Toptailieu biên soạn và giới thiệu lời giải Toán 8 Bài 1 (Cánh diều): Phân thức đại số hay, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời câu hỏi SGK Toán 8 Bài 1 từ đó học tốt môn Toán 8.
Nội dung bài viết
Toán 8 (Cánh diều) Bài 1 : Phân thức đại số
Lời giải:
Sau khi học xong bài này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:
Kết quả của phép chia đa thức P cho đa thức Q khác đa thức 0 cũng có thể viết dưới dạng PQPQ. Khi đó, biểu thức PQPQ được gọi là phân thức.
I. Khái niệm về phân thức đại số
Hoạt động 1 trang 29 Toán 8 Tập 1: Cho biểu thức 2x+1x-22x+1x−2.
a) Biểu thức 2x + 1 có phải đa thức hay không?
b) Biểu thức x – 2 có phải đa thức khác đa thức 0 hay không?
Lời giải:
a) Biểu thức 2x + 1 là đa thức.
a) Biểu thức x – 2 là đa thức khác đa thức 0.
Luyện tập 1 trang 30 Toán 8 Tập 1: Trong những biểu thức sau, biểu thức nào là phân thức?
a) x2y+xy2x-yx2y+xy2x−y.
b) x2-11xx2−11x .
Lời giải:
a) Do x2y + xy2 và x – y là các đa thức và đa thức x – y khác đa thức 0 nên biểu thức x2y+xy2x-yx2y+xy2x−y là phân thức.
b) Do biểu thức1x1x không phải là các đa thức nên biểu thức x2-11xx2−11x không phải là phân thức.
Lời giải:
Quy tắc để hai phân số bằng nhau là:
Hai phân số abab và cdcd được gọi là bằng nhau nếu a . d = b . c, viết là abab = cdcd.
Luyện tập 2 trang 30 Toán 8 Tập 1: Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Vì sao?
a) x+yx2-y2x+yx2−y2 và 1x-y1x−y.
b) xx2-1xx2−1 và .1x-11x−1
Lời giải:
a) Ta có: (x + y)(x – y) = x2 – y2 và (x2 – y2) . 1 = x2 – y2.
Nên (x + y)(x – y) = (x2 – y2) . 1.
Vậy x+yx2-y2x+yx2−y2 = 1x-y1x−y.
b) Ta có: x(x – 1) = x2 – x và (x2 – 1) . 1 = x2 – 1
Do x(x – 1) ≠ (x2 – 1) . 1 nên hai phân thứcxx2-1xx2−1 và1x-11x−1 không bằng nhau.
II. Tính chất cơ bản của phân thức
Hoạt động 3 trang 31 Toán 8 Tập 1:
b) Hãy nhắc lại tính chất cơ bản của phân số.
Lời giải:
a) Áp dụng tính chất cơ bản của phân số, ta có:
• 2-72−7= 2.2-7.22.2−7.2 = 4-144−14 .
Do đó số cần điền vào là −14.
• -3-9=(-3):(-3)(-9):(-3)=13−3−9=(−3):(−3)(−9):(−3)=13.
Do đó số cần điền vào là 1.
b) Tính chất cơ bản của phân số là:
• Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số khác 0 thì nhận được một phân số bằng phân số đã cho.
AB=A.MB.MAB=A.MB.M với M là một số khác 0.
• Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân số bằng phân số đã cho.
AB=A:NB:NAB=A:NB:N với N là một nhân tử chung của A và B.
Lời giải:
Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với y, ta được:
3xy+yy=(3x+y).yy.y=3xy+y2y2 (theo tính chất cơ bản của phân thức).
Hoạt động 4 trang 32 Toán 8 Tập 1: Cho phân thức 4x2y6xy2 .
a) Tìm nhân tử chung của tử và mẫu.
b) Tìm phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
Lời giải:
a) Nhân tử chung của tử và mẫu là 2xy.
b) Ta có : 4x2y6xy2=4x2y:2xy6xy2:2xy=2x3y .
Vậy sau khi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung thì phân thức nhận được là2x3y .
Luyện tập 4 trang 32 Toán 8 Tập 1: Rút gọn mỗi phân thức sau:
Lời giải:
Hoạt động 5 trang 33 Toán 8 Tập 1: Cho hai phân thức 1x2y và 1xy2.
b) Nhận xét gì về mẫu của hai phân thức thu được.
Lời giải:
Cho hai phân thức 1x2y và 1xy2.
a) • Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với y, ta được:
1x2y=1.yx2y.y=yx2y2.
• Nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với x, ta được:
1xy2=1.xxy2.x=xx2y2.
b) Mẫu của hai phân thức thu được bằng nhau và đều bằng x2y2.
Hoạt động 6 trang 33 Toán 8 Tập 1: Tìm MTC của hai phân thức 52x+6 và 3x2−9.
Lời giải:
Để tìm MTC của hai phân thức trên, ta có thể làm như sau:
Bước 1. Phân tích mẫu của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử
2x + 6 = 2(x + 3); x2 – 9 = (x – 3)(x + 3).
Bước 2. Chọn MTC là: 2(x – 3)(x + 3).
Cách tìm mẫu thức như bảng sau:
Nhân tử bằng số |
Lũy thừa của x – 3 |
Lũy thừa của x + 3 |
|
Mẫu thức 2x + 6 = 2(x + 3) |
2 |
x + 3 |
|
Mẫu thức x2 – 9 = (x – 3)(x + 3) |
1 |
x – 3 |
x + 3 |
MTC 2(x – 3)(x + 3) |
2 = BCNN(2, 1) |
x – 3 |
x + 3 |
Hoạt động 7 trang 33 Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức hai phân thức 1x2+x và 1x2−x.
Lời giải:
Để quy đồng mẫu thức của hai phân thức trên, ta có thể làm như sau:
Bước 1. Tìm mẫu thức chung
Chọn MTC là: x(x – 1)(x + 1).
Bước 2. Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức (bằng cách chia MTC cho từng mẫu)
[x(x – 1)(x + 1)] : x(x + 1) = x – 1; [x(x – 1)(x + 1)] : x(x – 1) = x + 1.
Bước 3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng
2x2+x=1x(x+1)=x−1x(x+1)(x−1);
1x2−x=1x(x−1)=x+1x(x+1)(x−1).
Luyện tập 5 trang 34 Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:
a) 52x2y3 và 3xy4;
b) 42x2−10x và 2x2−25.
Lời giải:
a) 52x2y3 và 3xy4
Ta có MTC: 2x2y4.
Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:
52x2y3=5.y2x2y3.y=5y2x2y4; 3xy4=3.2xxy4.2x=6x2x2y4.
b) 42x2−10x và 2x2−25.
Ta có 42x2−10x=22x(x−5)=1x(x−5).
x2 – 25 = x2 – 52 = (x + 5)(x – 5).
Suy ra MTC: x(x + 5)(x – 5).
Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:
III. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức
Lời giải:
Để mẫu x – 2 ≠ 0 thì x≠ 2.
Vậy giá trị của x sao cho mẫu x – 2 ≠ 0 là x≠ 2.
Hoạt động 9 trang 35 Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức x+2x−1 tại x = 2.
Lời giải:
Giá trị của biểu thức x+2x−1 tại x = 2 là: 2+22−1=41= 4.
Luyện tập 6 trang 36 Toán 8 Tập 1: Cho phân thức x+1x2+x.
a) Viết điều kiện xác định của phân thức.
b) Tính giá trị của phân thức tại x = 10 và tại x = −1.
Lời giải:
a) Điều kiện xác định của phân thức x+1x2+x là x2 + x ≠ 0.
b) •Với x = 10 ta thấy x2 + x = 102 + 10 = 100 + 10 = 110 ≠ 0.
Do đó, giá trị của phân thức đã chotại x = 10 là:
10+1102+10=11100+10=11110.
Do đó giá trị của phân thứctại x = 10 là 11110.
•Với x = −1 ta thấy x2 + x = (−1)2 + (−1) = 1 – 1 = 0.
Nên x = −1 không thỏa mãn điều kiện xác định.
Do đó tại x = −1 thì phân thức đã cho không tồn tại.
Bài tập
Bài 1 trang 37 Toán 8 Tập 1: Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:
a) y3y+3;
b) 4xx2+16;
c) x+yx−y.
Lời giải:
a) Điều kiện xác định của phân thức y3y+3 là3y + 3 ≠ 0;
b) Điều kiện xác định của phân thức 4xx2+16 là x2 + 16 ≠ 0;
c) Điều kiện xác định của phân thức x+yx−y là x – y ≠ 0.
Bài 2 trang 37 Toán 8 Tập 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
a) 3x2=15xy10y;
b) 3x−3y2y−2x=−32;
c) x2−x+1x=x3+1x(x+1).
Lời giải:
a) Ta có: 3x . 10y = 30xy và 2 . 15xy = 30xy
Nên 3x . 10y = 2 . 15xy.
Do đó 3x2=15xy10y.
b) Ta có (3x – 3y) . 2 = 6x – 6y và –3(2y – 2x) = – 6y + 6x = 6x – 6y.
Nên (3x – 3y) . 2 = –3(2y – 2x).
Do đó 3x−3y2y−2x=−32.
c) Ta có (x2 – x + 1) . x(x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) = x(x3 + 1);
Vì (x2 – x + 1) . x(x + 1) = x(x3 + 1) nên x2−x+1x=x3+1x(x+1).
Bài 3 trang 37 Toán 8 Tập 1: Rút gọn mỗi phân thức sau:
a) 24x2y216xy3;
b) 6x−2y9x2−y2.
Lời giải:
Bài 4 trang 37 Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:
a) 2x−3y và 3x+3y ;
b) 74x+24 và 13x2−36 .
Lời giải:
a) Ta có MTC: (x – 3y)(x + 3y)
Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:
.
b) Ta có: 4x + 24 = 4(x + 6); x2 – 36 = (x + 6)(x – 6).
Suy ra MTC: 4(x + 6)(x – 6).
Quy đồng mẫu thức các phân thức, ta được:
a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ.
b) Tính giá trị của phân thức đó tại x = 2 và tại x = 5.
Lời giải:
a) Trong Hình 1:
• Hình chữ nhật ABCD có chiều dài là x + 3 (cm); chiều rộng là x + 1 (cm).
Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: (x + 3)(x + 1) (cm2).
• Hình chữ nhật MNPQ có chiều dài là x + 1 (cm); chiều rộng là x (cm).
Biểu thức biểu thị diện tích của hình chữ nhật ABCD là: x(x + 1) (cm2).
Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ là: (x+3)(x+1)x(x+1)=x+3x.
b) Điều kiện xác định của phân thức x+3x là x≠ 0.
• Ta thấy x = 2≠ 0.
Do đó, giá trị của phân thức x+3x tại x = 2 là: 2+32=52 .
• Ta thấy x = 5≠ 0.
Do đó, giá trị của phân thức x+3x tại x = 5 là: 5+35=85 .
a) Viết phân thức biểu thị số tiền thực (đơn vị nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm.
b) Viết phân thức biểu thị chi phí thực (đơn vị nghìn đồng) để tạo ra 1 sản phẩm theo x.
c) Tính chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100; x = 1 000. Nhận xét về chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x ngày càng tăng.
Lời giải:
a) Đổi: 80 triệu = 80 000 nghìn đồng.
Chi phí để sản xuất của 1 sản phẩm là 15 nghìn đồng.
Khi đó, chi phí để sản xuất của x sản phẩm là 15x nghìn đồng.
Do đó, số tiền thực (đơn vị nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là:
80 000 + 15x (nghìn đồng).
Vậy phân thức biểu thị số tiền thực đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là 80000+15x1 (nghìn đồng).
b) Phân thức biểu thị chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm theo x là: 80000+15xx (nghìn đồng).
c) • Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100 là:
80000+15.100100=80000+1500100=81500100=815 (nghìn đồng).
• Chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 1 000 là:
80000+15.10001000=80000+15000100=9500100=95 (nghìn đồng).
Nhận xét: Nếu x ngày càng tăng thì chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm càng giảm.
Từ đó ta kết luận thời gian sử dụng càng lâu thì càng tiết kiệm chi phí.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Cánh Diều hay, chi tiết khác:
Bài 4: Luyện tập hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
2021 © All Rights Reserved.