Lời giải:

(A) $2cm$      (B) $3cm$        (C) $5cm$       (D) $6cm$ ;

(E) Một kết quả khác.

Phương pháp giải:

Thể tích hình cầu bán kính $R$ là: $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3.$

Lời giải:

Ta có: $V=113{\displaystyle \frac{1}{7}}={\displaystyle \frac{191}{7}};\pi ={\displaystyle \frac{22}{7}}$

Từ công thức: ${\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^3\Rightarrow R^3=\frac{3V}{4\pi }={\displaystyle \frac{3.{\displaystyle \frac{191}{7}}}{4.{\displaystyle \frac{22}{7}}}}=27}$

$\Rightarrow R=3$ 

Vậy chọn B.

Phương pháp giải:

+) Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính $R$ là: $S=4\pi R^2.$

+) Công thức tính thể tích mặt cầu bán kính $R$ là: $V=\frac{4}{3}\pi R^3.$

Lời giải:

Cách tính:

+) Với $R=0,3mm$ ta có: 

$$\begin{gathered} S=4\pi R^2=4.3,14.0,3^2=1,1304\approx 1,13m{m}^2. \\ {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}.3,14.0,3^3=0,11304\approx 0,113m{m}^3.} \end{gathered}$$

+) Với $R=6,21dm$ ta có: 

$$\begin{gathered} {\displaystyle S=4\pi R^2=4.3,14.6,{21}^2\approx 484,37d{m}^2.} \\ {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}.3,14.6,{21}^3\approx 1002,64d{m}^3.} \end{gathered}$$

+) Với $R=0,283m$ ta có: 

$$\begin{gathered} {\displaystyle S=4\pi R^2=4.3,14.0,{283}^2\approx 1,01m^2.} \\ {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}.3,14.0,{283}^3\approx 0,095m^3.} \end{gathered}$$

+) Với $R=100km$ ta có: 

$$\begin{gathered} {\displaystyle S=4\pi R^2=4.3,{14.100}^2=125699k{m}^2.} \\ {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}.3,14.{100}^3\approx 4186666,67k{m}^3.} \end{gathered}$$

+) Với $R=6mm$ ta có: 

$$\begin{gathered} {\displaystyle S=4\pi R^2=4.3,{14.6}^2=452,16h{m}^2.} \\ {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}.3,14.6^3\approx 904,32h{m}^3.} \end{gathered}$$

+) Với $R=50dam$ ta có: 

$$\begin{gathered} {\displaystyle S=4\pi R^2=4.3,{14.50}^2=31400da{m}^2.} \\ {\displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}.3,14.{50}^3\approx 523333,33da{m}^3.} \end{gathered}$$

Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 108. Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại (diện tích cả ngoài lần trong). 

Phương pháp giải:

+) Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là: $S_{xq}=2\pi rh.$

+) Diện tích mặt cầu bán kính $r$ là: $S=4\pi r^2.$

Lời giải:

Diện tích phần cần tính gồm diện tích xung quanh hình trụ bán kính đường tròn đáy là $r$ (cm), chiều cao là $2r$ (cm) và một mặt cầu bán kính $r$ (cm).

Diện tích xung quanh của hình trụ: 

$S_{xq}=2\pi rh=2\pi r.2r=4\pi r^2$ $(c{m}^2).$ 

Diện tích mặt cầu: 

$S=4\pi r^2$$(c{m}^2).$

Diện tích cần tính là:  $4\pi r^2+4\pi r^2=8\pi r^2$ $(c{m}^2).$

Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

Phương pháp giải:

+) Đường tròn đường kính $d$ có bán kính $R=\frac{d}{2}.$

+) Độ dài đường tròn lớn bán kính $R$ là: $C=2\pi R=\pi d.$

+) Diện tích mặt cầu bán kính $R$ là: $S=4\pi R^2=\pi d^2.$

+) Thể tích hình cầu bán kính $R$ là: $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{1}{6}}\pi d^3.$

Lời giải:

 Lấy $\pi \approx 3,14$

+ Quả bóng gôn: Khi $d=42,7mm=4,27cm$, suy ra $R\approx 2,14cm$

- Độ dài đường tròn lớn $C=\pi d\approx 13,41\left(cm\right).$

- Diện tích                     $S=\pi d^2=\pi .4,{27}^2\approx 57,25\left(c{m}^2\right)$

- Thể tích                     $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{4}{3}}.3,14.{\left(2,14\right)}^3$$\approx 41,03c{m}^3$

+ Quả khúc côn cầu: Khi $C=23cm\Rightarrow d={\displaystyle \frac{C}{\pi }}\approx 7,32\left(cm\right)$ và $R\approx 3,66\left(cm\right).$

- Diện tích                   $S=\pi d^2=7,{32}^2.3,14\approx 168,25\left(c{m}^2\right)$

- Thể tích                   $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot 3,14\cdot 3,{66}^3$$\approx 205,26\left(c{m}^3\right).$

+ Quả ten-nít: Khi $d=6,5cm$ $\Rightarrow R=3,25cm.$

- Độ dài đường tròn lớn    $C=\pi d\approx 20,41\left(cm\right).$

- Diện tích                         $S=\pi d^2\approx \pi .6,5^2\approx 132,67\left(c{m}^2\right).$

- Thể tích                          $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3\approx {\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot 3,14\cdot 3,{25}^3$$\approx 143,72\left(c{m}^3\right).$

+ Quả bóng bàn: Khi $d=40mm=4cm$ $\Rightarrow R=2cm.$

- Độ dài đường tròn lớn                $C=\pi d\approx 12,56\left(cm\right).$

- Diện tích                                     $S=\pi d^2\approx 3,{14.4}^2\approx 50,24\left(c{m}^2\right).$

- Thể tích                                      $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3\approx {\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot 3,14\cdot 2^3$$\approx 33,49\left(c{m}^3\right).$

+ Quả bi-a: Khi $d=61mm=6,1cm$, suy ra $R=3,05\left(cm\right).$

- Độ dài đường tròn lớn               $C=\pi d\approx 19,15\left(cm\right).$

- Diện tích                                    $S=\pi d^2\approx 3,14.6,1^2\approx 116,84\left(c{m}^2\right).$

- Thể tích                                     $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3\approx {\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot 3,14\cdot 3,{05}^3$$\approx 118,79\left(c{m}^3\right).$

Điền kết quả vào bảng trên ta có : 

Ngày 4 - 6 - 1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khí cầu này là hình cầu có đường kính $11m$. Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Phương pháp giải:

+) Diện tích mặt cầu đường kính $d$ là: $S=\pi d^2.$

Lời giải:

Diện tích của khinh khí cầu: 

$S=\pi d^2=3,{14.11}^2=379,94(m^2)$

Hãy tính thể tích của bồn chứa theo kích thước cho trên hình vẽ.

Phương pháp giải:

+) Thể tích của hình trụ bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là: $V_{trụ}=\pi r^{2}h.$

+) Thể tích hình cầu bán kính $r$ là: $V_{cầu}={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3.$

Lời giải:

Thể tích bồn chứa = Thể tích hình trụ + thể tích 2 nửa hình cầu

- Bán kính đáy của hình trụ là $1,8:2=0,9m$, chiều cao là $3,62m.$ 

- Bán kính của hình cầu là $1,8:2=0,9m.$ 

Thể tích của hình trụ là :

$V_{trụ}=\pi r^{2}h=\pi .{\left(0,9\right)}^2.3,62\approx 9,21(m^3)$

Thể tích của 2 nửa hình cầu, chính bằng thể tích hình cầu là: 

${\displaystyle V_{cầu}=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}.\pi .(0,9{)}^3\approx 3,05(m^3)}$

Thể tích của bồn chứa xăng: 

$V=V_{trụ}+V_{cầu}=9,21+3,05=12,26(m^3).$

a) Tìm một hệ thức giữa $x$ và $h$ khi $A{A}^{\prime }$ có độ dài không đổi  và bằng $2a.$

b) Với điều kiện ở a) hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết theo $x$ và $a.$

Phương pháp giải:

+) Diện tích xung quanh hình trụ bán kính $r$ và chiều cao $h$ là: $S_{xq}=2\pi rh.$

+) Thể tích hình trụ bán kính $r$ và chiều cao $h$ là: $V=\pi r^{2}h.$

+) Diện tích mặt cầu bán kính $r$ là: $S=4\pi r^2.$ 

+) Thể tích mặt cầu bán kính $r$ là: $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi r^3.$

Lời giải:

a) Ta có: $A{A}^{\prime }=AO+O{O}^{\prime }+O^{\prime }{A}^{\prime }$

hay $2a=x+h+x$

Vậy $h+2x=2a.$ 

b) - Diện tích cần tính bằng tổng diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là $x$, chiều cao là $h$ và diện tích mặt cầu có bán kính là $x$.

- Diện tích xung quanh của hình trụ: $S_{trụ}=2\pi xh$

- Diện tích mặt cầu:$S_{cầu}=4\pi x^2$

Nên diện tích bề mặt của chi tiết máy là:

$S=S_{trụ}+S_{cầu}=2\pi xh+4\pi x^2$

$=2\pi x\left(h+2x\right)=4\pi ax.$

Thể tích cần tìm bằng tổng thể tích hình trụ và thể tích hình cầu. Ta có:

$V_{trụ}=\pi x^{2}h$

 ${\displaystyle V_{cầu}=\frac{4}{3}\pi x^3}$

Nên thể tích của chi tiết máy là: 

${\displaystyle V=V_{trụ}+V_{cầu}=\pi x^{2}h+\frac{4}{3}\pi x^3}$

Mà $h+2x=2a$ (câu a) nên $h=2a-2x=2(a-x)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow V{\displaystyle =2\pi x^2(a-x)+\frac{4}{3}\pi x^3=2\pi x^2.a-2\pi x^3+\frac{4}{3}\pi x^3} \\ =2\pi x^2.a-\frac{2}{3}\pi x^3=2\pi x^2\left(a-\frac{1}{3}x\right). \end{gathered}$$

a) Chứng minh rằng $MON$  và $APB$ là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh rằng $AM.BN=R^2$ 

c) Tính tỉ số ${\displaystyle \frac{S_{MON}}{S_{APB}}}$khi $AM$ = ${\displaystyle \frac{R}{2}}.$

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn $APB$ quay quanh $AB$ sinh ra.

Phương pháp giải:

a)  Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất tứ giác nội tiếp

b) Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông

c) Sử dụng: “ Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng”

d) Thể tích hình cầu bán kính $R$ là $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3.$

Lời giải:

a) Xét nửa đường tròn $\left(O\right)$:

Vì PN và BN là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $\widehat{NPO}=\widehat{NBO}={90}^{\circ }$

+ Theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$OM$ là phân giác của $\widehat{AOP}$ $\Rightarrow \widehat{O_2}=\widehat{O_1}$ (1)

$ON$ là phân giác $\widehat{BOP}\Rightarrow \widehat{O_3}=\widehat{O_4}$ (2) và

Mà $\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}+\widehat{O_4}={180}^{\circ }$  (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có$$\begin{gathered} \widehat{O_2}+\widehat{O_3}=\widehat{O_1}+\widehat{O_4} \\ ={\displaystyle \frac{\widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}+\widehat{O_4}}{2}}={\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{2}}={90}^{\circ } \end{gathered}$$

Hay $\widehat{MON}={90}^{\circ }$

+ Lại có $\widehat{APB}={90}^{\circ }$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

+ Xét tứ giác $OPNB$ có $\widehat{NPO}=\widehat{NBO}={90}^{\circ }$ nên $\widehat{NPO}+\widehat{NBO}={90}^{\circ }+{90}^{\circ }={180}^{\circ }$ mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác $OPNB$  là tứ giác nội tiếp, suy ra $\widehat{PBO}=\widehat{PNO}$  (cùng nhìn cạnh $PO$)

Xét $\mathrm{\Delta }MON$ và $\mathrm{\Delta }APB$ có $\widehat{MON}=\widehat{APB}\left(={90}^{\circ }\right)$ và $\widehat{PBA}=\widehat{MNO}\left(cmt\right)$ nên $\mathrm{\Delta }APB\backsim \mathrm{\Delta }MON\left(g-g\right)$ (đpcm)

b) + Xét nửa đường tròn $\left(O\right)$ có  $MA,MP$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ và $NB,NP$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $N$ nên $MA=MP;NP=NB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Xét tam giác $MON$ vuông tại $O$ có $OP\mathrm{\perp }MN$  (do $MN$ là tiếp tuyến của $\left(O\right)$) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $O{P}^2=MP.PN$

Mà $MA=MP;NP=NB$ (cmt) và $OP=R$ nên $O{P}^2=MP.PN\iff R^2=AM.BN$ (đpcm)

c) Vì $AM={\displaystyle \frac{R}{2}}$ mà $AM.BN=R^2$ (câu b) nên $BN={\displaystyle \frac{R^2}{AM}}={\displaystyle \frac{R^2}{{\displaystyle \frac{R}{2}}}}=2R$

Suy ra$$\begin{gathered} MP=MA={\displaystyle \frac{R}{2}};NP=NB=2R \\ \Rightarrow MN=MP+NP={\displaystyle \frac{R}{2}}+2R={\displaystyle \frac{5}{2}}R. \end{gathered}$$ 

Vì $\mathrm{\Delta }MON\backsim \mathrm{\Delta }APB$ (câu a) nên tỉ số đồng dạng là $k={\displaystyle \frac{MN}{AB}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{2}}R}{2R}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$

Suy ra tỉ số diện tích ${\displaystyle \frac{S_{MON}}{S_{APB}}}=k^2={\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{25}{16}}$  (tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng)

d) Nửa hình tròn $APB$ quay sinh ra hình cầu bán kính $R$ nên thể tích hình cầu là $V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3.$