+) Diện tích toàn phần của hình trụ: $S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2.$

+) Thể tích hình trụ là: $V=\pi r^{2}h.$ 

Lời giải:

* Ta có: Thể tích phần cần tính là tổng thể tích của hai hình trụ có đường kính là $11cm$, chiều cao là $2cm$ và hình trụ có đường kính đáy là $6cm$, chiều cao là $7cm$:

${\displaystyle V_1=\pi R^2{h}_1=\pi {\left(\frac{11}{2}\right)}^2.2=60,5\pi \left(c{m}^3\right)}$  

${\displaystyle V_2=\pi R^2{h}_2=\pi {\left(\frac{6}{2}\right)}^2.7=63\pi \left(c{m}^3\right)}$ 

Vậy thể tích của chi tiết máy cần tính là:

$V=V_1+V_2=60,5\pi +63\pi =123,5\pi (c{m}^3)\approx 387,79c{m}^3$

* Tương tự, theo đề bài diện tích bề mặt của chi tiết máy bằng tổng diện tích xung quanh của hai hình trụ và diện tích 2 hình tròn đáy của hình trụ nằm trên = diện tích toàn phần của hình trụ trên + diện tích xung quanh của hình trụ dưới

Diện tích toàn phần của hình trụ có đường kính đáy $11cm$, chiều cao là $2cm$ và là: 

$S_{tp(1)}=2\pi R_1{h}_1+2\pi {R_1}^2$

${\displaystyle =2\pi \frac{11}{2}.2+2\pi .5,5^2=82,5\pi \left(c{m}^2\right)}$

Diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính đáy là $6cm$ và chiều cao là $7cm$ là:

${\displaystyle S_{xq(2)}=2\pi R_2{h}_2=2\pi \frac{6}{2}.7=42\pi \left(c{m}^2\right)}$ 

Vậy diện tích bề mặt của chi tiết máy là:

$S=S_{tp(1)}+S_{xq(2)}=82,5\pi +42\pi =124,5\pi (c{m}^2)\approx 390,93c{m}^2$

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.

Phương pháp giải:

+) Quay hình chữ nhật quanh một cạnh cố định của nó ta được một hình trụ.

+) Chu vi hình chữ nhật có kích thước $a,b$ là: $C=2(a+b).$

+) Diện tích hình chữ nhật có kích thước $a,b$ là: $S=ab.$

+) Diện tích xung quanh của hình trụ: $S_{xq}=2\pi rh.$

+) Thể tích hình trụ là: $V=\pi r^{2}h.$ 

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là: $AB.AD=2a^2$

Chu vi hình chữ nhật  là: $2(AB+CD)=6a\Rightarrow AB+CD=3a$

Độ dài AB, CD có tổng là 3a, tích là $2.a^2$ nên độ dài $AB$ và $CD$ là nghiệm của phương trình:

$x^2-3ax+2a^2=0$

$\begin{array}{l}{x}^2-ax-2ax+2a^2=0\\ \iff x\left(x-a\right)-2a\left(x-a\right)=0\\ \iff \left(x-a\right)\left(x-2a\right)=0\\ \iff [\begin{array}{l}x=a\\ x=2a\end{array}\end{array}$

Vì $AB>AD$ nên ta chọn $AB=2a;AD=a$

Khi quay hình chữ nhật quanh $AB$ ta được hình trụ có $h=AB=2a$ và $r=AD=a.$

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là:

$S_{xq}=2\pi .AD.AB=2\pi .a.2a=4\pi a^2$

Thể tích hình trụ là:

$V=\pi .A{D}^2.AB=\pi .a^2.2a=2\pi a^3$

Phương pháp giải:

+) Diện tích xung quanh của hình nón: $S_{xq}=\pi rl.$

+) Diện tích toàn phần của hình nón: $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2.$ 

Lời giải:

- Với hình a: Hình nón có bán kính đáy r = 2,5m, đường sinh l = 5,6m

$S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}=\pi rl+\pi r^2$

$=\pi .2,5.5,6+\pi .2,5^2\approx 63,59(m^2)$

- Với hình b: Hình nón có bán kính đáy r = 3,6m; đường sinh l = 4,8m

$S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}=\pi .3,6.4,8+\pi .3,6^2$

$\approx 94,95(m^2)$

Qua $A$ và $B$ vẽ theo thứ tự các tia $Ax$ và $By$ cùng vuông góc với $AB$ và cùng phía với $AB$. Qua $O$ vẽ hai tia vuông gaóc với nhau và cắt $Ax$ ở $C$, $By$ ở $D$ (xem hình 116).

a) Chứng minh $AOC$ và $BDO$ là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích $AC.BD$ không đổi.

b) Tính diện tích hình thang $ABDC$ khi $\widehat{COA}={60}^0$ 

c) Với $\widehat{COA}={60}^0$ cho hình vẽ quay xung quanh $AB$. Hãy tính tỉ số tích các hình do các tam giác $AOC$ và $BOD$ tạo thành

Phương pháp giải:

a) Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

b) Công thức tính diện tích hình thang có đáy lớn là $a,$ đáy nhỏ là $b$ và chiều cao $h$ là: $S={\displaystyle \frac{\left(a+b\right)h}{2}}.$ 

c) Thể tích hình nón: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h.$

Lời giải:

a) Xét hai tam giác vuông $AOC$ và $BDO$ ta có: $\hat{A}=\hat{B}={90}^0$ 

 $\widehat{AOC}=\widehat{B\mathrm{D}O}$ (cùng phụ với $\widehat{BOD}$).

Vậy $∆AOC$ đồng dạng $∆BDO(g-g).$ 

${\displaystyle \Rightarrow \frac{AC}{AO}=\frac{BO}{B\mathrm{D}}}$ (2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) ${\displaystyle \Rightarrow \frac{AC}{a}=\frac{b}{B\mathrm{D}}}$ (1)

Vậy $AC.BD=a.b$ không đổi.

b) Khi $\widehat{COA}={60}^{\circ }$ , xét tam giác vuông $ACO$ ta có $\tan \widehat{AOC}={\displaystyle \frac{AC}{OA}}\Rightarrow \tan {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{AC}{a}}\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$

mà $AC.BD=ab$ (câu a) nên $a\sqrt{3}.BD=ab\Rightarrow BD={\displaystyle \frac{b\sqrt{3}}{3}}$

Ta có công thức tính diện tích hình thang $ABCD$ là: 

$\begin{array}{rl}& S=\frac{AC+B\mathrm{D}}{2}.AB={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}+\frac{b\sqrt{3}}{3}}{2}.\left(a+b\right)}\\ & =\frac{\sqrt{3}}{6}\left(3{\mathrm{a}}^2+4\mathrm{a}b+b^2\right)\left(c{m}^2\right)\end{array}$

c) Theo đề bài ta có:

Tam giác $AOC$ khi quay quanh cạnh $AB$ tạo thành hình nón có chiều cao $OA=a$ và bán kính đáy $AC=a\sqrt{3}$  nên thể tích hình nón là $V_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .OA.A{C}^2={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .a.{\left(a\sqrt{3}\right)}^2=\pi a^3\left(c{m}^3\right)$

Tam giác $BOD$ khi quay quanh cạnh $AB$ tạo thành hình nón có chiều cao $OB=b$ và bán kính đáy $BD={\displaystyle \frac{b\sqrt{3}}{3}}$  nên thể tích hình nón là $V_2={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .OB.B{D}^2={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .b.{\left({\displaystyle \frac{b\sqrt{3}}{3}}\right)}^2={\displaystyle \frac{\pi b^3}{9}}\left(c{m}^3\right)$

Do đó ${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}={\displaystyle \frac{\pi a^3}{{\displaystyle \frac{\pi b^3}{9}}}}={\displaystyle \frac{9a^3}{b^3}}$

Phương pháp giải:

+) Thể tích hình trụ: $V=\pi r^{2}h.$

+) Thể tích hình nón: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h.$ 

+) Thể tích hình nón cụt: $V_{hìnhnóncụt}=V_{hìnhnónlớn}-V_{hìnhnónnhỏ}.$

Lời giải:

- Hình a:

Thể tích hình trụ có đường kính đáy $14cm$, đường cao $5,8cm$

$V_1=\pi .r^{2}h=\pi .7^2.5,8=284,2\pi (c{m}^3)$

Thể tích hình nón có đường kính đáy $14cm$ và đường cao $8,1cm$.

${\displaystyle V_2=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.7}^2.8,1=132,3\pi \left(c{m}^3\right)}$ 

Vậy thể tích hình cần tính là:

$V=V_1+V_2=284,2\pi +132,3\pi =416,5\pi (c{m}^3)$

- Hình b:

Thể tích hình nón lớn có bán kính đáy là $7,6cm$, đường cao $8,2+8,2=16,4cm$ là: ${\displaystyle V_1=\frac{1}{3}\pi r^2{h}_1=\frac{1}{3}\pi {\left(7,6\right)}^2.16,4=991,47(c{m}^3)}$ 

Thể tích hình nón nhỏ có bán kính đáy là $3,8cm$, đường cao $8,2cm$ là: ${\displaystyle V_2=\frac{1}{3}\pi r^2{h}_2=\frac{1}{3}\pi {\left(3,8\right)}^2.8,2=123,93(c{m}^3)}$

Thể tích hình nón cụt cần tính là: ${\displaystyle V=V_1-V_2=991,47-123,93=867,54c{m}^3}$

Phương pháp giải:

+) Thể tích hình trụ: $V=\pi r^{2}h.$

+) Thể tích hình nón: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h.$

+) Thể tích hình cầu:  $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3.$

Lời giải:

a) Thể tích hình cần tính gồm một hình trụ có bán kính đáy $R=12,6:2=6,3cm,$ chiều cao $h=8,4cm$ và nửa hình cầu có bán kính  $R=12,6:2=6,3cm.$

Thể tích hình trụ: $V_1=\pi R^{2}h=\pi .6,3^2.8,4=333,4\pi c{m}^3.$

Thể tích nửa hình cầu: $V_2={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{2}{3}}.\pi .6,3^3=166,7\pi c{m}^3.$

$\Rightarrow V=V_1+V_2=333,4\pi +166,7\pi =500,1\pi c{m}^3.$ 

b) Thể tích hình cần tính gồm một hình nón có bán kính đáy $R=6,9cm,$ chiều cao $h=20cm$ và nửa hình cầu có bán kính  $R=6,9cm.$

Thể tích hình nón: $V_1={\displaystyle \frac{1}{3}}.\pi R^{2}h={\displaystyle \frac{1}{3}}.\pi .6,9^2.20=317,4\pi c{m}^3.$

Thể tích nửa hình cầu: $V_2={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{2}{3}}.\pi .6,9^3=219\pi c{m}^3.$

$\Rightarrow V=V_1+V_2=317,4\pi +219\pi =536,4\pi c{m}^3.$

c) Thể tích hình cần tính gồm một hình nón có bán kính đáy $R=2cm,$ chiều cao $h=4cm$; hình trụ có bán kính đáy $R=2cm,$ chiều cao $h=4cm$ và nửa hình cầu có bán kính $R=2cm.$

Thể tích hình nón: $V_1={\displaystyle \frac{1}{3}}.\pi R^{2}h={\displaystyle \frac{1}{3}}.\pi {.2}^2.4={\displaystyle \frac{16}{3}}\pi c{m}^3.$

Thể tích hình trụ: $V_2=\pi R^{2}h=\pi {.2}^2.4=16\pi c{m}^3.$

Thể tích nửa hình cầu: $V_3={\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{2}{3}}.\pi {.2}^3={\displaystyle \frac{16}{3}}\pi c{m}^3.$

$\Rightarrow V=V_1+V_2+V_3={\displaystyle \frac{16}{3}}\pi +16\pi +{\displaystyle \frac{16}{3}}\pi$$={\displaystyle \frac{80}{3}}\pi c{m}^3.$

a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.

b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.

Phương pháp giải:

+) Thể tích hình trụ: $V=\pi r^{2}h.$

+) Thể tích hình nón: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h.$

+) Thể tích hình cầu:  $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3.$ 

+) Diện tích toàn phần của hình trụ: $S_{tp}=2\pi rh+2\pi r^2.$

+) Diện tích toàn phần của hình nón: $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2.$ 

Lời giải:

Khi quay hình vẽ quanh trục $GO$ ta được:

a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC =AD = CD; $AC\mathrm{\perp }BD$ ( Tính chất)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAB, ta có: $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2}.$

Thể tích hình trụ được tạo bởi hình vuông $ABCD$ là:

${\displaystyle V=\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2.BC}$ 

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow V=\pi {\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)}^2.R\sqrt{2}\\ & =\pi .\frac{2{\mathrm{R}}^2}{4}.R\sqrt{2}=\frac{\pi {\mathrm{R}}^3\sqrt{2}}{2}\\ & \Rightarrow V^2={\left(\frac{\pi R^3\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{{\pi }^2{R}^6}{2}(1)\end{array}$

Thể tích hình cầu có bán kính $R$ là: ${\displaystyle V_1=\frac{4}{3}\pi R^3}$ 

Thể tích hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng ${\displaystyle \frac{EF}{2}}$ là:

 ${\displaystyle V_2=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{EF}{2}\right)}^2.GH}$

Với $EF=R\sqrt{3}$ (cạnh tam giác đều nội tiếp trong đường tròn $(O;R)$)

và ${\displaystyle GH=\frac{EF\sqrt{3}}{2}=\frac{R\sqrt{3.}\sqrt{3}}{2}=\frac{3R}{2}}$ 

Thay vào V₂, ta có: ${\displaystyle V_2=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)}^2.\frac{3\mathrm{R}}{2}=\frac{3}{8}\pi R^3}$ 

Ta có: ${\displaystyle V_1{V}_2=\frac{4}{3}\pi R^3.\frac{3}{8}\pi R^3=\frac{{\pi }^2{R}^6}{2}(2)}$

So sánh (1) và (2) ta được : $V^2=V_1.V_2$

b) Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính ${\displaystyle \frac{AB}{2}}$ là: 

$\begin{array}{rl}& S=2\pi \left(\frac{AB}{2}\right).BC+2\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2\\ & S=2\pi .\frac{R\sqrt{2}}{2}R\sqrt{2}+2\pi {\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)}^2\\ & S=2\pi R^2+\pi R^2=3\pi R^2\\ & \Rightarrow S^2={\left(3\pi R^2\right)}^2=9{\pi }^2.R^4(1)\end{array}$ Diện tích mặt cầu có bán kính $R$ là: $S_1=4\pi R^2$ (2)

Diện tích toàn phần của hình nón là: 

${\displaystyle S_2=\pi \frac{EF}{2}.FG+\pi {\left(\frac{EF}{2}\right)}^2}$

${\displaystyle =\pi \frac{R\sqrt{3}}{2}.R\sqrt{3}+\pi {\left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{9\pi R^2}{4}}$ 

Ta có: ${\displaystyle S_1{S}_2=4\pi R^2.\frac{9\pi R^2}{4}=9{\pi }^2{R}^4(2)}$

So sánh (1) và (2) ta có: $S^2=S_1.S_2$

Bài 45 trang 131 SGK Toán 9 tập 2: Hình 120 mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong một hình trụ, các kích thước cho trên hình vẽ.

Hãy tính:

a)Thể tích hình cầu.

b) Thể tích hình trụ.

c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu.

d) Thể tích của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là $r(cm)$ và chiều cao $2r(cm)$.

e) Từ các kết quả a), b), c), d) hãy tìm mối liên hệ giữa chúng.

Phương pháp giải:

+) Thể tích hình trụ: $V=\pi r^{2}h.$

+) Thể tích hình nón: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h.$

+) Thể tích hình cầu:  $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3.$ 

Lời giải:

a) Thể tích của hình cầu bán kính r cm là: ${\displaystyle V_1=\frac{4}{3}\pi r^3(c{m}^3)}$ 

b) Theo hình vẽ, hình trụ có chiều cao là: $h=2r.$ cm

$\Rightarrow$ Thể tích hình trụ chiều cao h =2r cm, bán kính đáy r cm là: $V_2=\pi r^2.2r=2\pi r^3(c{m}^3)$ 

c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu là:

${\displaystyle V_3=V_2-V_1=2\pi r^3-\frac{4}{3}\pi r^2=\frac{2}{3}\pi r^3(c{m}^3)}$ 

d) Thể tích hình nón bán kính đường tròn đáy là $r(cm)$ và chiều cao $2r(cm)$ là:

${\displaystyle V_4=\frac{\pi }{3}{r}^2.2\mathrm{r}=\frac{2}{3}\pi r^3(c{m}^3)}$ 

e) Từ kết quả ở câu a, b,c, d ta có: $V_4=V_2-V_1$ hay “ Thể tích hình nón nội tiếp trong hình trụ bằng hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu nội tiếp trong hình trụ ấy”

Hoặc "Thể tích hình trụ bằng tổng thể tích nón và hình cầu nội tiếp trong hình trụ đó".