Phương pháp giải Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (50 bài tập minh họa)

Ngọc Nguyễn Ngày: 15-07-2023 Lớp 9

297

Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Phương pháp giải Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (50 bài tập minh họa) hay, chi tiết nhất, từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh nắm vững kiến thức về hỗn số, từ đó học tốt môn Toán 9.

Phương pháp giải Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (50 bài tập minh họa)

I. Lý thuyết

1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

$\{\begin{cases} a x + b y = c (1) \\ a' x + b' y = c' (2) \end{cases}$

Trong đó a, b, a’, b’ là các số thực cho trước $a^{2} + b^{2} \neq 0$ và $a'^{2} + b'^{2} \neq 0$ .

- Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung $(x_{0}; y_{0})$ thì $(x_{0}; y_{0})$ được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả tập nghiệm của nó.

- Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp điểm chung của hai đường thẳng ax + by = c và a’x + b’y = c’

Trường hợp 1: $d \cap d' = A (x_{0}; y_{0}) \Leftrightarrow$ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x_{0}; y_{0})$ ;

Trường hợp 2: d // d’ $\Leftrightarrow$ Hệ phương trình vô nghiệm

Trường hợp 3: $d \equiv d' \Leftrightarrow$ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Chú ý: Với trường hợp $a'; b'; c' \neq 0$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$ ;

Hệ phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$ ;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$ .

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Phương pháp giải: Để giải một hệ phương trình, ta sẽ biến đổi hệ đã cho thành hệ phương trình tương đương đơn giản hơn.

Để giải phương trình bằng phương pháp thế ta sử dụng quy tắc thế sau:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ và giữ nguyên phương trình thứ nhất, ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau

a) $\{\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ x + y = 6 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} (\sqrt{2} - 1) x - y = \sqrt{2} \\ x + (\sqrt{2} + 1) y = 1 \end{cases}$

Lời giải:

a) $\{\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ x + y = 6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 x - 3 \\ x + (2 x - 3) = 6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 x - 3 \\ x + 2 x - 3 = 6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 x - 3 \\ 3 x - 3 = 6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 2 x - 3 \\ 3 x = 9 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 9 : 3 \\ y = 2 x - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 2.3 - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 3 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (3; 3)

b) $\{\begin{cases} (\sqrt{2} - 1) x - y = \sqrt{2} \\ x + (\sqrt{2} + 1) y = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = (\sqrt{2} - 1) x - \sqrt{2} \\ x + (\sqrt{2} + 1) ((\sqrt{2} - 1) x - \sqrt{2}) = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = (\sqrt{2} - 1) x - \sqrt{2} \\ x + (\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) x - \sqrt{2} (\sqrt{2} + 1) = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = (\sqrt{2} - 1) x - \sqrt{2} \\ x + x - 2 - \sqrt{2} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = (\sqrt{2} - 1) x - \sqrt{2} \\ 2 x = 1 + 2 + \sqrt{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} y = (\sqrt{2} - 1) x - \sqrt{2} \\ 2 x = 3 + \sqrt{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3 + \sqrt{2}}{2} \\ y = (\sqrt{2} - 1) . (\frac{3 + \sqrt{2}}{2}) - \sqrt{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3 + \sqrt{2}}{2} \\ y = \frac{- 1}{2} \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là $(\frac{3 + \sqrt{2}}{2}; \frac{- 1}{2})$ .

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau bằng cách quy về phương pháp thế:

a) $\{\begin{cases} 3 (y - 5) + 2 (x - 3) = 0 \\ 7 (x - 4) + 3 (x + y - 1) - 14 = 0 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} (x + 1) (y - 1) = (x - 2) (y + 1) - 1 \\ 2 (x - 2) y - x = 2 x y - 3 \end{cases}$

Lời giải:

$\{\begin{cases} 3 (y - 5) + 2 (x - 3) = 0 \\ 7 (x - 4) + 3 (x + y - 1) - 14 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 y - 15 + 2 x - 6 = 0 \\ 7 x - 28 + 3 x + 3 y - 3 - 14 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 3 y = 15 + 6 \\ 10 x + 3 y = 28 + 14 + 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 3 y = 21 \\ 10 x + 3 y = 45 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 y = 21 - 2 x \\ 10 x + (21 - 2 x) = 45 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 y = 21 - 2 x \\ 10 x + 21 - 2 x = 45 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 x = 45 - 21 \\ 3 y = 21 - 2 x \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 x = 24 \\ 3 y = 21 - 2 x \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 24 : 8 \\ 3 y = 21 - 2 x \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ 3 y = 21 - 2.3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ 3 y = 15 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 5 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (3; 5)

b) $\{\begin{cases} (x + 1) (y - 1) = (x - 2) (y + 1) - 1 \\ 2 (x - 2) y - x = 2 x y - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x y - x + y - 1 = x y + x - 2 y - 2 - 1 \\ 2 x y - 4 y - x = 2 x y - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x y - x + y - x y - x + 2 y = 1 - 2 - 1 \\ 2 x y - 4 y - x - 2 x y = - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 x + 3 y = - 2 \\ - x - 4 y = - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 4 y + 3 \\ - 2 (- 4 y + 3) + 3 y = - 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 4 y + 3 \\ 8 y - 6 + 3 y = - 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 4 y + 3 \\ 11 y = - 2 + 6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 4 y + 3 \\ 11 y = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 4. \frac{4}{11} + 3 \\ y = \frac{4}{11} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{17}{11} \\ y = \frac{4}{11} \end{cases}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là $(\frac{17}{11}; \frac{4}{11})$ .

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Phương pháp giải: Để giải phương trình bằng phương pháp cộng đại số ta sử dụng quy tắc cộng đại số gồm hai bước sau:

Bước 1: Cộng hay trừ hai vế của hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình mới.

Bước 2: Dùng phương trình mới đấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ và giữ nguyên một phương trình kia ta được một hệ phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho.

Bước 3: Giải hệ phương trình mới.

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{cases} 2 x - 3 y = 5 \\ 2 x + 4 y = 7 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} x + \sqrt{7} y = - 2 \sqrt{3} \\ - 2 x - 2 \sqrt{7} y = \sqrt{11} \end{cases}$

Lời giải:

a) $\{\begin{cases} 2 x - 3 y = 5 (1) \\ 2 x + 4 y = 7 (2) \end{cases}$

Lấy (1) – (2) ta được:

$\{\begin{cases} 2 x - 3 y = 5 \\ (2 x - 3 y) - (2 x + 4 y) = 5 - 7 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 y = 5 \\ 2 x - 3 y - 2 x - 4 y = - 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 y = 5 \\ - 7 y = - 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3 y = 5 \\ y = \frac{2}{7} \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} 2 x - 3. \frac{2}{7} = 5 \\ y = \frac{2}{7} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x = 5 + \frac{6}{7} \\ y = \frac{2}{7} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x = \frac{41}{7} \\ y = \frac{2}{7} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{41}{14} \\ y = \frac{2}{7} \end{cases}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là $(\frac{41}{14}; \frac{2}{7})$ .

b) $\{\begin{cases} x + \sqrt{7} y = - 2 \sqrt{3} (3) \\ - 2 x - 2 \sqrt{7} y = \sqrt{11} (4) \end{cases}$

Nhận cả hai vế của phương trình (1) với 2 ta được:

$\{\begin{cases} (2 x + 2 \sqrt{7} y) + (- 2 x - 2 \sqrt{7} y) = - 4 \sqrt{3} + \sqrt{11} \\ - 2 x - 2 \sqrt{7} y = \sqrt{11} \end{cases}$

Lây (4) + (5) ta được

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 2 \sqrt{7} y - 2 x - 2 \sqrt{7} y = - 4 \sqrt{3} + \sqrt{11} \\ - 2 x - 2 \sqrt{7} y = \sqrt{11} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 = - 4 \sqrt{3} + \sqrt{11} \\ - 2 x - 2 \sqrt{7} y = \sqrt{11} \end{cases}$

Vì $0 = - 4 \sqrt{3} + \sqrt{11}$ (vô lí) nên hệ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

$\{\begin{cases} x + y = \frac{4 x - 3}{5} \\ x + 3 y = \frac{5 - 9 y}{14} \end{cases}$

Lời giải:

$\{\begin{cases} x + y = \frac{4 x - 3}{5} \\ x + 3 y = \frac{5 - 9 y}{14} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x + 5 y = 4 x - 3 \\ 14 x + 42 y = 15 - 9 y \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 x + 5 y - 4 x = - 3 \\ 14 x + 42 y + 9 y = 15 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 5 y = - 3 (1) \\ 14 x + 51 y = 15 (2) \end{cases}$

Nhân hai vế của phương trình (1) với 14 ta được:

$\{\begin{cases} 14 x + 70 y = - 42 (3) \\ 14 x + 51 y = 15 (2) \end{cases}$

Lấy (3) – (2) ta được:

$\{\begin{cases} 14 x + 70 y = - 42 \\ (14 x + 70 y) - (14 x + 51 y) = - 42 - 15 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 14 x + 70 y = - 42 \\ 14 x + 70 y - 14 x - 51 y = - 57 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 14 x + 70 y = - 42 \\ 19 y = - 57 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 14 x + 70 y = - 42 \\ y = - 57 : 17 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 14 x + 70 y = - 42 \\ y = - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 14 x + 70. (- 3) = - 42 \\ y = - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 14 x = - 42 + 210 \\ y = - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 14 x = 168 \\ y = - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 168 : 14 \\ y = - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 12 \\ y = - 3 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (12; -3).

Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp giải: Ta thực hiện theo ba bước sau

Bước 1: Lấy điều kiện của biến (nếu có)

Bước 2: Chọn ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dạng cơ bản.

Bước 3: Giải hệ phương trình bậc nhất vừa tìm được bằng các phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{cases} \frac{3}{x - 1} + \frac{1}{y + 2} = 4 \\ \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{y + 2} = 1 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} |x - 2| + |y - 1| = 22 \\ - 3 |x - 2| + 4 |y - 1| = 18 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} 3 \sqrt{x - 1} + 2 \sqrt{y} = 13 \\ 2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{y} = 4 \end{cases}$

Lời giải:

a) $\{\begin{cases} \frac{3}{x - 1} + \frac{1}{y + 2} = 4 \\ \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{y + 2} = 1 \end{cases}$ với $x \neq 1; y \neq - 2$

Đặt: $\frac{1}{x - 1} = a; \frac{1}{y + 2} = b$ khi đó hệ phương trình trở thành

$\{\begin{cases} 3 a + b = 4 (1) \\ 2 a - b = 1 (2) \end{cases}$

Lấy (1) + (2) ta được:

$\{\begin{cases} (3 a + b) + (2 a - b) = 4 + 1 \\ 2 a - b = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a + b + 2 a - b = 5 \\ 2 a - b = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 a = 5 \\ 2 a - b = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 5 : 5 \\ 2 a - b = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ 2.1 - b = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a=1 \\ 2 - b = 1 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 - 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{x - 1} = 1 \\ \frac{1}{y + 2} = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 1 \\ y + 2 = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 1 \end{cases}$ (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (1; -1).

b) $\{\begin{cases} |x - 2| + |y - 1| = 22 \\ - 3 |x - 2| + 4 |y - 1| = 18 \end{cases}$

Đặt $\{\begin{cases} |x - 2| = a (a \geq 0) \\ |y - 1| = b (b \geq 0) \end{cases}$

Khi đó hệ phương trình trở thành $\{\begin{cases} a + b = 22 (1) \\ - 3 a + 4 b = 18 (2) \end{cases}$

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 3 ta được hệ mới:

$\{\begin{cases} 3 a + 3 b = 66 (3) \\ - 3 a + 4 b = 18 (4) \end{cases}$

Lấy (3) + (4) ta được:

$\{\begin{cases} 3 a + 3 b = 66 \\ 7 b = 84 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a + 3 b = 66 \\ b = 84 : 7 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a + 3 b = 66 \\ b = 12 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a + 3.12 = 66 \\ b = 12 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a = 66 - 36 \\ b = 12 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a = 30 \\ b = 12 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 30 : 3 \\ b = 12 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 10 \\ b = 12 \end{cases}$

+ Với a = 10 $\Rightarrow |x - 2| = 10$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 2 = 10 \\ x - 2 = - 10 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 10 + 2 \\ x = - 10 + 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 12 \\ x = - 8 \end{array}$

+ Với b = 12 $\Rightarrow |y - 1| = 12$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} y - 1 = 12 \\ y - 1 = - 12 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 12 + 1 \\ y = - 12 + 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 13 \\ x = - 11 \end{array}$

Vậy ta tìm được 4 cặp nghiệm (x; y) là (12; 13); (-8; 13); (12; -11); (-8; -11),

c) $\{\begin{cases} 3 \sqrt{x - 1} + 2 \sqrt{y} = 13 \\ 2 \sqrt{x - 1} - \sqrt{y} = 4 \end{cases}$

Điều kiện: $x \geq 1; y \geq 0$

Đặt $\{\begin{cases} \sqrt{x - 1} = a (a \geq 0) \\ \sqrt{y} = b (b \geq 0) \end{cases}$

Khi đó hệ phương trình trở thành $\{\begin{cases} 3 a + 2 b = 13 (1) \\ 2 a - b = 4 (2) \end{cases}$

Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 khi đó ta có hệ mới

$\{\begin{cases} 3 a + 2 b = 13 (1) \\ 4 a - 2 b = 8 (3) \end{cases}$

Lấy (1) + (3) ta được hệ

$\{\begin{cases} 3 a + 2 b + 4 a - 2 b = 13 + 8 \\ 3 a + 2 b = 13 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 a = 21 \\ 3 a + 2 b = 13 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 21 : 7 \\ 3 a + 2 b = 13 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ 3.3 + 2 b = 13 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ 2 b = 13 - 9 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ 2 b = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 2 \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \sqrt{x - 1} = 3 \\ \sqrt{y} = 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 1 = 9 \\ y = 4 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 10 \\ y = 4 \end{cases}$ .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) là (10; 4).

Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp

Phương pháp giải:

Cho hệ phương trình đẳng cấp dạng $\{\begin{cases} f (x; y) = a_{1} (1) \\ g (x; y) = a_{2} (2) \end{cases}$

Để giải hệ phương trình đẳng cấp ta thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Nhân phương trình (1) với $a_{2}$ và phương trình (2) với $a_{1}$ rồi trừ phương trình để làm mất hệ số tự do.

Bước 2: Phương trình chỉ còn hai ẩn x và y ta xét hai trường hợp.

Trường hợp 1: Nếu x = 0 hoặc y = 0. Ta thay vào phương trình ban đầu của hệ để giải ẩn còn lại.

Trường hợp 2: Nếu $x \neq 0$ hoặc $y \neq 0$ ta chia cả hai vế phương trình cho bậc cao nhất của x hoặc y.

Bước 3: Giải phương trình với ẩn $\frac{x}{y}$ hoặc $\frac{y}{x}$ sau đó tìm nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:

$\{\begin{cases} 2 x^{2} + x y - 3 y^{2} = 8 \\ x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} = 4 \end{cases}$

Lời giải:

$\{\begin{cases} 2 x^{2} + x y - 3 y^{2} = 8 (1) \\ x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} = 4 (2) \end{cases}$

Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 ta được hệ mới:

$\{\begin{cases} 2 x^{2} + x y - 3 y^{2} = 8 (1) \\ 2 x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} = 8 (3) \end{cases}$

Trừ phương trình (1) cho phương trình (3) ta được:

$(2 x^{2} + x y - 3 y^{2}) - (2 x^{2} - 4 x y + 4 y^{2}) = 8 - 8$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} + x y - 3 y^{2} - 2 x^{2} + 4 x y - 4 y^{2} = 0$

$\Leftrightarrow 5 x y - 7 y^{2} = 0$

$\Leftrightarrow y (5 x - 7 y) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 0 \\ 5 x - 7 y = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 0 \\ 5 x = 7 y \end{array}$

+ Với y = 0 $\Rightarrow 2 x^{2} + x .0 - {3.0}^{2} = 8$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} = 8$

$\Leftrightarrow x^{2} = 4$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 2 \end{array}$

+ Với 5x = 7y $\Rightarrow x = \frac{7 y}{5}$ thay vào phương trình (1) ta có:

$2 {(\frac{7 y}{5})}^{2} + y . \frac{7 y}{5} - 3 y^{2} = 8$

$\Leftrightarrow 2. \frac{49}{25} y^{2} + \frac{7}{5} y^{2} - 3 y^{2} = 8$

$\Leftrightarrow y^{2} (\frac{98}{25} + \frac{7}{5} - 3) = 8$

$\Leftrightarrow y^{2} . \frac{58}{25} = 8$

$\Leftrightarrow y^{2} = 8 : \frac{58}{25}$

$\Leftrightarrow y^{2} = \frac{100}{29}$

$\Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{100}{29}} = \pm \frac{10}{\sqrt{29}}$ $= \pm \frac{10 \sqrt{29}}{29}$

Với $x = \frac{7 y}{5}$ $\Rightarrow x = \frac{\pm 14 \sqrt{29}}{29}$

Vậy ta tìm được 4 cặp nghiệm (x; y) là $(2; 0); (- 2; 0); (\frac{14 \sqrt{29}}{29}; \frac{10 \sqrt{29}}{29}); (\frac{- 14 \sqrt{29}}{29}; \frac{- 10 \sqrt{29}}{29})$ .

Dạng 5: Hệ phương trình đối xứng

Phương pháp giải: Hệ phương trình đối xứng là khi ta thay x bởi y và y bởi x thì hệ phương trình đã cho không đổi.

Để giải hệ phương trình này ta làm theo ba bước.

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

Bước 2: Đặt S = x + y; P = xy với điều kiện của S và P là

Bước 3: Thay x; y bởi S và P vào hệ phương trình. Tìm S, P rồi tìm x; y.

Ví dụ: Giải hệ phương trình

$\{\begin{cases} x + y + x y = 11 \\ x^{2} y + y^{2} x = 30 \end{cases}$

Lời giải:

$\{\begin{cases} x + y + x y = 11 \\ x^{2} y + y^{2} x = 30 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y + x y = 11 \\ x y (x + y) = 30 \end{cases}$

Đặt $\{\begin{cases} S = x + y \\ P = x y \end{cases} (S^{2} \geq 4 P)$

Khi đó hệ phương trình trở thành $\{\begin{cases} S + P = 11 \\ S . P = 30 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 11 - P \\ (11 - P) P = 30 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 11 - P \\ 11 P - P^{2} = 30 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 11 - P \\ P^{2} - 11 P + 30 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 11 - P \\ (P - 11) (P - 5) = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 11 - P \\ [\begin{array}{l} P = 11 \\ P = 5 \end{array} \end{cases}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} S = 5 \\ P = 6 \end{cases} (t m) \\ \{\begin{cases} S = 6 \\ P = 5 \end{cases} (t m) \end{array}$

Với $\{\begin{cases} S = 5 \\ P = 6 \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} x + y = 6 \\ x y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 6 - y \\ (6 - y) y = 5 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 6 - y \\ - y^{2} + 6 y - 5 = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 5 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 5 \\ y = 1 \end{cases} \end{array}$

Với $\{\begin{cases} S = 5 \\ P = 6 \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} x + y = 5 \\ x y = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 - y \\ (5 - y) y = 6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 - y \\ - y^{2} + 5 y - 6 = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases} \end{array}$

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Bằng phương pháp thế hãy giải các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{cases} x - y = 3 \\ 3 x - 4 y = 2 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \\ 5 x - 8 y = 3 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} 2 (x + y) + 3 (x - y) = 4 \\ (x + y) + 2 (x - y) = 5 \end{cases}$

d) $\{\begin{cases} (x + 1) (y - 1) = x y - 1 \\ (x - 3) (y + 3) = x y - 3 \end{cases}$

Bài 2: Bằng phương pháp cộng đại số giải các hệ phương trình sau.

a) $\{\begin{cases} (x + 1) (y - 1) = x y - 1 \\ (x - 3) (y + 3) = x y - 3 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} 5 (x + 2 y) - 3 (x - y) = 99 \\ x - 3 y = 7 x - 4 y - 17 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} (x + y) (x - 1) = (x - y) (x + 1) + 2 (x y + 1) \\ (y - x) (y + 1) = (y + x) (y - 2) - 2 x y \end{cases}$

d) $\{\begin{cases} \frac{x + y}{2} = \frac{x - y}{4} \\ \frac{x}{3} = \frac{y}{5} + 1 \end{cases}$

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = - 1 \\ \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 7 \end{cases}$

b) $\{\begin{cases} |2 x + 1| + 4 y = 18 \\ 3 |2 x + 1| + y = 10 \end{cases}$

c) $\{\begin{cases} \frac{x}{x + 3} + \frac{1}{y + 4} = \frac{1}{12} \\ \frac{8 x}{x + 3} + \frac{15}{y + 4} = 1 \end{cases}$

d) $\{\begin{cases} \frac{7}{\sqrt{x} - 7} - \frac{4}{\sqrt{y} + 6} = \frac{5}{3} \\ \frac{5}{\sqrt{x} - 7} + \frac{3}{\sqrt{y} + 6} = \frac{13}{6} \end{cases}$