Toán 10 Cánh Diều trang 100: Bài tập cuối chương 4

Giang Ngày: 14-02-2023 Lớp 10

359

Với giải Câu hỏi trang 100 Toán 10 Tập 1 Cánh Diều trong Bài tập cuối chương 4 học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Cánh Diều trang 100: Bài tập cuối chương 4

Bài 6 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí M, N ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí O bên ngoài ốc đảo sao cho: O không thuộc đường thẳng MN; các khoảng cách OM, ON và góc MON là đo được (Hình 72). Sau khi đo, ta có OM = 200 m, ON = 500 m, $\hat{M O N} = 135 °$ .

Khoảng cách giữa hai vị trí M, N là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Để đo khoảng cách giữa hai vị trí M, N ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí O

Lời giải:

Ba vị trí O, M, N tạo thành ba đỉnh của tam giác.

Tam giác OMN có OM = 200 m, ON = 500 m và $\hat{M O N} = 135 °$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OMN ta có:

MN² = OM² + ON² – 2 . OM . ON . cos $\hat{M O N}$

= 200² + 500² – 2 . 200 . 500 . cos135°

≈ 431421

Suy ra: MN ≈ 657 m.

Vậy khoảng cách giữa hai ví trí M, n khoảng 657 m.

Bài 7 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh:

a) Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{C E} = \vec{A E}$ với E là điểm bất kì;

b) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{I N} = 2 \vec{M N}$ với M, N là hai điểm bất kì;

c) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M N} = 3 \vec{N G}$ với M, N là hai điểm bất kì.

Lời giải:

Chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì vectơ AB + vectơ AD +vectơ CE = vectơ AE

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Với E là điểm bất kì ta có:

$\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{C E} = \vec{A C} + \vec{C E} = \vec{A E}$ .

Vậy $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{C E} = \vec{A E}$ với E là điểm bất kì.

Chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì vectơ AB + vectơ AD +vectơ CE = vectơ AE

Vì I là trung điểm của AB nên với điểm M bất kì ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$ .

Do đó, với điểm N bất kì, ta có:

$\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{I N} = 2 \vec{M I} + 2 \vec{I N} = 2 (\vec{M I} + \vec{I N}) = 2 \vec{M N}$

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{I N} = 2 \vec{M N}$ với M, N là hai điểm bất kì.

Chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì vectơ AB + vectơ AD +vectơ CE = vectơ AE

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm M bất kì ta có:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Khi đó với điểm N bất kì ta có:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M N} = 3 \vec{M G} - 3 \vec{M N} = 3 (\vec{M G} + (- \vec{M N})) = 3 (\vec{M G} + \vec{N M}) = 3 (\vec{N M} + \vec{M G}) = 3 \vec{N G}$

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M N} = 3 \vec{N G}$ với M, N là hai điểm bất kì.

Bài 8 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, $\hat{B A D} = 60 °$ (Hình 73).

Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, góc BAD = 60 độ (Hình 73)

a) Biểu thị các vectơ $\vec{B D}, \vec{A C}$ theo $\vec{A B}, \vec{A D}$ .

b) Tính các tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A D}, \vec{A B} . \vec{A C}, \vec{B D} . \vec{A C}$ .

c) Tính độ dài các đường chéo BD, AC.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} = - \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

b) Ta có: $\vec{A B} . \vec{A D} = |\vec{A B}| . |\vec{A D}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A D})$

$= A B . A D . \cos \hat{B A D}$ = 4 . 6 . cos60° = 12.

Do đó: $\vec{A B} . \vec{A D} = 12$ .

Ta cũng có: $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A B} . (\vec{A B} + \vec{A D})$

$= {\vec{A B}}^{2} + \vec{A B} . \vec{A D}$ = AB² + 12 = 4² + 12 = 28.

Do đó: $\vec{A B} . \vec{A C} = 28$ .

Lại có: $\vec{B D} . \vec{A C} = (- \vec{A B} + \vec{A D}) . (\vec{A B} + \vec{A D})$

$= (\vec{A D} - \vec{A B}) . (\vec{A D} + \vec{A B})$

$= {\vec{A D}}^{2} - {\vec{A B}}^{2}$

= AD² – AB² = 6² – 4² = 20.

Vậy $\vec{B D} . \vec{A C} = 20$

c) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD có:

BD² = AB² + AD² – 2 . AB . AD . cosA

= 4² + 6² – 2 . 4 . 6 . cos 60° = 28

$\Rightarrow B D = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$

Ta có:

$\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ $\Rightarrow {(\vec{A C})}^{2} = {(\vec{A B} + \vec{A D})}^{2}$

$\Leftrightarrow {\vec{A C}}^{2} = {\vec{A B}}^{2} + 2. \vec{A B} . \vec{A D} + {\vec{A D}}^{2}$

$\Leftrightarrow A C^{2} = A B^{2} + 2 \vec{A B} . \vec{A D} + A D^{2}$

Suy ra: AC² = 4² + 2 . 12 + 6² = 76

$\Rightarrow A C = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19}$

Bài 9 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm O và tạo với nhau một góc $(\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}) = α$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (Hình 74). Lập công thức tính cường độ của hợp lực $\vec{F}$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (giả sử chỉ có đúng hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ làm cho vật di chuyển).

Hai lực vectơ F1, vectơ F2 cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm O và tạo với nhau một góc

Lời giải:

Ta thấy, AOBC là hình bình hành.

Do đó: $\vec{O C} = \vec{O A} + \vec{O B}$

Suy ra: $\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ (1).

Ta cần tính cường độ của hợp lực $\vec{F}$ hay chính là tính $|\vec{F}|$ .

Từ (1) suy ra ${(\vec{F})}^{2} = {(\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}})}^{2}$ .

$\Leftrightarrow {\vec{F}}^{2} = {\vec{F_{1}}}^{2} + 2. \vec{F_{1}} . \vec{F_{2}} + {\vec{F_{2}}}^{2}$

$\Leftrightarrow {|\vec{F}|}^{2} = {|\vec{F_{1}}|}^{2} + 2. \vec{F_{1}} . \vec{F_{2}} + {|\vec{F_{2}}|}^{2}$ (2)

Ta lại có: $\vec{F_{1}} . \vec{F_{2}} = |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos (\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}})$ $= |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α$ (3).

Từ (2) và (3) suy ra: ${|\vec{F}|}^{2} = {|\vec{F_{1}}|}^{2} + 2. |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α + {|\vec{F_{2}}|}^{2}$ $= |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α$

$\Rightarrow |\vec{F}| = \sqrt{{|\vec{F_{1}}|}^{2} + 2. |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α + {|\vec{F_{2}}|}^{2}}$ $= |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α$ .

Vậy công thức tính cường độ của hợp lực $\vec{F}$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C là $|\vec{F}| = \sqrt{{|\vec{F_{1}}|}^{2} + 2. |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α + {|\vec{F_{2}}|}^{2}}$ .