Với giải Hoạt động 3 trang 57 Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống chi tiết trong Bài 9: Tích của một vectơ với một số giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Hoạt động 3 trang 57 Toán lớp 10: Với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài bằng $\left|kt\right|.\left|\overrightarrow{u}\right|$

b) Nếu $kt\ge 0$ thì cả hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$, $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$

c) Nếu $kt<0$ thì cả hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$, $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$

d) Hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ bằng nhau.

Phương pháp giải:

Vecto $k\overrightarrow{a}$ (với $k>0,\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$)  cùng hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và có độ đài bằng $k\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Vecto $k\overrightarrow{a}$ (với $k<0,\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$)  ngược hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và có độ đài bằng $\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Lời giải:

a) Hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài bằng $\left|kt\right|.\left|\overrightarrow{u}\right|$

Ta có: $\left|t\overrightarrow{u}\right|=\left|t\right|\left|\overrightarrow{u}\right|\Rightarrow \left|k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left|k\right|\left|\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left|k\right|.\left|t\right|\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$

Và $\left|\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$

$\Rightarrow \left|k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left|\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$

b) Nếu $kt\ge 0$ thì cả hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$, $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $k\ge 0,t\ge 0$

Vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với vecto $t\overrightarrow{u}$ (vì $k\ge 0$ ), mà vecto $t\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{u}$ (vì $t\ge 0$ )

Do đó vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{u}$.

Trường hợp 2: $k<0,t<0$

Vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vecto $t\overrightarrow{u}$ (vì $k<0$ ), mà vecto $t\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vecto $\overrightarrow{u}$ (vì $t<0$ )

Do đó vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{u}$.

Vậy vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ luôn cùng hướng với vecto $\overrightarrow{u}$ nếu $kt\ge 0$.

Lại có: $kt\ge 0$ nên $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$

Vậy $kt\ge 0$ thì cả hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$, $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$

c) Nếu $kt<0$ thì cả hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$, $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $k>0,t<0$

Vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với vecto $t\overrightarrow{u}$ (vì $k>0$ ), mà vecto $t\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vecto $\overrightarrow{u}$ (vì $t<0$)

Do đó vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vecto $\overrightarrow{u}$.

Trường hợp 2: $k<0,t>0$

Vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vecto $t\overrightarrow{u}$ (vì $k<0$ ), mà vecto $t\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{u}$ (vì $t>0$)

Do đó vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vecto $\overrightarrow{u}$.

Vậy vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ luôn ngược hướng với vecto $\overrightarrow{u}$ nếu $kt<0$.

Lại có: $kt<0$ nên $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$

Vậy $kt<0$ thì cả hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$, $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$

d) Từ ý b) và c), ra suy ra hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$luôn cùng hướng.

Theo câu a) ta có: $\left|k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left|\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$

$\Rightarrow$  Hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ bằng nhau

Xem thêm các bài giải Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 55 Toán lớp 10:Cho vecto...

Câu hỏi trang 55 Toán lớp 10:  và  có bằng nhau hay không?...

Hoạt động 2 trang 56 Toán lớp 10: Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số ...

Câu hỏi trang 56 Toán lớp 10:  và  có mối quan hệ gì?...

Luyện tập 1 trang 56 Toán lớp 10: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B. Những khẳng định nào sau đây là đúng?...

Hoạt động 4 trang 57 Toán lớp 10: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vecto  và . Từ đó, nêu mối quan hệ giữa  và ...

Luyện tập 2 trang 57 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có...

Luyện tập 3 trang 57 Toán lớp 10: Trong hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto  theo hai vecto , tức là tìm các số  để ....

Bài 4.11 trang 58 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị ...

Bài 4.12 trang 58 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh...

Bài 4.13 trang 58 Toán lớp 10: Cho hai điểm phân biệt A và B....

Bài 4.14 trang 58 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC...

Bài 4.15 trang 59 Toán lớp 10: Chất điểm A chịu tác động của ba lực....