Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Bài tập về hàm số bậc nhất (50 bài tập minh họa) hay, chi tiết nhất, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hỗn số, từ đó học tốt môn Toán 9.

Phương pháp giải Bài tập về hàm số bậc nhất (50 bài tập minh họa)

I. Lý thuyết

1. Khái niệm hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b, trong đó a, b là hai số đã cho và  $a\ne 0$.

2. Các tính chất của hàm số bậc nhất

- Hàm số bậc nhất xác định bởi mọi x $\in ℝ$.

- Hàm số bậc nhất đồng biến trên $ℝ$ khi a > 0.

- Hàm số bậc nhất nghịch biến trên $ℝ$ khi a < 0.

II. Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc nhất

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa của hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a$\ne$0).

Hàm số nào không có dạng trên thì không phải hàm số bậc nhất.

Ví dụ 1: Trong các hàm số sau đây đâu là hàm số bậc nhất, chỉ rõ các hệ số a, b trong trường hợp hàm số bậc nhất.

a) y = 3x + 1

b) $y={\left(x+1\right)}^2$

c) $y={\left(2x-3\right)}^2-4x^2$

d) $y=\frac{5x+1}{x-3}$

Lời giải:

a) Hàm số y = 3x + 1 là hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax + b với a = 3 và b = 1.

b) Hàm số $y={\left(x+1\right)}^2$= $x^2+2x+1$không là hàm số bậc nhất vì nó không có dạng y = ax + b.

c) Hàm số $y={\left(2x-3\right)}^2-4x^2$= $4x^2-12x+9-4x^2$= -12x + 9 là hàm số bậc nhất vì nó có dạng y = ax + b với a = -12 và b = 9.

d) Hàm số  $y=\frac{5x+1}{x-3}$không phải hàm số bậc nhất vì nó không có dạng y = ax + b.

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để hàm số sau là hàm số bậc nhất.

a) $y=\left(m^2-1\right)x+3$

b) $y=\sqrt{m-2}.x-5$

c) y = (m + 1)² + x -20

Lời giải:

a) Để làm số $y=\left(m^2-1\right)x+3$là hàm số bậc nhất thì $a\ne 0$

$\iff m^2-1\ne 0$

$\iff \left(m-1\right)\left(m+1\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m-1\ne 0\\ m+1\ne 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 1\\ m\ne -1\end{array}\right.$

Vậy để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất thì $m\ne \pm 1$.

b) Để hàm số $y=\sqrt{m-2}.x-5$ là hàm số bậc nhất thì $a\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{m-2}\ne 0\\ m-2\ge 0\end{array}\right.$

$\Rightarrow m-2>0$

$\iff m>2$

Vậy để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất thì $m>2$.

c) Để hàm số  y = (m + 1)² + x - 20 là hàm số bậc nhất thì

m + 1 = 0

$\iff$m = -1

Vậy m = – 1 thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

Dạng 2: Tính giá trị hàm số

Phương pháp giải: Giá trị hàm số y = f(x) tại điểm $x_0$ là $y_0=f\left(x_0\right)$

Do đó muốn tính giá trị của hàm số y = f(x) tại x = x₀ ta thay x = x₀ vào công thức của hàm số rồi tính giá trị f(x₀).

Ví dụ: Tính giá trị hàm số

a) y = f(x) = 3x + 5 tại x = 1

b) y = f(x) = -4x + 1 tại x = 2

c) y = f(x) = 2x + 6 tại x = 0

Lời giải:

a) y =  f(x) = 3x + 5

Thay x = 1 vào hàm số đã cho ta được:

y = f(1) = 3.1 +5 = 8

Vậy tại x = 1 thì giá trị của hàm số là 8

b) y = f(x) = -4x + 1

Thay x = 2 vào hàm số đã cho ta được:

y = f(2) = -4.2 + 1 = -8 + 1 = -7

Vậy tại x = 2 thì giá trị của hàm số là -7

c) y = f(x) = 2x + 6

Thay x = 0 vào hàm số đã cho ta được:

y = f(0) = 2.0 + 6 =6

Vậy tại x = 0 thì giá trị của hàm số là 6

Dạng 3: Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số bậc nhất

Phương pháp giải: Xét hàm số y = ax + b với a, b là hằng số, a $\ne$0

- Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên $ℝ$.

- Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$.

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm số sau

a) y = 3x + $\frac{1}{2}$

b) y = -2x + 1

c) y = $\frac{1}{2}$x + 5

Lời giải:

a) Với y = 3x + $\frac{1}{2}$ ta có a = 3 > 0

$\Rightarrow$Hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ$.

b) Với y = -2x + 1 ta có a = -2 < 0

$\Rightarrow$Hàm số đã cho nghịch biến trên $ℝ$.

c) Với y = $\frac{1}{2}$x + 5 ta có a = $\frac{1}{2}$> 0.

$\Rightarrow$Hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ$.

Ví dụ 2: Tìm m để các hàm số sau

a) y = (m – 1) x +3 đồng biến trên $ℝ$.

b) y = ($m^2-5m+6$)x  + 3m nghịch biến trên $ℝ$.

Lời giải:

a) Để hàm số y = (m – 1) x +3 đồng biến trên $ℝ$ thì a > 0

$\Rightarrow$m – 1 > 0

$\Rightarrow$m > 1

Vậy để hàm số đồng biến trên $ℝ$ thì m > 1.

b) Để hàm số y = ($m^2-5m+6$)x  + 3m nghịch biến trên $ℝ$thì a < 0

$\Rightarrow m^2-5m+6$ < 0

$\iff m\left(m-2\right)-3\left(m-2\right)<0$$\iff \left(m-2\right)\left(m-3\right)<0$

$\iff \left(m-2\right)\left(m-3\right)<0$

TH1: $\left\{\begin{array}{l}m-2>0\\ m-3<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m>2\\ m<3\end{array}\right.\Rightarrow 2<m<3$

TH2: $\left\{\begin{array}{l}m-2<0\\ m-3>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m<2\\ m>3\end{array}\right.$ (vô lí)

Vậy 2 < m < 3 thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Các hàm số sau đây có phải hàm số bậc nhất hay không? Nếu phải hãy chỉ ra hệ số a, b.

a) y = 3x + 5

b) y = $x\left(x-1\right)-x^2$

c) y = $x^2-{\left(2x-1\right)}^2+3x$

d) $y=\frac{x^2+2x-5}{3}-\frac{x^2}{3}$

Bài 2: Tìm m để hàm số sau là hàm số bậc nhất

a) y = (m+4)x – 3

b) $y=\left(m^2-7m+8\right)x^2+3x-2$

c) $y=\left(\left|m+1\right|-3\right)x+\frac{3}{4}$

d) $y=\frac{\sqrt{m}+1}{\sqrt{m}-3}x+\frac{1}{2}$.

Bài 3: Tính giá trj hàm số

a) y = 3x tại x = $\frac{1}{2}$

b) y = $\frac{1}{2}$x + $\frac{1}{2}$ tại x = 5

c) y = $\frac{-5}{3}$x - $\frac{-4}{5}$ tại x = 3

d) $y=(m+1)x+3$ tại x = 2.

Bài 4: Tìm m để các giá trị hàm số sau thỏa mãn

a) Giá trị hàm số y = (m+1)x - 5 tại x = 2 là 7

b) Giá trị hàm số $y=(m+1)x+3$ tại x = $\frac{1}{2}$ là $\frac{-5}{2}$

Bài 5: Tìm m để hàm số $y=(m^2+2m)x-\frac{3}{2}$ có f(1) = f(2).

Bài 6: Chứng minh hàm số sau luôn là hàm số bậc nhất

a) $y=\left(m^2+2m+5\right)x-\frac{6}{7}$

b) $y=\sqrt{m^2+2}x-\frac{4}{3}$

c) $y=\left(\left|m+3\right|+1\right)x+3$.

Bài 7: Các hàm số sau đồng biến hay nghịch biến

a) y = -2x + 1

b) y = $\frac{-5}{2}$x - 3

c) y = 4x + 7.

Bài 8: Tìm m để hàm số sau thỏa mãn

a) y = (m +1) x - 5 luôn đồng biến trên $ℝ$.

b) $y=\left(\left|m+3\right|-1\right)x-3$ luôn nghịch biến trên $ℝ$.

c) $y=\left(-m^2+3m\right)x-3$ luôn đồng biến trên $ℝ$.

Bài 9: Chứng minh các hàm số sau:

a) $y=\left(k^2+2k+3\right)x+k-5$ luôn là hàm số bậc nhất và luôn đồng biến trên $ℝ$.

b) $y=\left(-m^2+m-2\right)x-\frac{6}{7}$luôn là hàm số bậc nhất và luôn nghịch biến trên $ℝ$.

Bài 10: Cho hàm số $y=\left(k^2+2k+5\right)x+k-5$. So sánh f(1) và $f\left(\sqrt{2}-1\right)$.

Xem thêm các dạng Toán 9 hay, chọn lọc khác:

Bài tập về hàm số bậc nhất và cách giải

Hàm số bậc nhất và cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau và cách giải bài tập

Các bài toán về hệ số góc của đường thẳng và cách giải

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến hay, chi tiết