Toptailieu biên soạn và giới thiệu lời giải Toán 8 Bài 5 (Chân trời sáng tạo): Phân thức đại số hay, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời câu hỏi SGK Toán 8 Bài 5 từ đó học tốt môn Toán 8.
Nội dung bài viết
Toán 8 (Chân trời sáng tạo) Bài 5: Phân thức đại số
Hãy lập các biểu thức tính một trong ba đại lượng s, v và t theo hai đại lượng còn lại.
Có phải tất cả các biểu thức đó đều là đa thức? Hãy giải thích.
Lời giải:
Ta lập được các biểu thức tính một trong ba đại lượng s, v và t theo hai đại lượng còn lại như sau: s = vt; v = stst; t = svsv.
Trong ba biểu thức trên, chỉ có biểu thức s = vt là đa thức; hai biểu thức còn lại không phải là đa thức, vì hai biểu thức v = stst và t = svsv có chứa phép chia giữa các biến.
1. Phân thức đại số
Khám phá 1 trang 26 Toán 8 Tập 1: a) Viết biểu thức biểu thị các đại lượng sau đây:
• Chiều rộng của hình chữ nhật có chiều dài bằng a (m) và diện tích bằng 3 m2.
b) Các biểu thức trên có đặc điểm nào giống nhau? Chúng có phải là đa thức không?
Lời giải:
a)
• Biểu thức biểu thị chiều rộng của hình chữ nhật có chiều dài bằng a (m) và diện tích bằng 3 m2 là: 3a3a (m).
• Gọi t là thời gian để người thợ đó làm được x sản phẩm.
Vì thời gian làm việc và số sản phẩm làm được là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có:
txtx = 1y1y, suy ra t = xyxy (giờ)
Vậy biểu thức biểu thị thời gian để người thợ đó làm được x sản phẩm là: xyxy (giờ).
• Diện tích của mảnh ruộng là: a + b (ha).
Mảnh ruộng cho thu hoạch được số tấn lúa là: m + n (tấn lúa).
Biểu thức biểu thị năng suất trung bình của mảnh ruộng gồm hai thửa đó là: a+bm+na+bm+n (tấn/ha).
b) Các biểu thức trên đều là biểu thức có dạng ABAB, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức không.
Do đó các biểu thức này không phải là đa thức.
Khám phá 2 trang 27 Toán 8 Tập 1: Cho biểu thức P=x2−12x+1P=x2−12x+1
a) Tính giá trị của biểu thức tại x = 0.
b) Tại -1212 , giá trị của biểu thức có xác định không? Tại sao?
Lời giải:
a) Tại x = 0, ta có: P=02−12.0+1=−11=−1P=02−12.0+1=−11=−1.
b) Tại ta có mẫu thức có giá trị là: .
Khi đó giá trị của biểu thức P không xác định.
Thực hành 1 trang 27 Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị của phân thức:
a) x2−2x+1x+2x2−2x+1x+2 tại x = –3, x = 1;
b) xy−3y2x+yxy−3y2x+y tại x = 3, y = –1.
Lời giải:
a) Xét phân thức x2−2x+1x+2x2−2x+1x+2
Điều kiện xác định của phân thức trên là x + 2 ≠ 0, hay x ≠ ‒2.
• Khi x = –3 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:
(−3)2−2.(−3)+1(−3)+2=9+6+1−1=−16(−3)2−2.(−3)+1(−3)+2=9+6+1−1=−16
• Khi x = 1 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:
12−2.1+11+2=1−2+13=0.
b) Xét phân thức xy−3y2x+y
Điều kiện xác định của phân thức trên là x + y ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn x + y ≠ 0).
Khi x = 3 và y = –1 thì x + y = 2 ≠ 0 nên điều kiện xác định được thỏa mãn.
Khi đó ta có: 3.(−1)−3.(−1)23+(−1)=−3−32=−3.
Thực hành 2 trang 27 Toán 8 Tập 1: Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức:
a) 1a+4 ;
b) xy2x−2y .
Lời giải:
a) Điều kiện xác định của phân thức 1a+4 là a + 4 ≠ 0 hay a ≠ ‒4.
b) Điều kiện xác định của phân thức xy2x−2y là x – 2y ≠ 0 (nghĩa là tại các giá trị của x và y thỏa mãn x – 2y ≠ 0).
Lời giải:
• Khi x = 100, thay vào biểu thức C(x) ta được:
C(100)=0,0002x2+120x+1000x
=2+12000+1000100=13002100=130,02 (nghìn đồng).
• Khi x = 1000, thay vào biểu thức C(x) ta được:
C(1000)=0,0002x2+120x+1000x
=200+120000+10001000=1212001000=121,2 (nghìn đồng).
2. Hai phân thức bằng nhau
Khám phá 3 trang 28 Toán 8 Tập 1: Xét hai phân thức M=xy và N=x2−xxy−y
a) Tính giá trị của các phân thức trên khi x = 3, y = 2 và khi x = ‒1, y = 5.
Nêu nhận xét về giá trị của M và N khi cho x và y nhận những giá trị nào đó (y ≠ 0 và xy – y ≠ 0).
b) Nhân tử thức của phân thức này với mẫu thức của phân thức kia, rồi so sánh hai đa thức nhận được.
Lời giải:
a) • Khi x = 3 và y = 2 ta có: ;
N=32−33.2−2=9−36−2=64=32
• Khi x = ‒1 và y = 5 ta có: ;
N=(−1)2−(−1)(−1).5−5=1+1−5−5=2−10=−15 .
Nhận xét: Giá trị của M và N bằng nhau khi cho x và y nhận những giá trị thỏa mãn y ≠ 0 và xy – y ≠ 0.
b) • Nhân tử thức của phân thức M với mẫu thức của phân thức N ta được:
x.(xy – y) = x2y – xy.
• Nhân tử thức của phân thức N với mẫu thức của phân thức M ta được:
(x2 – x).y = x2y – xy.
Ta thấy cả hai kết quả đều là đa thức x2y – xy nên hai đa thức nhận được bằng nhau.
Thực hành 3 trang 28 Toán 8 Tập 1: Mỗi cặp phân thức sau đây có bằng nhau không? Tại sao?
a) xy2xy+y và xyx+1;
b) xy−xy và xy−yx
Lời giải:
a) Ta có: xy2.(x + 1) = x2y2 + xy2;
(xy + y).xy = x2y2 + xy2.
Do đó xy2.(x + 1) = (xy + y).xy.
Vậy xy2xy+y = xyx+1.
b) Ta có: (xy – y).y = xy2 – y2;
x.(xy – x) = x2y – x2.
Do đó (xy – y).y ≠ x.(xy – x)
Vậy hai phân thức xy−xy và xy−yx không bằng nhau.
3. Tính chất cơ bản của phân thức
Khám phá 4 trang 28 Toán 8 Tập 1: Xét các phân thức P=x2yxy2, Q=xy, R=x2+xyxy+y2
a) Các phân thức trên có bằng nhau không? Tại sao?
b) Có thể biến đổi như thế nào để chuyển Q thành P và R thành Q?
Lời giải:
a) • Xét hai phân thức P=x2yxy2 và Q=xy ta có:
x2y.y = x2y2;
xy2.x = x2y2.
Do đó x2y.y = xy2.x
Vậy x2yxy2 = xy hay P = Q (1)
• Xét hai phân thức Q=xy và R=x2+xyxy+y2 ta có:
x.(xy + y2) = x2y + xy2;
y.(x2 + xy) = x2y + xy2.
Do đó x.(xy + y2) = y.(x2 + xy)
Vậy xy = x2+xyxy+y2, hay Q = R (2)
Từ (1) và (2) ta có P = Q = R.
Vậy các phân thức P, Q và Q bằng nhau.
b) • Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức Q=xy với cùng đơn thức xy khác đa thức không thì được: .
• Ta có:Q=xy=x.xyy.xy=x2yxy2=P
Ta chia cả tử và mẫu của phân thức R cho cùng nhân tử chung là (x + y) thì được:
R=x2+xyxy+y2=x(x+y)y(x+y)=[x(x+y)]:(x+y)[y(x+y)]:(x+y)=xy.
Lời giải:
Cách 1:
Xét hai phân thức a2−b2a2b+ab2 và a−bab ta có:
(a2 – b2).ab = a3b – ab3;
(a2b + ab2)(a – b) = a3b – a2b2 + a2b2 – ab3 = a3b – ab3.
Do đó (a2 – b2).ab = (a2b + ab2)(a – b).
Vậy a2−b2a2b+ab2 = a−bab.
Cách 2: Dùng tính chất cơ bản của phân thức
Ta có a2−b2a2b+ab2=(a+b)(a−b)ab(a+b)=a−bab.
Vậy a2−b2a2b+ab2 = a−bab.
Thực hành 5 trang 30 Toán 8 Tập 1: Rút gọn các phân thức sau:
a) 3x2+6xy6x2;
b) 2x2−x3x2−4;
c) x+1x3+1.
Lời giải:
a) 3x2+6xy6x2=3x(x+2y)3x.2x=x+2y2x;
b) 2x2−x3x2−4=−x2(x−2)(x+2)(x−2)=−x2x+2;
c) x+1x3+1=x+1(x+1)(x2−x+1)=1x2−x+1.
Bài tập
Bài 1 trang 30 Toán 8 Tập 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?
3x+12x−1; 2x2 – 5x + 3; 3x+12x−1.
Lời giải:
Trong các biểu thức trên, 3x+12x−1 và 2x2 – 5x + 3 là phân thức.
Biểu thức 3x+12x−1 không phải là phân thức, vì x+√x không phải là đa thức.
Bài 2 trang 30 Toán 8 Tập 1: Viết điều kiện xác định của các phân thức sau:
a) 4x−1x−6;
b) x−10x+3y;
c) 3x2 – x + 7.
Lời giải:
a) Điều kiện xác định của phân thức 4x−1x−6 là x – 6 ≠ 0, hay x ≠ 6.
b) Điều kiện xác định của phân thức x−10x+3y là x + 3y ≠ 0 (nghĩa là tại các giá trị của x và y thỏa mãn x + 3y ≠ 0).
c) Phân thức 3x2 – x + 7 xác định với mọi giá trị x ∈ ℝ.
Bài 3 trang 30 Toán 8 Tập 1: Tìm giá trị của phân thức:
a) A=3x2+3xx2+2x+1 tại x = ‒ 4;
b) B=ab−b2a2−b2 tại a = 4, b = ‒2.
Lời giải:
a) Xét phân thức A=3x2+3xx2+2x+1=3x(x+1)(x+1)2
Điều kiện xác định của phân thức A là (x + 1)2 ≠ 0, hay x + 1 ≠ 0, do đó x ≠ –1.
Với điều kiện xác định x ≠ –1 thì A=3x2+3xx2+2x+1=3x(x+1)(x+1)2=3xx+1.
Tại x = ‒ 4 (điều kiện xác định được thỏa mãn), ta có:
A=3.(−4)(−4)+1=−12−3=4.
b) Xét phân thức B=ab−b2a2−b2.
Điều kiện xác định của phân thức B là a2 – b2 ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của a và b thỏa mãn a2 – b2 ≠ 0).
Với điều kiện xác định trên thì B=ab−b2a2−b2=b(a−b)(a+b)(a−b)=ba+b.
Tại a = 4 và b = ‒2 thì a2 – b2 = 12 ≠ 0 nên điều kiện xác định được thỏa mãn.
Khi đó, B=−24+(−2)=−22=−1.
Bài 4 trang 30 Toán 8 Tập 1: Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Tại sao?
a) 3aca3b và 6c2a2b;
b) 3ab−3b26b2 và a−b2b.
Lời giải:
a) Xét hai phân thức 3aca3b và 6c2a2b ta có:
3ac.2a2b = 6a3bc;
a3b.6c = 6a3bc.
Do đó 3ac.2a2b = a3b.6c
Vậy 3aca3b = 6c2a2b.
b) Ta có: 3ab−3b26b2=3b(a−b)3b.2b=a−b2b.
Vậy 3ab−3b26b2=a−b2b.
Bài 5 trang 30 Toán 8 Tập 1: Tìm đa thức thích hợp thay vào trong các đẳng thức sau:
Lời giải:
a) Ta có 2x+1x−1=(2x+1).(x+1)(x−1).(x+1)=2x2+2x+x+1x2−1=2x2+3x+1x2−1
Vậy đa thức thay vào là: 2x2 + 3x + 1.
b) Ta có x2+2xx3+8=x(x+2)(x+2)(x2−2x+4)=xx2−2x+4.
Vậy đa thức thay vào là: x.
Bài 6 trang 30 Toán 8 Tập 1: Rút gọn các phân thức sau:
b) 3x2−3xx−1;
c) ab2−a2b2a2+a;
d) 12(x4−1)18(x2−1).
Lời giải:
a) 3x2y2xy5=xy.3xxy.2y4=3x2y4;
b) 3x2−3xx−1=3x(x−1)x−1=3x1=3x;
c) ab2−a2b2a2+a=a(b2−ab)a(2a+1)=b2−ab2a+1;
d) 12(x4−1)18(x2−1)=6.2.(x2+1)(x2−1)6.3.(x2−1)=2.(x2+1)3=2x2+23.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.