Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu giải Sách bài tập Toán 11 Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm các bài tập từ đó nâng cao kiến thức và biết cách vận dụng phương pháp giải vào các bài tập trong SBT Toán 11 Bài 2.

SBT Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

SBT Toán 11 trang 14 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Bài 1 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu:

a) $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2};$

b) $cos\alpha =\frac{11}{61}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2};$

c) $\tan \alpha =-\frac{15}{8}$ và $-90°<\alpha <90°;$

d) cotα = ‒2,4 và ‒180° < α < 0°.

Lời giải:

a) Ta có ${\text{cos}}^2\alpha =1-{\text{sin}}^2\alpha =1-{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$. Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2};$ nên cosα < 0.

Do đó $\text{cos}\alpha =-\frac{3}{5}.$

Suy ra $\text{tan}\alpha =\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }=\frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$ và $\text{cot}\alpha =\frac{1}{\text{tan}\alpha }=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}.$

b) Ta có ${\text{sin}}^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{11}{61}\right)}^2={\left(\frac{60}{61}\right)}^2$ Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2};$ nên sinα > 0.

Do đó $\text{sin}\alpha =\frac{60}{61}.$

Suy ra $\text{tan}\alpha =\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }=\frac{\frac{60}{61}}{\frac{11}{61}}=\frac{60}{11}$ và $\text{cot}\alpha =\frac{1}{\text{tan}\alpha }=\frac{1}{\frac{60}{11}}=\frac{11}{60}.$

c) Ta có $\text{cot}\alpha =\frac{1}{\text{tan}\alpha }=\frac{1}{-\frac{15}{8}}=-\frac{8}{15};\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }=1+{\text{tan}}^2\alpha =1+{\left(-\frac{15}{8}\right)}^2=\frac{289}{64}$

Suy ra ${\text{cos}}^2\alpha =\frac{64}{289}$. Vì $-90°<\alpha <90°;$ nên $\text{cos}\alpha >0$. Do đó $\text{cos}\alpha =\frac{8}{17}.$

Suy ra $\text{sin}\alpha =\text{tan}\alpha \text{cos}\alpha =-\frac{15}{8}\cdot \frac{8}{17}=-\frac{15}{17}.$

d) $\text{tan}\alpha =-\frac{5}{12},\text{sin}\alpha =-\frac{5}{13},\text{cos}\alpha =\frac{12}{13}$

Ta có $\text{tan}\alpha =\frac{1}{\text{cot}\alpha }=\frac{1}{-\mathrm{2,4}}=-\frac{5}{12};\frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha }=1+{\text{cot}}^2\alpha =1+{\left(-\mathrm{2,4}\right)}^2=\frac{676}{100}$

Suy ra ${\text{sin}}^2\alpha =\frac{100}{676}$. Vì ‒180° < α < 0°  nên $\text{sin}\alpha <0$. Do đó $\text{sin}\alpha =-\frac{5}{13}.$

Suy ra $\text{cos}\alpha =\text{cot}\alpha \text{sin}\alpha =-\mathrm{2,4}\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)=\frac{12}{13}.$

Bài 2 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi }{4}$ (hoặc từ 0° đến 45°).

a) sin(‒1693°);

b) $cos\frac{1003\pi }{3};$

c) tan 885°;

d) $\cot \left(-\frac{53\pi }{10}\right).$

Lời giải:

a) sin(‒1693°) = ‒sin(1693°)

= ‒sin(4.360° + 180° + 73°)

= sin73°

= cos(90° ‒ 73°) = cos17°.

b) $\text{cos}\frac{1003\pi }{3}=\text{cos}\left(334\pi +\frac{\pi }{3}\right)=\text{cos}\frac{\pi }{3}=\text{sin}\frac{\pi }{6}$

c) tan 885° = tan(180.4 + 165°) = tan165° = tan(180° ‒ 15°) = ‒tan15°.

d) $\cot \left(-\frac{53\pi }{10}\right)=-\cot \left(\frac{53\pi }{10}\right)=-\cot \left(\frac{50\pi }{10}+\frac{3\pi }{10}\right)$

$=-\cot \left(5\pi +\frac{3\pi }{10}\right)=-\cot \left(\frac{3\pi }{10}\right)$

$-\cot \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5}\right)=-\tan \left(\frac{\pi }{5}\right).$

Bài 3 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}.$ Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:

a) cos(α + π);

b) $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right);$

c) $\tan \left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right);$

d) $\cot \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right);$

e) $\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{2}\right);$

g) sin(π ‒ 2α).

Lời giải:

a) cos(α + π) = ‒cosα > 0 vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$

b) $\text{sin}\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\text{cos}\alpha <0$ vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$

c) $\text{tan}\left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right)=-\text{cot}\alpha <0$ vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$

d) $\text{cot}\left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=-\text{tan}\alpha <0$ vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$

e) $\text{cos}\left(2\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\text{sin}2\alpha <0$ vì $2\pi <2\alpha <3\pi$

g) sin (π ‒ 2α) = sin2α > 0 vì $2\pi <2\alpha <3\pi$.

Bài 4 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Biết $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$ Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=\frac{3\sin \alpha }{2cos\alpha -\tan \alpha };$

b) $B=\frac{{\cot }^2\alpha -\sin \alpha }{\tan \alpha +2cos\alpha }.$

Lời giải:

Vì $\text{sin}\alpha =\frac{3}{5}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\text{cos}\alpha =-\frac{4}{5},\text{tan}\alpha =-\frac{3}{4}$ và $\text{cot}\alpha =-\frac{4}{3}$.

a) $A=\frac{3\cdot \frac{3}{5}}{2\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)-\left(-\frac{3}{4}\right)}=\frac{\frac{9}{5}}{-\frac{8}{5}+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{9}{5}}{-\frac{17}{20}}=-\frac{36}{17}.$

b) $B=\frac{{\left(-\frac{4}{3}\right)}^2-\frac{3}{5}}{-\frac{3}{4}+2\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)}=\frac{\frac{16}{9}-\frac{3}{5}}{-\frac{3}{4}-\frac{8}{5}}=\frac{\frac{53}{45}}{-\frac{47}{20}}=-\frac{212}{423}.$

Bài 5 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) sin⁴x + cos⁴x = 1 ‒ 2sin²xcos²x.

b) $\frac{1+\cot x}{1-\cot x}=\frac{\tan x+1}{\tan x-1};$

c) $\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{{\sin }^3\alpha }=\frac{1-{\cot }^4\alpha }{1-\cot \alpha };$

d) $\frac{{\tan }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -1}{{\cot }^2\alpha +{\sin }^2\alpha -1}={\tan }^6\alpha .$

Lời giải:

a)

 $$\begin{gathered} {\text{sin}}^{4}x+{\text{cos}}^{4}x={\left({\text{sin}}^{2}x+{\text{cos}}^{2}x\right)}^2-2{\text{sin}}^{2}x{\text{cos}}^{2}x \\ =1-2{\text{sin}}^{2}x{\text{cos}}^{2}x \end{gathered}$$;

b) $\frac{1+\text{cot}x}{1-\text{cot}x}=\frac{1+\frac{1}{\text{tan}x}}{1-\frac{1}{\text{tan}x}}=\frac{\frac{\text{tan}x+1}{\text{tan}x}}{\frac{\text{tan}x-1}{\text{tan}x}}=\frac{\text{tan}x+1}{\text{tan}x-1}.$

c)

 $$\begin{gathered} \frac{\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha }{{\text{sin}}^3\alpha }=\frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha }+\frac{\text{cos}\alpha }{\text{sin}\alpha }\cdot \frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha } \\ =\left(1+{\text{cot}}^2\alpha \right)+\text{cot}\alpha \left(1+{\text{cot}}^2\alpha \right) \end{gathered}$$

$=\left(1+\text{cot}\alpha \right)\left(1+{\text{cot}}^2\alpha \right)$

$=\frac{\left(1-{\text{cot}}^2\alpha \right)\left(1+{\text{cot}}^2\alpha \right)}{1-\text{cot}\alpha }=\frac{1-{\text{cot}}^4\alpha }{1-\text{cot}\alpha }$

d) $\frac{{\text{tan}}^2\alpha +{\text{cos}}^2\alpha -1}{{\text{cot}}^2\alpha +{\text{sin}}^2\alpha -1}=\frac{{\text{tan}}^2\alpha -{\text{sin}}^2\alpha }{{\text{cot}}^2\alpha -{\text{cos}}^2\alpha }=\frac{\frac{{\text{sin}}^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }-{\text{sin}}^2\alpha }{\frac{{\text{cos}}^2\alpha }{{\text{sin}}^2\alpha }-{\text{cos}}^2\alpha }$

$=\frac{{\text{sin}}^2\alpha \left(\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }-1\right)}{{\text{cos}}^2\alpha \left(\frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha }-1\right)}={\text{tan}}^2\alpha \cdot \frac{{\text{tan}}^2\alpha }{{\text{cot}}^2\alpha }={\text{tan}}^6\alpha$

SBT Toán 11 trang 15 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Bài 6 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\sin }^{2}605°+{\sin }^{2}1645°+{\cot }^{2}25°=\frac{1}{{\cos }^{2}65°};$

b) $\frac{\sin 530°}{1+\sin 640°}=\frac{1}{\sin 10°}+\cot 10°.$

Lời giải:

a) sin605° = sin(3.180° + 65°) = ‒sin65°.

sin1645° = sin(9.180° + 25°) = ‒sin25° = ‒sin(90° ‒ 65°) = ‒cos65°.

cot25° = cot(90° ‒ 65°) = tan65°.

sin²605° + sin²1645° + cot²25°

= (‒sin65°)² + (‒cos65°)² + (tan65°)²

= 1 + tan²65°

$=\frac{1}{{\text{cos}}^2{65}^{\circ }}$

b) sin530° = sin(3.180° ‒ 10°) = sin10°.

sin640° = sin(4.180° ‒ 80°) = ‒sin80° = ‒sin(90° ‒ 10°) = ‒cos10°.

$\frac{\text{sin}530°}{1+\text{sin}640°}=\frac{\text{sin}10°}{1-\text{cos}10°}=\frac{{\text{sin}}^{2}10°}{\text{sin}10°\left(1-\text{cos}10°\right)}$

$=\frac{1-{\text{cos}}^{2}10°}{\text{sin}10°\left(1-\text{cos}10°\right)}=\frac{\left(1+\text{cos}10°\right)\left(1-\text{cos}10°\right)}{\text{sin}10°\left(1-\text{cos}10°\right)}$

$=\frac{1+\text{cos}10°}{\text{sin}10°}=\frac{111}{\text{sin}10°}+\text{cot}10°\text{ .}$

Bài 7 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\cos \left(\alpha +\pi \right)+\sin \left(\alpha +\frac{5\pi }{2}\right)-\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\tan \left(\pi -\alpha \right).$

b) $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\sin \left(\beta +\pi \right)-\sin \left(2\pi -\alpha \right)\cos \left(\beta -\frac{\pi }{2}\right).$

Lời giải:

a) $\cos \left(\alpha +\pi \right)+\sin \left(\alpha +\frac{5\pi }{2}\right)-\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\tan \left(\pi -\alpha \right)$

$=-\cos \alpha +\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)-\tan \left[\pi -\left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\right]\tan \alpha$

$=-\cos \alpha +\sin \left[\pi -\left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\right]-\tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\tan \alpha$

$=-\cos \alpha +\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)-\cot \alpha \tan \alpha$

$=-\cos \alpha +\cos \alpha -1=-1.$

b) $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\sin \left(\beta +\pi \right)-\sin \left(2\pi -\alpha \right)\cos \left(\beta -\frac{\pi }{2}\right)$

$=\sin \alpha \left(-\sin \beta \right)-\sin \left(-\alpha \right)\cos \left(\frac{\pi }{2}-\beta \right)$

$=-\sin \alpha \sin \beta +\sin \alpha \sin \beta =0.$

Bài 8 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin 17°sin197° + sin73°cos163°;

b) $\frac{1}{1-\tan 145°}+\frac{1}{1+\tan 55°}.$

Lời giải:

a) Ta có:

sin197° = sin(180° + 17°) = ‒sin17°.

sin73° = sin(90° ‒ 17°) = cos17°.

cos163° = cos(180° ‒ 17°) = ‒cos17°.

Suy ra:

sin 17°sin197° + sin73°cos163°

= sin 17°.(‒sin17°) + cos17°.(‒cos17°)

= ‒(sin²17° + cos²17°) = ‒1.

b) $\frac{1}{1-\text{tan}145°}+\frac{1}{1+\text{tan}55°}$

$=\frac{1}{1+\text{cot}55°}+\frac{1}{1+\text{tan}55°}$

$=\frac{1}{1+\frac{1}{\text{tan}55°}}+\frac{1}{1+\text{tan}55°}$

$=\frac{\text{tan}55°}{1+\text{tan}55°}+\frac{1}{1+\text{tan}55°}$

$=\frac{\text{tan}55°+1}{1+\text{tan}55°}=1$

Bài 9 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1:

a) Cho tanα + cotα = 2. Tính giá trị của biểu thức tan³α +cot³α.

b) Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{4}.$ Tính giá trị của sinαcosα.

c) Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}.$Tính giá tị của biểu thức sin³α + cos³α.

Lời giải:

a) tan³α + cot³α = (tanα + cotα)³ ‒ 3tanαcotα(tanα + cotα)

= (tanα + cotα)³ ‒ 3 (tanα + cotα) (*)

Thay tanα + cotα = 2 vào biểu thức (*) ta có: 2³ ‒ 3.2 = 2.

b) (sinα + cosα)² = sin²α + cos²α + 2 sinαcosα = 1 + 2 sinαcosα.

Do đó $\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha =\frac{1}{2}\left[{(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2-1\right]=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{1}{4}\right)}^2-1\right]=-\frac{15}{32}$

c) sin³α + cos³α

= (sinα + cosα)(sin²α ‒ sinαcosα + cos²α)

= (sinα + cosα)(1 ‒ sinαcosα)

Mà $\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha =\frac{1}{2}\left[{(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2-1\right]=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-1\right]=-\frac{3}{8}$, nên

${\text{sin}}^3\alpha +{\text{cos}}^3\alpha =\frac{1}{2}\cdot \left[1-\left(-\frac{3}{8}\right)\right]=\frac{1}{2}\cdot \frac{11}{8}=\frac{11}{16}$

Bài 10 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tanx = 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\frac{3\sin x-4\cos x}{5\sin x+2\cos x};$

b) $\frac{{\sin }^{3}x-2{\cos }^{3}x}{2\sin x+3\cos x}.$

Lời giải:

Vì tanx xác định nên cosx ≠ 0. Chia tử và mẫu của phân thức cho luỹ thừa thích hợp của cosx để biểu diễn biểu thức theo tanx.

a) $\frac{3\text{sin}x-4\text{cos}x}{5\text{sin}x+2\text{cos}x}=\frac{3\cdot \frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}-4}{5\cdot \frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}+2}$$=\frac{3\text{tan}x-4}{5\text{tan}x+2}=\frac{3.2-4}{5.2+2}=\frac{1}{6}$.

b) $\frac{{\text{sin}}^{3}x+2{\text{cos}}^{3}x}{2\text{sin}x+3\text{cos}x}=\frac{\frac{{\text{sin}}^{3}x}{{\text{cos}}^{3}x}+2}{\left(2\frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}+3\right)\cdot \frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}}=\frac{{\text{tan}}^{3}x+2}{\left(2\text{tan}x+3\right)\left({\text{tan}}^{2}x+1\right)}$

$=\frac{2^3+2}{\left(2\cdot 2+3\right)\left(2^2+1\right)}=\frac{2}{7}$

Bài 11 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Độ dài của ngày từ lúc Mặt Trời mọc đến lúc Mặt Trời mọc ở một thành phố X trong ngày thứ t của năm được tính xấp xỉ bởi công thức:

$d\left(t\right)=4\sin \left[\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right]+12$ với t ∈ ℤ và 1 ≤ t ≤ 365.

Thành phố X vào  ngày 31 tháng 1 có bao nhiêu giờ có Mặt Trời chiếu sáng? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải:

Thay t = 31 vào công thức trên ta có:

$d\left(31\right)=4\sin \left[\frac{2\pi }{365}\left(31-80\right)\right]+12\approx \mathrm{9,01}$ (giờ)

Vậy thành phố X vào  ngày 31 tháng 1 có 9,01 giờ có Mặt Trời chiếu sáng.

Xem thêm các bài SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Góc lượng giác

Bài 3: Các công thức lượng giác

Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1 trang 32