Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau (50 bài tập minh họa) hay, chi tiết nhất, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hỗn số, từ đó học tốt môn Toán 9.

Phương pháp giải Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau (50 bài tập minh họa)

I. Lý thuyết

Cho đường thẳng d: y = ax + b $\left(a\ne 0\right)$ và đường thẳng d’: y = a’x + b’$\left(a\text{'}\ne 0\right)$

1. Điều kiện để hai đường thẳng song song

 d và d’ song song với nhau khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$

Ví dụ: y = 3x + 1 và y = 3x – 2 là hai đường thẳng song song vì

$\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\left(=3\right)\\ b\ne b\text{'}\left(1\ne -2\right)\end{array}\right.$

2. Hai đường thẳng trùng nhau

d và d’ trùng nhau khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b=b\text{'}\end{array}\right.$

3. Hai đường thẳng cắt nhau

d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi $a\ne a\text{'}$

Trường hợp đặc biệt $a.a\text{'}=-1$ thì d và d’ là hai đường thẳng vuông góc.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Phương pháp giải: Sử dụng đến các điều kiện của vị trí tương đối hai đường thẳng

+ Hai đường thẳng song song

+ Hai đường thẳng cắt nhau

+ Hai đường thẳng vuông góc

+ Hai đường thẳng trùng nhau.

Ví dụ 1: Cho các đường thẳng $d_1$: y = 3x – 1; $d_2$: y = 5x + 6; $d_3$: y = 3x + 2; $d_4$: y = $\frac{-1}{3}$x  + 1.

Xét vị trí tương đối của $d_1$với các đường thẳng $d_2$; $d_3$; $d_4$.

Lời giải:

 + Xét vị trí tương đối của $d_1$: y = 3x – 1 và $d_2$: y = 5x + 6

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}a=3\\ a\text{'}=5\end{array}\right.$$\Rightarrow a\ne a\text{'}\left(3\ne 5\right)$

$\Rightarrow d_1;d_2$ là hai đường thẳng cắt nhau

+ Xét vị trí tương đối của $d_1$: y = 3x – 1 và $d_3$: y = 3x +2

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}a=3\\ a\text{'}=3\end{array}\right.$$\Rightarrow a=a\text{'}\left(=3\right)$

Lại có $\left\{\begin{array}{l}b=-1\\ b\text{'}=2\end{array}\right.$$\Rightarrow b\ne b\text{'}\left(-1\ne 2\right)$

$\Rightarrow d_1;d_3$ là hai đường thẳng song song

+ Xét vị trí tương đối của $d_1$: y = 3x – 1 và $d_4$: y = $\frac{-1}{3}$x  + 1.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}a=3\\ a\text{'}=\frac{-1}{3}\end{array}\right.$$\Rightarrow a\ne a\text{'}\left(3\ne \frac{-1}{3}\right)$

Lại có $a.a\text{'}=3.\frac{-1}{3}=-1$

$\Rightarrow d_1;d_4$là hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng $\Delta$: y = (2m – 2)x + 3

Tìm m để:

a) $∆$song song với $d_1$: y = 2x – 1

b) $∆$vuông góc với $d_2$: y = x – 1.

Lời giải:

a) $∆$// $d_1$$\iff \left\{\begin{array}{l}2m-2=2\\ 3\ne -1\end{array}\right.$

Vì $3\ne -1$ luôn đúng nên để $∆$// $d_1$ thì 2m – 2 =2

$\iff$2m = 4

 $\iff$m = 4:2

$\iff$m = 2

Vậy m = 2 thì $∆$// $d_1$

b) $∆$$\perp$$d_1$$\iff$$\left(2m-2\right).1=-1$

$\iff$2m – 2 = -1

$\iff$2m = -1 + 2

$\iff$2m = 1

$\iff$m = $\frac{1}{2}$

Vậy m = $\frac{1}{2}$thì $∆$vuông góc với $d_2$.

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước

Phương pháp giải: Vận dụng công thức về hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc.

Cho đường thẳng d: y = ax + b $\left(a\ne 0\right)$ và đường thẳng d’: y = a’x + b’$\left(a\text{'}\ne 0\right)$

+ Hai đường thẳng song song

d và d’ song song với nhau khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$

+ Hai đường thẳng vuông góc

$a.a\text{'}=-1$ thì d và d’ là hai đường thẳng vuông góc.

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d’: y = 3x +2 và đi qua A(1; 2).

Lời giải:

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (*) (a$\ne$0)

Vì d // d’ nên

$\Rightarrow$a = a’ = 3; b $\ne$2

Vì d đi qua A(1; 2) nên ta thay x = 1; y = 2; a = 3 vào  (*)  ta được

2 = 3.1 + b

$\iff$2 = 3 + b

$\iff$b = 2 – 3

$\iff$b = -1

$\iff$y = 3x – 1

Vậy đường thẳng d cần tìm là y = 3x – 1

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng $∆$ đi qua M(2; -3) và vuông góc với đường thẳng d: y = 2x - 5

Lời giải:

 Gọi đường thẳng $∆$ cần tìm là y  = ax + b (**) (a$\ne$0)

Vì $∆$$\perp$d nên ta có a.a’ = -1

$\iff$a.2 = -1

$\iff$a = $\frac{-1}{2}$

Vì $∆$ đi qua M(2; -3) nên ta thay x = 2; y = -3; a = $\frac{-1}{2}$vào (**) ta được

-3 = $\frac{-1}{2}$.2 + b

$\iff$ -1 + b = -3

$\iff$b = -2

Vậy đường thẳng $∆$ cần tìm là y = $\frac{-1}{2}$x – 2.

Ví dụ 3: Cho ba đường thẳng $d_1$: y = 2x + 3; $d_2$: y = x + 3; $d_3$: y = 3x – 1.

a) Viết phương trình đường thẳng song song với $d_1$và đi qua giao điểm của $d_2$và $d_3$.

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với $d_2$ và đi qua giao điểm của $d_1$và $d_3$.

Lời giải:

a) Tìm giao điểm của  $d_2$ và  $d_3$

Phương trình hoành độ giao điểm của $d_2$và $d_3$là

x + 3 = 3x – 1

$\iff$2x = 4

$\iff$x = 2 $\Rightarrow$y = 5

Vậy tọa độ giao điểm của $d_2$ và $d_3$ là A(2; 5)

Gọi đường thẳng cần tìm là ${∆}_1$: y = ax + b (a0)

Vì ${∆}_1$// $d_1$ nên a = a’ = 2; b$\ne$3

Vì ${∆}_1$ đi qua A(2; 5) thay x = 2; y = 5; a = 2 vào ${∆}_1$ ta được:

5 = 2.2 + b

$\iff$b = 5 – 4

$\iff$b = 1

Vậy đường thẳng ${∆}_1$: y = 2x + 1.

b) Tìm tọa độ giao điểm $d_1$và $d_3$

Phương trình hoành độ giao điểm của $d_1$ và  $d_3$

2x + 3 = 3x – 1

$\iff$3x – 2x = 3 + 1

$\iff$x = 4$\Rightarrow$y = 11

Vậy giao điểm của  $d_1$ và $d_3$ là B(4; 11)

Gọi ${∆}_2$: y = ax + b (a$\ne$0) là đường thẳng cần tìm

Vì ${∆}_2$$\perp$$d_2$$\Rightarrow$a.a’ = -1

$\iff$1.a = -1

$\iff$a = -1

Vì ${∆}_2$ đi qua B(4; 11) thay x = 4; y = 11 và a = -1 vào ${∆}_2$ ta được:

11 = -1.4 + b

$\iff$b = 11 + 4

$\iff$b = 15

Vậy đường thẳng ${∆}_2$ cần tìm là y = -x + 15.

Dạng 3: Tìm m để đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Sử dụng công thức liên quan đến hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng cắt nhau.

Bước 1: Gọi đường thẳng cần tìm là y = ax + b (a$\ne$0)

Bước 2: Cho a, b thỏa mãn điều kiện đề bài

Bước 3: Giải a, b để tìm m.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: y = (2m + 1) x + 3. Tìm m để d song song song với đường thẳng d’ : y = 3x – 5

Lời giải:

Vì d // d’$\Rightarrow$a = a’

$\iff$2m + 1 = 3

$\iff$2m = 3 – 1

$\iff$2m = 2

$\iff$m = 2:2

$\iff$m = 1

Lại có b = 3 và b’ = -5

$\Rightarrow$b$\ne$b’

Vậy m = 1 thì d và d’ song song.

Ví dụ 2: Tìm m để d: y = 3mx + m và d’: y = 5mx + 1 (m$\ne$0) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1

Lời giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và  d’

3mx + m = 5mx + 1

Vì d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1 nên thay x = 1 vào phương trình ta có:

3m.1 + m = 5m. 1 + 1

$\iff$4m = 5m + 1

$\iff$m = -1

Vậy m = -1 thì d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng $d_1$: $y=\left(m^2-2m\right)x+3$+ m song với đường thẳng $d_2$: y  = 3x + 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2.

Lời giải:

Vì d // d’ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{m}^2-2m=3\\ 3+m\ne 1\\ m^2-2m\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-2m-3=0\\ m\ne -2\\ m\left(m-2\right)\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(m-3\right)\left(m+1\right)=0\\ m\ne -2\\ m\ne 0\\ m\ne 2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m-3=0\\ m+1=0\end{array}\right.\\ m\ne -2\\ m\ne 0\\ m\ne 2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=3\text{ (tm)}\\ m=-1\left(tm\right)\end{array}\right.\\ m\ne 2\\ m\ne -2\\ m\ne 0\end{array}\right.$ $\iff \left[\begin{array}{l}m=3\\ m=-1\end{array}\right.$  (1)

Vì d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2 nên ta có x = -2; y = 0 thay vào d

0 = ($m^2-2m$).(-2) + 3 + m

$\iff -2m^2+4m+3+m=0$

$\iff -2m^2+5m+3=0$

$\iff -2m^2-m+6m+3=0$

$\iff -m\left(2m+1\right)+3\left(2m+1\right)=0$

$\iff \left(2m+1\right)\left(3-m\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}2m+1=0\\ 3-m=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}2m=-1\\ m=3\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}m=\frac{-1}{2}\\ m=3\end{array}\right.$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$m = 3 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1:  Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau

a) d: y = 3x + 5 và d’: y = 2x + 6

b) d: y = 2x + 1 và d’: y = 2x + 3

c) d: y = x + 5 và d’: y = -x - 3

d) d: y = 3x + 5 và y = 3x – 5.

Bài 2: Cho đường thẳng d: y = 3x +5 và d’: y = (m+2)x – 3 + m

a) Tìm m để d // d’

b) Tìm m để d cắt d’

c) Tìm m để d$\perp$d’

d) Tìm m để d$\equiv$d’

Bài 3: Cho đường thẳng d: y = 2x + 3; d’: y = 4x – 5

a) Tìm tọa độ giao điểm của d và d’

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua tọa độ giao điểm của d và d’ và song song với đường thẳng y = 3x + 1.

Bài 4: Cho ba đường thẳng $d_1$: y = 5x – 3; $d_2$: y = $\frac{-1}{2}$x + 6 và $d_3$: y = (m - 3)x +5

a) Tìm m để $d_1$;$d_2$;$d_3$ đồng quy

b) Tìm m để $d_1$//$d_3$

c) Tìm m để $d_3$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1.

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau

a) d đi qua A(1; -3) và vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1

b) d đi qua điểm B(1; -2) và song song với đường thẳng y = 2x – 3.

Bài 6: Cho các đường thẳng

$d_1$: y = (2m + 1) x – (2m + 3)

$d_2$: y = (m – 1) x + m

a) Tìm m để $d_1$$\equiv$$d_2$

b) Tìm m để $d_1$$\perp$$d_2$

c) Tìm m để $d_1$// $d_2$.

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(2; 4).

Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của  hai đường thẳng y = 3x – 2 và y = 2x + 1. Biết d song song với đường thẳng y = 4x – 3.

Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 và cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 4.

Bài 10: Cho đường thẳng:

$d_1$: y = 2mx – (m + 5)

$d_2$: y = (1 – 3n)x + n

a) Tìm điểm cố định mà $d_1$luôn đi qua.

b) Gọi I là điểm cố định $d_1$ luôn đi qua. Tìm m để $d_2$ đi qua I

c) Tìm m,n để $d_1\equiv d_2$.

Xem thêm các dạng Toán 9 hay, chọn lọc khác:

Bài tập về hàm số bậc nhất và cách giải

Hàm số bậc nhất và cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Các bài toán về hệ số góc của đường thẳng và cách giải

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến hay, chi tiết

Công thức vẽ đồ thị hàm số bậc nhất hay, chi tiết