SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 10: Tứ giác

Nguyễn Lê Khánh Vy Ngày: 30-09-2023 Lớp 8

203

Toptailieu biên soạn và giới thiệu giải Sách bài tập Toán 8 Bài 10: Tứ giác sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 8 Bài 1.

SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 10: Tứ giác

Bài 3.1 trang 32 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng cả bốn góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.

Lời giải:

Vì tổng bốn góc của tứ giác bằng 360°, nên:

• Nếu cả bốn góc của tứ giác đều bé hơn 90° thì tổng của chúng bé hơn 360°, điều này vô lí.

• Nếu cả bốn góc của tứ giác đều lớn hơn 90° thì tổng của chúng lớn hơn 360°, điều này vô lí.

Bài 3.2 trang 32 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, độ dài mỗi cạnh bé hơn tổng độ dài ba cạnh còn lại.

Lời giải:

(ảnh 1)

Xét tứ giác ABCD như hình vẽ. Ta cần chứng minh AB < AD + BC + CD và các trường hợp còn lại tương tự.

Xét tam giác ABD, ta có: AB < AD + DB (bất đẳng thức trong tam giác).

Xét tam giác BCD, ta có: DB < BC + CD (bất đẳng thức trong tam giác).

Do đó AB < AD + DB < AD + BC + CD.

Vậy AB < AD + BC + CD.

Tương tự ta cũng có:

BC < AB + CD + DA; CD < AD + AB + BC; DA < AB + BC + CD.

Bài 3.3 trang 32 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác:

a) Bé hơn chu vi của tứ giác;

b) Lớn hơn tổng hai cạnh đối tuỳ ý của tứ giác, từ đó lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Lời giải:

(ảnh 2)

Xét tứ giác ABCD. Chu vi tứ giác ABCD là P_ABCD = AB + BC + CD + DA.

a) Trong ∆ABC có AC < AB + BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆ACD có AC < CD + DA (bất đẳng thức trong tam giác)

Do đó AC + AC < AB + BC + CD + DA hay 2AC < P_ABCD (1)

Tương tự, trong ∆ABD có BD < AD + AB

Trong ∆BCD có: BD < CD + BC

Do đó BD + BD < AD + AB + CD + BC hay 2BD < P_ABCD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) < 2P_ABCD, do đó AC + BD < P_ABCD.

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong ∆OAB có OA + OB > AB (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆OCD có OC + OD > CD (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên AC + BD = OA + OC + OB + OD > AB + CD.

Trong ∆OAD có OA + OD > AD (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆OBC có OB + OC > BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên AC + BD = OA + OC + OB + OD > AD + BC.

Vậy 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA = P_ABCD

Tức là $A C + B D > \frac{1}{2} P_{A B C D} .$

Bài 3.4 trang 32 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Tìm điểm M bên trong tứ giác ABCD sao cho tổng khoảng cách từ M đến bốn đỉnh A, B, C, D là bé nhất.

Lời giải:

– Trước hết cho hai điểm phân biệt P, Q thì với mọi điểm M ta có MP + MQ ≥ PQ và MP + MQ = PQ chỉ khi M thuộc đoạn thẳng PQ.

Thật vậy,

• nếu M không thuộc đường thẳng PQ thì MP + MQ > PQ (bất đẳng thức tam giác) (hình vẽ)

(ảnh 3)

• nếu M thuộc đoạn thẳng PQ thì MP + MQ = PQ (hình vẽ)

• nếu M thuộc đường thẳng PQ nhưng không thuộc đoạn thẳng PQ thì hoặc P nằm giữa M và Q hoặc Q nằm giữa P và M, dễ thấy trong cả hai trường hợp đó, MP + MQ > PQ (hình vẽ).

(ảnh 5)

– Xét điểm M tuỳ ý trong tứ giác ABCD (hình vẽ).

(ảnh 6)

Ta có:

MA + MC ≥ AC và MA + MC = AC khi điểm M nằm trên đoạn thẳng AC.

MB + MD ≥ BD và MB + MD = BD khi điểm M nằm trên đoạn thẳng BD.

Do đó MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD và MA + MB + MC + MD = AC + BD chỉ khi M vừa thuộc đoạn thẳng AC vừa thuộc đoạn thẳng BD tức là M phải trùng với giao điểm O của AC và BD.

Bài 3.5 trang 32 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD với AB = BC, CD = DA, $\hat{B} = 100 °$ ; $\hat{D} = 120 °$ . Tính $\hat{A}$ và $\hat{C}$ .