Với Giải trang 41 SBT Toán lớp 11 trong Bài tập cuối chương 2 trang 40 Sách bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

 SBT Toán 11 trang 41 Tập 1 (Kết nối tri thức)

Bài 2.33 trang 41 SBT Toán 11 Tập 1: Hãy chọn dãy số tăng trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = – 2n + 1.

B. u_n = n² – n + 1.

C.u_n = (– 1)ⁿ 2ⁿ.

D. u_n = 1 + sin n.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số ở đáp án B là dãy số tăng. Thật vậy:

Ta có u_{n + 1} – u_n = [(n + 1)² – (n + 1) + 1] – (n² – n + 1)

                   = n² + 2n + 1 – n – 1 + 1 – n² + n – 1 = 2n > 0 với mọi n ≥ 1.

Tức là u_{n + 1} > u_n với mọi n ≥ 1. Vậy đây là dãy số tăng.

Bài 2.34 trang 41 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số $u_n=2020\sin \frac{n\pi }{2}+2021\cos \frac{n\pi }{3}$. Mệnh nào dưới đây là đúng?

A. u_{n + 6} = u_n.

B. u_{n + 9} = u_n.

C. u_{n + 4} = u_n.

D. u_{n + 12} = u_n.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $u_{n+12}=2020\sin \frac{\left(n+12\right)\pi }{2}+2021\cos \frac{\left(n+12\right)\pi }{3}$

          $=2020\sin \left(\frac{n\pi }{2}+6\pi \right)+2021\cos \left(\frac{n\pi }{3}+4\pi \right)$

          $=2020\sin \frac{n\pi }{2}+2021\cos \frac{n\pi }{3}=u_n$ với mọi n.

Vậy u_{n + 12} = u_n.

Bài 2.35 trang 41 SBT Toán 11 Tập 1: Chọn cấp số cộng trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = 3ⁿ + 2.

B. u_n = $\frac{3}{n}$ + 1.

C. u_n = 3n.

D. u₁ = 1, u_{n + 1} = u_n + n.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có dãy số (u_n) với u_n = 3n là cấp số cộng.

Thật vậy, u_{n + 1} – u_n = 3(n + 1) – 3n = 3 không đổi với mọi n.

Vậy dãy số này là cấp số cộng với công sai d = 3.

Bài 2.36 trang 41 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng với u₁ = −2, u₉ = 22.Tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng này là

A. 3 570.

B. 3 575.

C. 3 576.

D. 3 580.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có u₉ = u₁ + 8d = – 2 + 8d = 22. Suy ra d = 3.

Vậy tổng 50 số hạng đầu của cấp số cộng này là

Bài 2.37 trang 41 SBT Toán 11 Tập 1: Chọn cấp số nhân trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = 2n.

B. $u_n=\frac{2}{n}$.

C. u_n = 2ⁿ.

D. u₁ = 1, u_{n + 1} = nu_n.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có dãy số (u_n) với u_n = 2ⁿ là cấp số nhân.

Thật vậy, $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}}{2^n}=2$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số này là cấp số nhân với công bội q = 2.

Bài 2.38 trang 41 SBT Toán 11 Tập 1: Tổng $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^n}$ bằng

A. $2+\frac{1}{2^n}$

B. $2-\frac{1}{2^{n-1}}$.

C. $2-\frac{1}{2^{n+1}}$.

D. $2-\frac{1}{2^n}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^n}$. Nhận thấy các số hạng trong tổng này lập thành một cấp số nhân gồm n + 1 số hạng với số hạng đầu u₁ = 1 và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Do đó $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^n}=u_1.\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=1.\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=2-\frac{1}{2^n}$.

Bài 2.39 trang 41 SBT Toán 11 Tập 1: Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử 5 số hạng của cấp số nhân đó là u₁; u₂; u₃; u₄; u₅ và công bội của cấp số nhân là q.

+ Nếu q = 0 thì tích các số hạng bằng 0 không thỏa mãn bài toán nên q ≠ 0.

+ Nếu q = 1 thì u₁ = u₂ = u₃ = u₄ = u₅, do đó u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 5u₁ = 31.

Suy ra u₁ = u₂ = u₃ = u₄ = u₅ = $\frac{31}{5}$. Khi đó u₁ . u₂ . u₃ . u₄ . u₅ = ${\left(\frac{31}{5}\right)}^5\ne 1024$. Vô lí.

Vậy q ≠ 1.

+ Với q ≠ {0; 1}. Khi đó u₂ = u₁q; u₃ = u₁q²; u₄ = u₁q³; u₅ = u₁q⁴.

Ta có u₁ . u₂ . u₃ . u₄ . u₅ = $u_1^5.q^{1+2+3+4}=u_1^5{q}^{10}={\left(u_1{q}^2\right)}^5$ = 1 024 = 4⁵. Suy ra u₁q² = 4. 

Suy ra $u_1=\frac{4}{q^2}$.

Lại có u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = S₅ = $\frac{u_1\left(1-q^5\right)}{1-q}=\frac{\frac{4}{q^2}\left(1-q^5\right)}{1-q}=31$.

Suy ra 4(1 – q⁵) = 31q²(1 – q)

⇔ 4(1 – q)(1 + q + q² + q³ + q⁴) – 31q²(1 – q) = 0

⇔ (1 – q) (4 + 4q + 4q² + 4q³ + 4q⁴ – 31q²) = 0

⇔ (1 – q)(4q⁴ + 4q³ – 27q² + 4q + 4) = 0

Vì q ≠ 1 nên ta loại trường hợp q = 1.

Giải phương trình (*): Chia cả hai vế của (*) cho q² (do q ≠ 0) ta được

$4q^2+4q-27+\frac{4}{q}+\frac{4}{q^2}=0$

$\iff \left(4q^2+8+\frac{4}{q^2}\right)+\left(4q+\frac{4}{q}\right)-35=0$

$\iff {\left(2q+\frac{2}{q}\right)}^2+2\left(2q+\frac{2}{q}\right)-35=0$ (**)

Đặt $2q+\frac{2}{q}=t$, khi đó (**) ⇔ t² + 2t – 35 = 0 ⇔ t = – 7 hoặc t = 5.

+ Với t = – 7, ta có 

+ Với t = 5, ta có 

Thử lại ta thấy cả 4 giá trị của q đều thỏa mãn (*).

Vậy có 4 cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024.

Bài 2.40 trang 41 SBT Toán 11 Tập 1: Ông Trung có 100 triệu đồng gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau 3 năm số tiền trong tài khoản tiết kiệm của ông Trung gần nhất với số nào sau đây?

A. 126 532 000 đồng.

B. 158 687 000 đồng.

C. 125 971 000 đồng.

D. 112 486 000 đồng.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có 100 triệu đồng = 100 000 000 đồng.

3 năm tương ứng với 6 kì lãi.

Vậy sau ba năm, số tiền trong tài khoản tiết kiệm của ông Trung là

S = 100 000 000 . (1 + 8%)⁶ ≈ 158 687 432 (đồng).

Xét các đáp án ta thấy 158 687 432 đồng gần nhất với 158 687 000 đồng.

Bài 2.41 trang 41 SBT Toán 11 Tập 1: Một du khách vào trường đua ngựa xem đua ngựa và đặt cược chọn con thắng cuộc. Nếu chọn đúng con thắng cuộc thì sẽ nhận được số tiền gấp đôi số tiền đặt cược, còn nếu chọn sai thì sẽ mất số tiền đặt cược. Người du khách đó lần đầu tiên đặt 20 000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khách đó thắng hay thua bao nhiêu?

A. Thắng 20 000 đồng.

B. Hoà vốn.

C. Thua 20 000 đồng.

D. Thua 40 000 đồng.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Du khách đó lần đầu tiên đặt 20 000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước.

Khi đó, số tiền đặt cược của du khách ở mỗi lần khác nhau lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là u₁ = 20 000 và công bội q = 2.

Người đó thua 9 lần liên tiếp nên tổng số tiền người đó đã bỏ ra và mất trong 9 lần đầu là:

$S_9=u_1\frac{1-q^9}{1-q}=20000.\frac{1-2^9}{1-2}=10220000$ (đồng).

Số tiền người đó bỏ ra ở lần thứ 10 là:

u₁₀ = u₁ . q^{10 – 1} = 20 000 . 2^{10 – 1} = 10 240 000 (đồng).

Vì người du khách đó thắng ở lần thứ 10. Người đó nhận bỏ ra và nhận lại gấp đôi, nghĩa là người đó lãi được: 10 240 000 (đồng).

Vậy thì sau 10 lần chơi, người đó đã thắng 20 000 đồng.