Với Giải trang 15 SBT Toán lớp 11 trong Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác Sách bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

 SBT Toán 11 trang 15 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Bài 6 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\sin }^{2}605°+{\sin }^{2}1645°+{\cot }^{2}25°=\frac{1}{{\cos }^{2}65°};$

b) $\frac{\sin 530°}{1+\sin 640°}=\frac{1}{\sin 10°}+\cot 10°.$

Lời giải:

a) sin605° = sin(3.180° + 65°) = ‒sin65°.

sin1645° = sin(9.180° + 25°) = ‒sin25° = ‒sin(90° ‒ 65°) = ‒cos65°.

cot25° = cot(90° ‒ 65°) = tan65°.

sin²605° + sin²1645° + cot²25°

= (‒sin65°)² + (‒cos65°)² + (tan65°)²

= 1 + tan²65°

$=\frac{1}{{\text{cos}}^2{65}^{\circ }}$

b) sin530° = sin(3.180° ‒ 10°) = sin10°.

sin640° = sin(4.180° ‒ 80°) = ‒sin80° = ‒sin(90° ‒ 10°) = ‒cos10°.

$\frac{\text{sin}530°}{1+\text{sin}640°}=\frac{\text{sin}10°}{1-\text{cos}10°}=\frac{{\text{sin}}^{2}10°}{\text{sin}10°\left(1-\text{cos}10°\right)}$

$=\frac{1-{\text{cos}}^{2}10°}{\text{sin}10°\left(1-\text{cos}10°\right)}=\frac{\left(1+\text{cos}10°\right)\left(1-\text{cos}10°\right)}{\text{sin}10°\left(1-\text{cos}10°\right)}$

$=\frac{1+\text{cos}10°}{\text{sin}10°}=\frac{111}{\text{sin}10°}+\text{cot}10°\text{ .}$

Bài 7 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\cos \left(\alpha +\pi \right)+\sin \left(\alpha +\frac{5\pi }{2}\right)-\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\tan \left(\pi -\alpha \right).$

b) $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\sin \left(\beta +\pi \right)-\sin \left(2\pi -\alpha \right)\cos \left(\beta -\frac{\pi }{2}\right).$

Lời giải:

a) $\cos \left(\alpha +\pi \right)+\sin \left(\alpha +\frac{5\pi }{2}\right)-\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\tan \left(\pi -\alpha \right)$

$=-\cos \alpha +\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)-\tan \left[\pi -\left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\right]\tan \alpha$

$=-\cos \alpha +\sin \left[\pi -\left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\right]-\tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\tan \alpha$

$=-\cos \alpha +\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)-\cot \alpha \tan \alpha$

$=-\cos \alpha +\cos \alpha -1=-1.$

b) $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\sin \left(\beta +\pi \right)-\sin \left(2\pi -\alpha \right)\cos \left(\beta -\frac{\pi }{2}\right)$

$=\sin \alpha \left(-\sin \beta \right)-\sin \left(-\alpha \right)\cos \left(\frac{\pi }{2}-\beta \right)$

$=-\sin \alpha \sin \beta +\sin \alpha \sin \beta =0.$

Bài 8 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin 17°sin197° + sin73°cos163°;

b) $\frac{1}{1-\tan 145°}+\frac{1}{1+\tan 55°}.$

Lời giải:

a) Ta có:

sin197° = sin(180° + 17°) = ‒sin17°.

sin73° = sin(90° ‒ 17°) = cos17°.

cos163° = cos(180° ‒ 17°) = ‒cos17°.

Suy ra:

sin 17°sin197° + sin73°cos163°

= sin 17°.(‒sin17°) + cos17°.(‒cos17°)

= ‒(sin²17° + cos²17°) = ‒1.

b) $\frac{1}{1-\text{tan}145°}+\frac{1}{1+\text{tan}55°}$

$=\frac{1}{1+\text{cot}55°}+\frac{1}{1+\text{tan}55°}$

$=\frac{1}{1+\frac{1}{\text{tan}55°}}+\frac{1}{1+\text{tan}55°}$

$=\frac{\text{tan}55°}{1+\text{tan}55°}+\frac{1}{1+\text{tan}55°}$

$=\frac{\text{tan}55°+1}{1+\text{tan}55°}=1$

Bài 9 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1:

a) Cho tanα + cotα = 2. Tính giá trị của biểu thức tan³α +cot³α.

b) Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{4}.$ Tính giá trị của sinαcosα.

c) Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}.$Tính giá tị của biểu thức sin³α + cos³α.

Lời giải:

a) tan³α + cot³α = (tanα + cotα)³ ‒ 3tanαcotα(tanα + cotα)

= (tanα + cotα)³ ‒ 3 (tanα + cotα) (*)

Thay tanα + cotα = 2 vào biểu thức (*) ta có: 2³ ‒ 3.2 = 2.

b) (sinα + cosα)² = sin²α + cos²α + 2 sinαcosα = 1 + 2 sinαcosα.

Do đó $\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha =\frac{1}{2}\left[{(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2-1\right]=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{1}{4}\right)}^2-1\right]=-\frac{15}{32}$

c) sin³α + cos³α

= (sinα + cosα)(sin²α ‒ sinαcosα + cos²α)

= (sinα + cosα)(1 ‒ sinαcosα)

Mà $\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha =\frac{1}{2}\left[{(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2-1\right]=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-1\right]=-\frac{3}{8}$, nên

${\text{sin}}^3\alpha +{\text{cos}}^3\alpha =\frac{1}{2}\cdot \left[1-\left(-\frac{3}{8}\right)\right]=\frac{1}{2}\cdot \frac{11}{8}=\frac{11}{16}$

Bài 10 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tanx = 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\frac{3\sin x-4\cos x}{5\sin x+2\cos x};$

b) $\frac{{\sin }^{3}x-2{\cos }^{3}x}{2\sin x+3\cos x}.$

Lời giải:

Vì tanx xác định nên cosx ≠ 0. Chia tử và mẫu của phân thức cho luỹ thừa thích hợp của cosx để biểu diễn biểu thức theo tanx.

a) $\frac{3\text{sin}x-4\text{cos}x}{5\text{sin}x+2\text{cos}x}=\frac{3\cdot \frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}-4}{5\cdot \frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}+2}$$=\frac{3\text{tan}x-4}{5\text{tan}x+2}=\frac{3.2-4}{5.2+2}=\frac{1}{6}$.

b) $\frac{{\text{sin}}^{3}x+2{\text{cos}}^{3}x}{2\text{sin}x+3\text{cos}x}=\frac{\frac{{\text{sin}}^{3}x}{{\text{cos}}^{3}x}+2}{\left(2\frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}+3\right)\cdot \frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}}=\frac{{\text{tan}}^{3}x+2}{\left(2\text{tan}x+3\right)\left({\text{tan}}^{2}x+1\right)}$

$=\frac{2^3+2}{\left(2\cdot 2+3\right)\left(2^2+1\right)}=\frac{2}{7}$

Bài 11 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Độ dài của ngày từ lúc Mặt Trời mọc đến lúc Mặt Trời mọc ở một thành phố X trong ngày thứ t của năm được tính xấp xỉ bởi công thức:

$d\left(t\right)=4\sin \left[\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right]+12$ với t ∈ ℤ và 1 ≤ t ≤ 365.

Thành phố X vào  ngày 31 tháng 1 có bao nhiêu giờ có Mặt Trời chiếu sáng? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải:

Thay t = 31 vào công thức trên ta có:

$d\left(31\right)=4\sin \left[\frac{2\pi }{365}\left(31-80\right)\right]+12\approx \mathrm{9,01}$ (giờ)

Vậy thành phố X vào  ngày 31 tháng 1 có 9,01 giờ có Mặt Trời chiếu sáng.