Lời giải:

Đường tròn đáy là phần vành rộng nhất của nón

Mặt xung quanh là phần bên ngoài của nón, tính từ đỉnh nón đến đường tròn đáy

Đường sinh là đường thẳng bất kì, nối từ đỉnh đến đường tròn đáy

a) Bán kính đáy của hình nón.

b) Độ dài đường sinh.

Phương pháp giải:

Cho hình nón có chiều cao $h,$ bán kính đáy $r$ và đường sinh $l.$ Khi đó ta có: $l^2=h^2+r^2.$

Lời giải:

a) Có đường tròn đáy của hình nón nội tiếp trong hình vuông là một mặt của hình lập phương. Do đó bán kính của đáy hình nón bằng một nửa cạnh hình lập phương và bằng $r=0,5$.

b) Đỉnh của hình nón tiếp xúc với một mặt của hình lập phương nên đường cao của hình nón bằng với cạnh của hình lập phương hay chiều cao $h=1.$

Với $l$ là độ dài đường sinh của hình nón. Theo định lí Pytago, ta có :

 $l^2=r^2+h^2\Rightarrow l=\sqrt{1^2+0,5^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$.

Quan sát hình 94 và tính số đo cung của hình quạt.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng công thức tính chu vi đường tròn bán kính $r$ là $C=2\pi r.$

+ Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn bán kính $R$ và số đo cung $n^{\circ }$ là $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}$ 

Lời giải:

+ Hình nón có bán kính đáy $r=2cm$

+ Hình quạt có bán kính $R=6cm$

Độ dài cung của hình quạt chính là chu vi đáy của hình nón và là: $l=C=2\pi r=2\pi .2=4\pi \left(cm\right)$

Gọi $x^{\circ }\left(x>0\right)$ là số đo cung của hình quạt.

Khi đó độ dài cung là $l={\displaystyle \frac{\pi Rx}{180}}\iff {\displaystyle \frac{\pi .6.x}{180}}=4\pi \iff 6x=720\iff x=120.$  (thỏa mãn)

Vậy số đo cung của hình quạt tròn là ${120}^{\circ }.$

Phương pháp giải:

+) Độ dài cung tròn có số đo $n^0$ của đường tròn bán kính $R$ là: $l={\displaystyle \frac{\pi Rn}{180}}.$

+) Chu vi đáy hình nón với bán kính đáy r là: C= $2\pi .r$

Lời giải:

Vì $\widehat{CAO}={30}^0$ nên góc ở đỉnh của hình nón là $\widehat{CAB}={2.30}^0={60}^0$

Mà AB = AC

Nên $∆ABC$ đều) (Tam giác cân có 1 góc bằng ${60}^0$)

$\Rightarrow BC=AB=AC=a$

$\Rightarrow$ Bán kính đáy của hình nón là:$CO={\displaystyle \frac{BC}{2}}={\displaystyle \frac{a}{2}}$

Chu vi đáy hình nón là $C=2\pi .{\displaystyle \frac{a}{2}}=\pi .a$ 

Đường sinh của hình nón là $a.$ Khai triển mặt xung quanh hình nón ta được hình quạt AOB có bán kính $R=a.$

Độ dài cung AB có số đo $x^0,$ bán kính $a$ là $l={\displaystyle \frac{\pi ax}{180}}$

Vì độ dài cung $AB$ bằng chu vi đáy hình nón nên ta có:

${\displaystyle \frac{\pi .ax}{180}}=\pi .a$ 

$\Rightarrow$ $x^0={180}^0.$ 

(A) Một hình trụ;

(B) Một hình nón;

(C) Một hình nón cụt;

(D) Hai hình nón;

(E) Hai hình trụ.

Hãy  chọn câu trả lời đúng.

Phương pháp giải:

Khi quay tam giác vuông vòng quanh một cạnh góc vuông cố định của nó thì ta được một hình nón.

Lời giải:

Gọi $O$ là giao điểm của $BC$ và $AD.$  

Khi quay  hình $ABCD$ quanh $BC$ có nghĩa là tam giác vuông $OBA$ quanh $OB$ và tam giác vuông $OCD$ quanh $OC.$

Mỗi hình tam giác vuông trên quay sẽ tạo ra một hình nón. Vậy hình tạo ra sẽ tạo ra $2$ hình nón.

Vậy chọn D.

(A) 16cm;                (B) 8cm;                        (C) 163cm;

(D) 4cm;                  (E) 165cm.

Hãy chọn kết quả đúng.

Phương pháp giải:

+) Độ dài đường sinh của hình nón cần tính chính là bán kính hình quạt.

Lời giải:

Khi khai triển mặt xung quanh hình nón thì ta được hình quạt có bán kính bằng đường sinh của hình nón.

Đầu bài cho bán kính hình tròn chứa hình quạt là $16cm$ nên độ dài đường sinh là $16cm$.

Vậy  chọn A.

Phương pháp giải:

Cho hình nón có chiều cao $h,$ bán kính đáy $r$ và đường sinh $l.$ Khi đó:

+) Đường kính đáy: $d=2r.$

+) Thể tích hình nón: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h.$

+) Mối quan hệ $l^2=h^2+r^2.$

Lời giải:

+ Dòng thứ nhất:

 $d=2r=1.10=20(cm)$

 $l$ = $\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{{10}^2+{10}^2}=10\sqrt{2}$ (cm)

$V$ = ${\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h={\displaystyle \frac{1}{3}}.{10}^2.10.\pi ={10}^3.\pi .{\displaystyle \frac{1}{3}}$  ($c{m}^3$)

+ Dòng thứ hai: $r$= ${\displaystyle \frac{d}{2}}=5(cm)$

$l$ = $\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{{10}^2+5^2}=5\sqrt{5}$ (cm)

$V$ =  $\frac{1}{3}\pi r^{2}h={\displaystyle \frac{1}{3}}.5^2.10.\pi =250.\pi .{\displaystyle \frac{1}{3}}$ (cm³) 

+ Dòng thứ ba: Khi $h=10cm;V=1000c{m}^3$ 

Ta có $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h\iff r^2={\displaystyle \frac{3V}{\pi h}}={\displaystyle \frac{3.1000}{\pi .10}}={\displaystyle \frac{300}{\pi }}\Rightarrow r=10\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{\pi }}}cm$

- Đường kính đáy $d=2r=20\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{\pi }}}cm$

- Đường sinh $l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{100+{\displaystyle \frac{300}{\pi }}}=10\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{\pi }}+1}$

+ Dòng thứ tư : Khi $r=10cm;V=1000c{m}^3$

Ta có $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h\iff h={\displaystyle \frac{3V}{\pi r^2}}={\displaystyle \frac{3.1000}{\pi {.10}^2}}={\displaystyle \frac{30}{\pi }}cm$

- Đường kính đáy $d=2r=20cm$

- Đường sinh $l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{900}{\pi }}+100}=10\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{{\pi }^2}}+1}$

+ Dòng thứ 5: Khi $d=10cm;V=1000c{m}^3$ ta có $r={\displaystyle \frac{d}{2}}=5cm$ 

- Lại có $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h\iff h={\displaystyle \frac{3V}{\pi r^2}}={\displaystyle \frac{3.1000}{\pi {.5}^2}}={\displaystyle \frac{120}{\pi }}cm$

- Đường sinh $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{5^2+{\left({\displaystyle \frac{120}{\pi }}\right)}^2}$ 

Phương pháp giải:

+) Diện tích phần vải cần để làm mũ = Diện tích vành mũ + Diện tích của phần trên mũ 

= Diện tích hình vành khăn + Diện tích xung quanh hình nón.

+) Diện tích xung quanh của hình nón bán kính $r$ và đường sinh $l$ là: $S_{xq}=\pi rl.$

Lời giải:

+ Diện tích vải cần có = diện tích xung quanh hình nón + diện tích hình vành khăn

+ Đường kính đường tròn lớn là $35cm$ nên bán kính đường tròn lớn là $R={\displaystyle \frac{35}{2}}=17,5cm$. Do đó, bán kính đường tròn nhỏ là $r=17,5-10=7,5cm$.

+ Diện tích hình vành khăn là: $S_{vk}=\pi R^2-\pi r^2=\pi .17,5^2-\pi .7,5^2\approx 785c{m}^2$

+ Hình nón có đường sinh $l=30cm$ và bán kính đáy $r=7,5cm$ nên có diện tích xung quanh là $S_{xq}=\pi rl=\pi .7,5.30\approx 706,9c{m}^2$

Vậy diện tích vải cần làm mũ là: $S=S_{vk}+S_{xq}=785+706,9=1491,9c{m}^2$ .

Hãy so sánh tổng thể tích của hai hình nón và thể tích hình trụ.

Phương pháp giải:

+) Thể tích hình trụ bán kính đáy là $R$ và chiều cao $h$ là: $V=\pi R^{2}h.$

+) Thể tích hình nón bán kính đáy $R$ và chiều cao $h$ là: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi R^{2}h.$

Lời giải:

Nhận thấy hai hình nón trên hình bằng nhau. 

Chiều cao của 1 hình nón là: ${\displaystyle \frac{h}{2}}$ 

Thể tích của hai hình nón là: 

$2V_{nón}$$=2.{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi .R^2.{\displaystyle \frac{h}{2}}={\displaystyle \frac{\pi R^{2}h}{3}}$

Thể tích của hình trụ là: $V_{trụ}=\pi R^{2}h$ 

Nên ${\displaystyle \frac{2V_{nón}}{V_{trụ}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{\pi R^{2}h}{3}}}{\pi R^{2}h}}={\displaystyle \frac{1}{3}}.$

Phương pháp giải:

+) Diện tích hình quạt có số đo $n^0$ của đường tròn bán kính $R$ là: $S={\displaystyle \frac{\pi R^{2}n}{360}}.$

+) Diện tích xung quanh của hình nón bán kính đáy $R$ và đường sinh $l$ là: $S_{xq}=\pi Rl.$ 

Lời giải:

Diện tích hình quạt : $S_{quạt}={\displaystyle \frac{\pi r^2{n}^o}{{360}^o}}={\displaystyle \frac{\pi .l^2.90}{360}}={\displaystyle \frac{\pi .l^2}{4}}.$

Diện tích xung quanh của hình nón: $S_{xq}=\pi rl$

Theo đề bài ta có: $S_{xq}=S_{quạt}\Rightarrow \pi rl={\displaystyle \frac{\pi .l^2}{4}}$$\Rightarrow$ $l=4r.$ 

Trong tam giác vuông SOA, ta có: $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{OA}{SA}}={\displaystyle \frac{r}{l}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ (vì $l=4r$.)

Vậy $\alpha ={14}^0{28}^{\prime }.$ 

(A) ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}$               (B) ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$          (C) $\sqrt{2}$            (D) 2$\sqrt{2}$

+) Gọi góc cần tính là $\alpha .$ Khi đó: $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{r}{h}}.$

Lời giải:

Đường sinh của hình nón là $l=16.$ 

Độ dài cung $AB$ của đường tròn chứa hình quạt là ${\displaystyle \frac{\pi .16.120}{180}}={\displaystyle \frac{32.\pi }{3}},$ và độ dài cung này bằng chu vi đáy hình nón $C=2\pi r$ suy ra $2\pi r={\displaystyle \frac{32.\pi }{3}}$$\Rightarrow r={\displaystyle \frac{16}{3}}.$

Trong tam giác vuông $AOS$ có: $h=\sqrt{{16}^2-{\left({\displaystyle \frac{16}{3}}\right)}^2}=16\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{9}}}={\displaystyle \frac{32\sqrt{2}}{3}}$  

Vậy ta có: $\tan \alpha ={\displaystyle \frac{r}{h}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}.$ 

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Diện tích xung quanh hình nón: $S_{xq}=\pi rl.$ với $r$ là bán kính đáy và $l$ là đường sinh.

+) $S_{xqnóncụt}=S_{xqhìnhnónlớn}-S_{xqhìnhnónnhỏ}.$

Phương pháp giải:

Cho hình nón có chiều cao $h,$ bán kính đáy $r$ và đường sinh $l.$ Khi đó:

+) Đường kính đáy: $d=2r.$

+) Thể tích hình nón: $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h.$

+) Mối quan hệ $l^2=h^2+r^2.$

Lời giải:

Cách tính:

Lấy $\pi =3,14$

+ Dòng thứ nhất: Khi $r=5cm;h=12cm$ ta có

- Đường kính $d=2r=2.5=10cm$

- Đường sinh $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{5^2+{12}^2}=13cm$

- Thể tích  $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {.5}^2.12=100\pi =314\left(c{m}^3\right)$

+ Dòng thứ hai:  Khi $d=16cm;h=15cm$ ta có

- Bán kính $r={\displaystyle \frac{d}{2}}={\displaystyle \frac{16}{2}}=8cm$

- Đường sinh $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}=17cm$

- Thể tích  $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {.8}^2.15=320\pi =1004,8\left(c{m}^3\right)$

+ Dòng thứ ba: Khi $r=7cm;l=25cm$ ta có

- Đường kính $d=2r=2.7=14cm$

- Vì $l^2=h^2+r^2\Rightarrow h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{{25}^2-7^2}=24cm$

- Thể tích  $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {.7}^2.24=392\pi \approx 1230,9\left(c{m}^3\right)$ 

+ Dòng thứ tư: Khi $d=40cm;l=29cm$ ta có

- Đường kính $r={\displaystyle \frac{d}{2}}={\displaystyle \frac{40}{2}}=20cm$

- Vì $l^2=h^2+r^2\Rightarrow h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{{29}^2-{20}^2}=21cm$

- Thể tích  $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {.20}^2.21=2800\pi =8792\left(c{m}^3\right)$

a) Thể tích của dụng cụ này;

b) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (Không tính nắp đậy).

Phương pháp giải:

+) Diện tích xung quanh hình trụ: $S_{xqtrụ}=2\pi rh.$

+)  Diện tích xung quanh hình nón: $S_{xqnón}=\pi rl.$

+) Thể tích hình trụ: $V_{trụ}=\pi r^{2}h.$

+) Thể tích hình nón: $V_{nón}={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h.$

Lời giải:

Lấy $\pi =3,14$ 

a)  Thể tích cần tính gồm một hình trụ, đường kính đáy $1,4m$ nên bán kính đáy là $\frac{1,4}{2}$= 0,7 m, chiều cao $70cm=0,7m$, và một hình nón, bán kính đáy bằng bán kính hình trụ, chiều cao hình nón bằng $0,9m$.

Thể tích hình trụ:

$V_{trụ}$ ${\displaystyle =\pi R^{2}h=3,14.0,7^2.0,7=1,077(m^3).}$

Thể tích hình nón:   

${\displaystyle V_{nón}=\frac{1}{3}.3,14.0,7^2.0,9=0,462(m^3).}$

Vậy thể tích cái  phễu:

$V=V_{trụ}+V_{nón}$ $=1,077+0,462=1,539(m^3).$

b) Diện tích cần tính = diện tích xung quanh hình trụ + diện tích xung quanh hình nón.

Đường sinh của hình nón là: 

$l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{0,9^2+0,7^2}=\sqrt{1,3}$$\approx 1,14(m)$ 

${\displaystyle S_{xqtrụ}=2\pi rh=2.3,14.0,7.0,7=3,077(m^2)}$

$S_{xqnón}$$={\displaystyle \pi rl=3,14.0,7.1,4=2,506(m^2)}$ 

Vậy diện tích toàn phần của phễu: 

$S=S_{xqtrụ}+S_{xqnón}=3,077+2,506=5,583$ ($m^2$)

a) Hãy tính diện tích xung quanh của xô.

b) Khi xô chưa đầy hóa chất thì dung tích của nó là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

+) $S_{xqxô}=S_{xqhìnhnóncụt}$$=S_{xqhìnhnónlớn}-S_{xqhìnhnónnhỏ}.$ 

+) $S_{xqnón}=\pi rl.$

+) $V_{nón}={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h.$

Lời giải:

Gọi $l$ là đường sinh của hình nón lớn.

Theo hệ quả định lý Ta-lét ta có: ${\displaystyle \frac{l}{l-36}}={\displaystyle \frac{21}{9}}$

Suy ra $9.l=21.(l-36)\Rightarrow 12l=432$$\Rightarrow l=63$ 

a) Cách 1: Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình xung quanh của hình nón cụt và diện tích hình tròn đáy có bán kính $9cm$.

Đường sinh của hình nón lớn là $l=63cm$.

Đường sinh của hình nón nhỏ là $63-36=27cm$.

Ta có:

$S_{xqhìnhnónlớn}$ $=\pi rl=3,\mathrm{14.21.63}=4154,22c{m}^2.$ 

$S_{xqhìnhnónnhỏ}$ $=3,\mathrm{14.9.27}=763,02c{m}^2.$

Diện tích xung quanh của xô chính là diện tích xung quanh hình nón cụt:

$$\begin{gathered} S_{xqhìnhnóncụt}=S_{xqhìnhnónlớn}-S_{xqhìnhnónnhỏ} \\ =4154,22-763,02=3391,2c{m}^2. \end{gathered}$$

Cách 2: Diện tích xung quanh của xô chính là diện tích xung quanh hình nón cụt có đường sinh là l = 36 cm, bán kính đáy nhỏ là $r_1=9cm$ , bán kính đáy lớn là $r_2=21cm$ nên diện tích xung quanh của xô là:

$(S_{xqhìnhnóncụt}=3,14.(r_1+r_2).l=3,14.(9+21).36=3391,2(c{m}^2)$

b) Chiều cao của hình nón lớn:

$h=\sqrt{{63}^2+{21}^2}=59,397cm.$ 

Chiều cao của hình nón nhỏ:

$h^{\prime }=\sqrt{{27}^2-9^2}=25,546cm.$ 

Ta có:

$V_{hìnhnónlớn}=\frac{1}{3}\pi rh=\frac{1}{3}.3,{14.21}^2.59,397$$=27416,467(c{m}^3).$

${\displaystyle V_{hìnhnónnhỏ}=\frac{1}{3}\pi r^{\prime }{h}^{\prime }=\frac{1}{3}.3,{14.9}^2.25,456}$

$=2158,160(c{m}^3)$

Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là:

${\displaystyle V=V_{hìnhnónlớn}-V_{hìnhnónnhỏ}}$$=27416,467-2158,160\approx 25258c{m}^3.$

Phần trên của cối xay gió có dạng một hình nón (h102). Chiều cao của hình nón là $42$ cm và thể tích của nó là $17600$ cm³

Em hãy giúp chàng Đôn-ki-hô-tê tính bán kính của đáy hình nón (làm tròn đến kết quả chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

Theo đề bài ta có:

$V=17600c{m}^3,$  $h=42cm.$

Vì $V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi r^{2}h$ nên $r=\sqrt{{\displaystyle \frac{3V}{\pi h}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3.17600}{3,14.42}}}\approx 20cm.$  

Vậy bán kính của đáy hình nón là $r=20cm.$