - 251, 5)}^{2} \leq 0 \\ \Leftrightarrow - 0, 00188 {(x - 251, 5)}^{2} + 118 \leq 118 \end{array}$

Khi đó độ cao y (m) của một điểm thuộc vòng cung thành cầu cảng Sydney đạt giá trị lớn nhất là $y = 118 (m)$

Bài tập

Bài 1 trang 43 SGK Toán 10 tập 1 :Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai? Với những hàm số bậc hai đó, xác định $a, b, c$ lần lượt là hệ số của $x^{2}$ , hệ số của $x$ và hệ số tự do.

a) $y = - 3 x^{2}$

b) $y = 2 x (x^{2} - 6 x + 1)$

c) $y = 4 x (2 x - 5)$

Phương pháp giải:

- Xác định hàm số bậc hai (số mũ cao nhất là 2)

- Tìm hệ số a, b, c.

Lời giải:

a) Hàm số $y = - 3 x^{2}$ là hàm số bậc hai.

$y = - 3. x^{2} + 0. x + 0$

Hệ số $a = - 3, b = 0, c = 0$ .

b) Hàm số $y = 2 x (x^{2} - 6 x + 1)$ $\Leftrightarrow y = 2 x^{3} - 12 x^{2} + 2 x$ có số mũ cao nhất là 3 nên không là hàm số bậc hai.

c) Hàm số $y = 4 x (2 x - 5)$ $\Leftrightarrow y = 8 x^{2} - 20 x$ có số mũ cao nhất là 2 nên là hàm số bậc hai.

Hệ số $a = 8, b = - 20, c = 0$

Bài 2 trang 43 SGK Toán 10 tập 1 :Xác định parabol $y = a x^{2} + b x + 4$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm $M (1; 12)$ và $N (- 3; 4)$

b) Có đỉnh là $I (- 3; - 5)$

Lời giải:

a) Thay tọa độ điểm $M (1; 12)$ và $N (- 3; 4)$ ta được:

$\begin{array}{l} {\begin{cases} a {.1}^{2} + b .1 + 4 = 12 \\ a . {(- 3)}^{2} + b . (- 3) + 4 = 4 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} a + b = 8 \\ 9 a - 3 b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 2 \\ b = 6 \end{cases} \end{array}$

Vậy parabol là $y = 2 x^{2} + 6 x + 4$

b) Hoành độ đỉnh của parabol là $\frac{- b}{2 a}$

Nên ta có: $\frac{- b}{2 a} = - 3 \Leftrightarrow b = 6 a$ (1)

Thay tọa độ điểm I vào ta được:

$\begin{array}{l} - 5 = a . {(- 3)}^{2} + b . (- 3) + 4 \\ \Leftrightarrow 9 a - 3 b = - 9 \\ \Leftrightarrow 3 a - b = - 3 (2) \end{array}$

Từ (1) và (2) ta được hệ

$\begin{array}{l} {\begin{cases} b = 6 a \\ 3 a - b = - 3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} b = 6 a \\ 3 a - 6 a = - 3 \end{cases} \\ \Leftrightarrow {\begin{cases} b = 6 a \\ a = 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} b = 6 \\ a = 1 \end{cases} \end{array}$

Vậy parabol là $y = x^{2} + 6 x + 4$ .

Bài 3 trang 43 SGK Toán 10 tập 1 :Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) $y = 2 x^{2} - 6 x + 4$

b) $y = - 3 x^{2} - 6 x - 3$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh $(\frac{- b}{2 a}; \frac{- Δ}{4 a})$

Bước 2: Vẽ trục đối xứng $x = - \frac{b}{2 a}$

Bước 3: Xác định một số điểm đặc biệt, chẳng hạn giao điểm với trục tung (0;c) và trục hoành (nếu có), điểm đối xứng với điểm (0;c) qua trục $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Bước 4: Vẽ đường parabol đi qua các điểm đã xác định ta nhận được đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ .

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số có đỉnh $I (\frac{3}{2}; - \frac{1}{2})$

Trục đối xứng là $x = \frac{3}{2}$

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;4)

Giao điểm của parabol với trục hoành là (2;0) và (1;0)

Điểm đối xứng với điểm (0;4) qua trục đối xứng $x = \frac{3}{2}$ là $(3; 4)$

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:

b) Đồ thị hàm số có đỉnh $I (- 1; 0)$

Trục đối xứng là $x = - 1$

Giao điểm của parabol với trục tung là (0;-3)

Giao điểm của parabol với trục hoành là $I (- 1; 0)$

Điểm đối xứng với điểm (0;-3) qua trục đối xứng $x = - 1$ là (-2;-3)

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số:

Bài 4 trang 43 SGK Toán 10 tập 1 :Cho đồ thị hàm số bậc hai ở Hình 15.

a) Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số.

b) Xác định khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.

c) Tìm công thức xác định hàm số.

Phương pháp giải:

a) Tìm trục đối xứng trên đồ thị, đỉnh I trên đồ thị.

b) Đồ thị đi lên thì hàm số đồng biến, đi xuống thì hàm số nghịch biến.

c) Gọi hàm số là $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$

Đồ thị hàm số có đỉnh là $I (\frac{- b}{2 a}; \frac{- Δ}{4 a})$ , xác định thêm 1 điểm thuộc đồ thị và thay vào phương trình tìm a, b, c.

Lời giải:

a) Trục đối xứng là đường thẳng $x = 2$

Đỉnh là $I (2; - 1)$

b) Từ đồ thị ta thấy trên khoảng $(- \infty; 2)$ thì hàm số đi xuống nên hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 2)$ .

Trên khoảng $(2; + \infty)$ thì hàm số đi xuống nên đồng biến trên $(2; + \infty)$ .

c) ) Gọi hàm số là $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$

Đồ thị hàm số có đỉnh là $I (2; - 1)$ nên ta có:

${\begin{cases} - \frac{b}{2 a} = 2 \\ a {.2}^{2} + b .2 + c = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} b = - 4 a \\ 4 a + 2 b + c = - 1 \end{cases}$

Ta lại có điểm $(1; 0)$ thuộc đồ thị nên ta có: $a + b + c = 0$

Vậy ta có hệ sau:

${\begin{cases} b = - 4 a \\ 4 a + 2 b + c = - 1 \\ a + b + c = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} b = - 4 a \\ 4 a + 2. (- 4 a) + c = - 1 \\ a + (- 4 a) + c = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} b = - 4 a \\ c - 4 a = - 1 \\ c - 3 a = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} b = - 4 a \\ a = 1 \\ c = 3 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} b = - 4 \\ a = 1 \\ c = 3 \end{cases}$

Vậy parabol là $y = x^{2} - 4 x + 3$

Bài 5 trang 43 SGK Toán 10 tập 1 :Nêu khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của mỗi hàm số sau:

a) $y = 5 x^{2} + 4 x - 1$

b) $y = - 2 x^{2} + 8 x + 6$

Phương pháp giải:

- Xác định hệ số a, b.

- Tính $- \frac{b}{2 a}$ .

- Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.

Lời giải:

a) Hệ số $a = 5 > 0, b = 4 \Rightarrow \frac{- b}{2 a} = \frac{- 4}{2.5} = \frac{- 2}{5}$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; \frac{- 2}{5})$ và đồng biến trên $(\frac{- 2}{5}; + \infty)$

b) Ta có $a = - 2 < 0, b = 8$

$\Rightarrow - \frac{b}{2 a} = \frac{- 8}{2. (- 2)} = 2$

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ và nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$

Bài 6 trang 43 SGK Toán 10 tập 1:Khi du lịch đến thành phố St. Louis (Mỹ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ toạ độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như Hình 16 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí có toạ độ (162;0). Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10;43). Tính chiều cao của cổng (tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Phương pháp giải:

- Xác định các điểm thuộc đồ thị.

- Gọi hàm số là $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$

- Thay tọa độ các điểm vào và tìm a, b, c.

- Tìm đỉnh của parabol, từ đó suy ra chiều cao của cổng.

Lời giải:

Từ đồ thị ta thấy các điểm thuộc đồ thị là: $A (0; 0), B (10; 43), B (162; 0)$ .

Gọi hàm số là $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$

Thay tọa độ các điểm A, B, C vào ta được hệ:

${\begin{cases} a {.0}^{2} + b .0 + c = 0 \\ a {.10}^{2} + b .10 + c = 43 \\ a {.162}^{2} + b .162 + c = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} c = 0 \\ 100 a + 10 b = 43 \\ 162^{2} a + 162 b = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} c = 0 \\ a = - \frac{43}{1520} \\ b = \frac{3483}{760} \end{cases}$