Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: 4cosxcos (pi/3 - x) cos(pi/3 +x) = cos3x

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: 4cosxcos (pi/3 - x) cos(pi/3 +x) = cos3x

Ngọc Nguyễn Ngày: 13-03-2024 Lớp 11

320

Với Giải Bài 4 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1 trong Bài 3: Các công thức lượng giác Sách bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: 4cosxcos (pi/3 - x) cos(pi/3 +x) = cos3x

Bài 4 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $4 \cos x \cos (\frac{π}{3} - x) \cos (\frac{π}{3} + x) = \cos 3 x;$

b) $\frac{\sin 2 x \cos x}{(1 + \cos x) (1 + \cos 2 x)} = \tan \frac{x}{2};$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x) = sin7x;

d) $\frac{\sin^{2} 3 x}{\sin^{2} x} - \frac{\cos^{2} 3 x}{{cos}^{2} x} = 8 \cos 2 x .$

Lời giải:

a) $4 cos x cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x) = 2 cos x (cos 2 x + cos \frac{2 π}{3})$

$= 2 cos x cos 2 x + 2 cos x cos \frac{2 π}{3}$

$= cos x + cos 3 x + 2 cos x \cdot (- \frac{1}{2})$

$= cos x + cos 3 x + 2 cos x \cdot (- \frac{1}{2})$

$= cos x + cos 3 x - cos x = cos 3 x .$

b) $\frac{sin 2 x cos x}{(1 + cos x) (1 + cos 2 x)} = \frac{(2 sin x cos x) cos x}{(1 + 2 {cos}^{2} \frac{x}{2} - 1) (1 + 2 {cos}^{2} x - 1)}$

$= \frac{2 sin x {cos}^{2} x}{4 {cos}^{2} \frac{x}{2} {cos}^{2} x}$

$= \frac{sin x}{2 {cos}^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}}{2 {cos}^{2} \frac{x}{2}} = \frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} = tan \frac{x}{2} .$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x)

= sinx + 2sinxcos2x + 2sinxcos4x + 2sinxcos6x

= sinx + [sin(‒x) + sin3x] + [sin(‒3x) + sin5x] + [sin(‒5x) + sin7x]

= sinx + (‒sinx + sin3x) + (‒sin3x + sin5x) + (‒sin5x + sin7x)

= sin7x.

d)

$\frac{{sin}^{2} 3 x}{{sin}^{2} x} - \frac{{cos}^{2} 3 x}{{cos}^{2} x} = \frac{{sin}^{2} 3 x {cos}^{2} x - {cos}^{2} 3 x {sin}^{2} x}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x} = \frac{{(sin 3 x cos x)}^{2} - {(cos 3 x sin x)}^{2}}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x}$

$= \frac{(sin 3 x cos x + cos 3 x sin x) (sin 3 x cos x - cos 3 x sin x)}{\frac{1}{4} {sin}^{2} 2 x}$

$= \frac{4 sin 4 x sin 2 x}{{sin}^{2} 2 x} = \frac{4 (2 sin 2 x cos 2 x) sin 2 x}{{sin}^{2} 2 x}$

$= \frac{8 {sin}^{2} 2 x cos 2 x}{{sin}^{2} 2 x} = 8 cos 2 x .$

Xem thêm các bài SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Không dùng máy tính cầm tay. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) $\sin \frac{19 π}{24} \cos \frac{37 π}{24};$

Bài 2 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\cos α = \frac{11}{61}$ và $- \frac{π}{2} < α < 0,$ tính giá trị của cac biểu thức sau: a) $\sin (\frac{π}{6} - α);$

Bài 3 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) sinxcos⁵x ‒ cosxsin⁵x;

Bài 4 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) $4 \cos x \cos (\frac{π}{3} - x) \cos (\frac{π}{3} + x) = \cos 3 x;$

Bài 5 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) $\sin^{2} x + \cos (\frac{π}{3} + x) \cos (\frac{π}{3} + x);$

Bài 6 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC = 0;

Bài 7 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sinα + cosα = m. Tìm m để sin2a = -3/4

Bài 8 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sina = 3/5, cos b = 12/13 và 0° < α, β < 90°. Tính giá trị của biểu thức sin(α + β) và cos(α ‒ β)

Bài 9 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin6°cos12°cos24°cos48°;

Bài 10 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình dao động điều hòa của một vật tại thời điểm t giây được cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó x(t) (cm) là li độ của một vật tại thời điểm t giây, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [‒π; π] là pha ban đầu của dao động.Xét hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là

Xem thêm các bài SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1 trang 32

Bài 1: Dãy số

Từ khóa :

Giải bài tập Toán 11

Đánh giá

0

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 6

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung

Toán 6 ( Kết nối tri thức): Luyện tập chung Mai Hương

224

Toán Lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6

Bài 5.16 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

261

Toán Lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6

Bài 5.15 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

282

Toán Lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6

Bài 5.14 trang 109 Toán 6 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 6 Mai Hương

233

Tìm kiếm

Bài Viết Xem Nhiều

Bài Viết Cùng Lớp

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK

- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền

- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.

2021 © All Rights Reserved.