Toán 10 Cánh Diều: Bài tập cuối chương 4

Trần Ngọc Xuân Ngày: 14-02-2023 Lớp 10

699

Toptailieu.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương IV | Cánh diều - sách Cánh Diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10 Tập 1. Mời các bạn đón xem:

Toán 10 Cánh Diều: Bài tập cuối chương 4

Câu hỏi trang 99 Toán 10

Bài 1 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, $\hat{B A C} = 120 °$ . Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp;

c) Diện tích của tam giác;

d) Độ dài đường cao xuất phát từ A;

e) $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A M} . \vec{B C}$ với M là trung điểm của BC.

Lời giải:

: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, góc BAC = 120 độ . Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

a) + Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cos $\hat{B A C}$

= 3² + 4² – 2 . 3. 4 . cos 120°

= 9 + 16 – (– 12)

= 37

Suy ra: $B C = \sqrt{37} \approx 6$ .

+ Ta có: $\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C}$ $= \frac{3^{2} + 6^{2} - 4^{2}}{2.3.6} = \frac{29}{36}$

Suy ra $\hat{B} \approx 36 °$ .

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{B C}{\sin A} = 2 R$

Suy ra: $R = \frac{B C}{2 \sin A} = \frac{6}{2. \sin 120 °} = 2 \sqrt{3} \approx 3$ .

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R ≈ 3.

c) Diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A$ $= \frac{1}{2} .3.4. \sin 120 ° = 3 \sqrt{3} \approx 5$ .

d) Kẻ đường cao AH.

Ta có diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} A H . B C$

Suy ra: $A H = \frac{2 S}{B C} = \frac{2.5}{6} \approx 2$ .

+ Ta có:

$\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

$= A B . A C . \cos \hat{B A C}$

= 3 . 4 . cos 120° = – 6.

Do đó: $\vec{A B} . \vec{A C} = - 6$ .

+ Do M là trung điểm của BC nên ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$ .

Suy ra: $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ .

Khi đó: $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C}$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . (\vec{B A} + \vec{A C})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . ((- \vec{A B}) + \vec{A C})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{A B}) . (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= \frac{1}{2} ({\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2})$

$= \frac{1}{2} (A C - A B) = \frac{1}{2} (4 - 3) = \frac{1}{2}$

Vậy $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{1}{2}$ .

Bài 2 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

A = (sin 20° + sin 70°)² + (cos 20° + cos 110°)²,

B = tan 20° + cot 20° + tan 110° + cot 110°.

Lời giải:

+ Ta có:

A = (sin 20° + sin 70°)² + (cos 20° + cos 110°)²

= [sin(90° – 70°) + sin 70°]² + [cos(90° – 70°) + cos(180° – 70°)]²

= (cos70° + sin 70°)² + [sin 70° + (– cos 70°)]²

= (cos 70° + sin 70°)²+ (sin 70° – cos 70°)²

= cos²70° + 2 . cos 70° . sin 70° + sin² 70° + sin² 70° – 2 . sin 70° . cos 70° + cos² 70°

= 2(cos² 70° + sin² 70°)

= 2 . 1 = 2

Vậy A = 2.

+ Ta có:

B = tan 20° + cot 20° + tan 110° + cot 110°

= tan (90° – 70°) + cot(90° – 70°) + tan (180° – 70°) + cot (180° – 70°)

= cot 70° + tan 70° + (– tan 70°) + (– cot 70°)

= (cot 70° – cot 70°) + (tan 70° – tan 70°)

= 0 + 0 = 0

Vậy B = 0.

Bài 3 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1; Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó.

Bạn Hoài vẽ góc xOy và đố bạn Đông làm thế nào để có thể biết được số đo góc của góc này khi không có thước đo góc. Bạn Đông làm như sau:

- Chọn các điểm A, B lần lượt thuộc các tia Ox và Oy sao cho OA = OB = 2 cm;

- Đo độ dài đoạn thẳng AB được AB = 3,1 cm.

Từ các dữ kiện trên bạn Đông tính được cos $\hat{x O y}$ , từ đó suy ra độ lớn góc xOy.

Em hãy cho biết số đo góc xOy ở Hình 69 bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó

Lời giải:

* Tính góc xOy bạn Hoài vẽ:

Không dùng thước đo góc, làm thế nào để biết số đo góc đó

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABO ta có:

$\cos O = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2. O A . O B} = \frac{2^{2} + 2^{2} - {(3, 1)}^{2}}{2.2.2} = - \frac{161}{800}$

Do đó: $\hat{O} \approx 102 °$ .

Vậy từ các dự kiện bạn Đông tính được, ta suy ra $\hat{x O y} \approx 102 °$ .

Bài 4 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Có hai trạm quan sát A và B ven hồ và một trạm quan sát C ở giữa hồ. Để tính khoảng cách từ A và từ B đến C, người ta làm như sau (Hình 70):

- Đo góc BAC được 60°, đo góc ABC được 45°;

- Đo khoảng cách AB được 1 200 m.

Khoảng cách từ trạm C đến các trạm A và B bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Có hai trạm quan sát A và B ven hồ và một trạm quan sát C ở giữa hồ. Để tính khoảng cách

Lời giải:

Ba vị trí A, B, C tạo thành 3 đỉnh của tam giác ABC.

Ta có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác ABC)

Suy ra: $\hat{C} = 180 ° - (\hat{A} + \hat{B}) = 180 ° - (60 ° + 45 °) = 75 °$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{A B}{\sin C} = \frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B}$

Do đó: $A C = \frac{A B . \sin B}{\sin C} = \frac{1200. \sin 45 °}{\sin 75 °} \approx 878$ (m);

$B C = \frac{A B . \sin A}{\sin C} = \frac{1200. \sin 60 °}{\sin 75 °} \approx 1076$ (m).

Vậy khoảng cách từ trạm C đến trạm A khoảng 878 m và từ trạm C đến trạm B khoảng 1 076 m.

Bài 5 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song với nhau).

Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí đang đứng

Từ vị trí đang đứng A, người đó đo được góc nghiêng α = 35° so với bờ sông tới một vị trí C quan sát được ở phía bờ bên kia. Sau đó di chuyển dọc bờ sông đến vị trí B cách A một khoảng d = 50 m và tiếp tục đo được góc nghiêng β = 65° so với bờ bên kia tới vị trí C đã chọn (Hình 71). Hỏi độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Một người đứng ở bờ sông, muốn đo độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí đang đứng

Dựng AD vuông góc với hai bên bờ sông, khi đó AD là độ rộng của khúc sông chạy qua vị trí của người đó đang đứng. Ta cần tính khoảng cách AD.

Xét tam giác ABC ta có: $\hat{C A B} + \hat{A C B} = 65 °$ (tính chất góc ngoài tại đỉnh B của tam giác)

Suy ra $\hat{A C B} = 65 ° - \hat{C A B} = 65 ° - 35 ° = 30 °$ .

Lại có $\hat{A B C} = 180 ° - 65 ° = 115 °$ .

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{A B}{\sin \hat{A C B}} = \frac{A C}{\sin \hat{A B C}}$ .

Suy ra $A C = \frac{A B . \sin \hat{A B C}}{\sin \hat{A C B}} = \frac{50. \sin 115 °}{\sin 30 °} \approx 90, 6$ .

Ta có: $\hat{D A C} = 90 ° - 35 ° = 55 °$ .

Tam giác ADC vuông tại D nên $\cos \hat{D A C} = \frac{A D}{A C}$ .

$\Rightarrow A D = A C . \cos \hat{D A C} = 90, 6. \cos 55 ° \approx 52$ (m).

Vậy độ rộng của khúc sông chảy qua vị trí người đó đang đứng là 52 m.

Câu hỏi trang 100 Toán 10

Bài 6 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí M, N ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí O bên ngoài ốc đảo sao cho: O không thuộc đường thẳng MN; các khoảng cách OM, ON và góc MON là đo được (Hình 72). Sau khi đo, ta có OM = 200 m, ON = 500 m, $\hat{M O N} = 135 °$ .

Khoảng cách giữa hai vị trí M, N là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Để đo khoảng cách giữa hai vị trí M, N ở hai phía ốc đảo, người ta chọn vị trí O

Lời giải:

Ba vị trí O, M, N tạo thành ba đỉnh của tam giác.

Tam giác OMN có OM = 200 m, ON = 500 m và $\hat{M O N} = 135 °$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OMN ta có:

MN² = OM² + ON² – 2 . OM . ON . cos $\hat{M O N}$

= 200² + 500² – 2 . 200 . 500 . cos135°

≈ 431421

Suy ra: MN ≈ 657 m.

Vậy khoảng cách giữa hai ví trí M, n khoảng 657 m.

Bài 7 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Chứng minh:

a) Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{C E} = \vec{A E}$ với E là điểm bất kì;

b) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{I N} = 2 \vec{M N}$ với M, N là hai điểm bất kì;

c) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M N} = 3 \vec{N G}$ với M, N là hai điểm bất kì.

Lời giải:

Chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì vectơ AB + vectơ AD +vectơ CE = vectơ AE

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Với E là điểm bất kì ta có:

$\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{C E} = \vec{A C} + \vec{C E} = \vec{A E}$ .

Vậy $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{C E} = \vec{A E}$ với E là điểm bất kì.

Chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì vectơ AB + vectơ AD +vectơ CE = vectơ AE

Vì I là trung điểm của AB nên với điểm M bất kì ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$ .

Do đó, với điểm N bất kì, ta có:

$\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{I N} = 2 \vec{M I} + 2 \vec{I N} = 2 (\vec{M I} + \vec{I N}) = 2 \vec{M N}$

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{I N} = 2 \vec{M N}$ với M, N là hai điểm bất kì.

Chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì vectơ AB + vectơ AD +vectơ CE = vectơ AE

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm M bất kì ta có:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

Khi đó với điểm N bất kì ta có:

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M N} = 3 \vec{M G} - 3 \vec{M N} = 3 (\vec{M G} + (- \vec{M N})) = 3 (\vec{M G} + \vec{N M}) = 3 (\vec{N M} + \vec{M G}) = 3 \vec{N G}$

Vậy $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M N} = 3 \vec{N G}$ với M, N là hai điểm bất kì.

Bài 8 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, $\hat{B A D} = 60 °$ (Hình 73).

Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, góc BAD = 60 độ (Hình 73)

a) Biểu thị các vectơ $\vec{B D}, \vec{A C}$ theo $\vec{A B}, \vec{A D}$ .

b) Tính các tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A D}, \vec{A B} . \vec{A C}, \vec{B D} . \vec{A C}$ .

c) Tính độ dài các đường chéo BD, AC.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} = - \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

b) Ta có: $\vec{A B} . \vec{A D} = |\vec{A B}| . |\vec{A D}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A D})$

$= A B . A D . \cos \hat{B A D}$ = 4 . 6 . cos60° = 12.

Do đó: $\vec{A B} . \vec{A D} = 12$ .

Ta cũng có: $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A B} . (\vec{A B} + \vec{A D})$

$= {\vec{A B}}^{2} + \vec{A B} . \vec{A D}$ = AB² + 12 = 4² + 12 = 28.

Do đó: $\vec{A B} . \vec{A C} = 28$ .

Lại có: $\vec{B D} . \vec{A C} = (- \vec{A B} + \vec{A D}) . (\vec{A B} + \vec{A D})$

$= (\vec{A D} - \vec{A B}) . (\vec{A D} + \vec{A B})$

$= {\vec{A D}}^{2} - {\vec{A B}}^{2}$

= AD² – AB² = 6² – 4² = 20.

Vậy $\vec{B D} . \vec{A C} = 20$

c) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD có:

BD² = AB² + AD² – 2 . AB . AD . cosA

= 4² + 6² – 2 . 4 . 6 . cos 60° = 28

$\Rightarrow B D = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$

Ta có:

$\vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D}$ $\Rightarrow {(\vec{A C})}^{2} = {(\vec{A B} + \vec{A D})}^{2}$

$\Leftrightarrow {\vec{A C}}^{2} = {\vec{A B}}^{2} + 2. \vec{A B} . \vec{A D} + {\vec{A D}}^{2}$

$\Leftrightarrow A C^{2} = A B^{2} + 2 \vec{A B} . \vec{A D} + A D^{2}$

Suy ra: AC² = 4² + 2 . 12 + 6² = 76

$\Rightarrow A C = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19}$

Bài 9 trang 100 Toán lớp 10 Tập 1: Hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm O và tạo với nhau một góc $(\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}) = α$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (Hình 74). Lập công thức tính cường độ của hợp lực $\vec{F}$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C (giả sử chỉ có đúng hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ làm cho vật di chuyển).

Hai lực vectơ F1, vectơ F2 cho trước cùng tác dụng lên một vật tại điểm O và tạo với nhau một góc

Lời giải:

Ta thấy, AOBC là hình bình hành.

Do đó: $\vec{O C} = \vec{O A} + \vec{O B}$

Suy ra: $\vec{F} = \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}$ (1).

Ta cần tính cường độ của hợp lực $\vec{F}$ hay chính là tính $|\vec{F}|$ .

Từ (1) suy ra ${(\vec{F})}^{2} = {(\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}})}^{2}$ .

$\Leftrightarrow {\vec{F}}^{2} = {\vec{F_{1}}}^{2} + 2. \vec{F_{1}} . \vec{F_{2}} + {\vec{F_{2}}}^{2}$

$\Leftrightarrow {|\vec{F}|}^{2} = {|\vec{F_{1}}|}^{2} + 2. \vec{F_{1}} . \vec{F_{2}} + {|\vec{F_{2}}|}^{2}$ (2)

Ta lại có: $\vec{F_{1}} . \vec{F_{2}} = |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos (\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}})$ $= |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α$ (3).

Từ (2) và (3) suy ra: ${|\vec{F}|}^{2} = {|\vec{F_{1}}|}^{2} + 2. |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α + {|\vec{F_{2}}|}^{2}$ $= |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α$

$\Rightarrow |\vec{F}| = \sqrt{{|\vec{F_{1}}|}^{2} + 2. |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α + {|\vec{F_{2}}|}^{2}}$ $= |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α$ .

Vậy công thức tính cường độ của hợp lực $\vec{F}$ làm cho vật di chuyển theo hướng từ O đến C là $|\vec{F}| = \sqrt{{|\vec{F_{1}}|}^{2} + 2. |\vec{F_{1}}| . |\vec{F_{2}}| . \cos α + {|\vec{F_{2}}|}^{2}}$ .