SBT Toán 11 trang 19 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Ngọc Nguyễn Ngày: 09-10-2023 Lớp 11

219

Với Giải trang 19 SBT Toán lớp 11 trong Bài 3: Các công thức lượng giác Sách bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

SBT Toán 11 trang 19 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Bài 1 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Không dùng máy tính cầm tay. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sin \frac{19 π}{24} \cos \frac{37 π}{24};$

b) $\cos \frac{41 π}{12} - \cos \frac{13 π}{12};$

c) $\frac{\tan \frac{π}{7} + \tan \frac{3 π}{28}}{1 + \tan \frac{6 π}{7} \tan \frac{3 π}{28}};$

Lời giải

a) $sin \frac{19 π}{24} cos \frac{37 π}{24} = \frac{1}{2} [sin (\frac{19 π}{24} - \frac{37 π}{24}) + sin (\frac{19 π}{24} + \frac{37 π}{24})]$

$= \frac{1}{2} [sin (- \frac{3 π}{4}) + sin \frac{7 π}{3}] = \frac{1}{2} (- sin \frac{3 π}{4} + sin \frac{π}{3})$

$= \frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{4} .$

b) $cos \frac{41 π}{12} - cos \frac{13 π}{12} = - 2 sin \frac{\frac{41 π}{12} + \frac{13 π}{12}}{2} sin \frac{\frac{41 π}{12} - \frac{13 π}{12}}{2}$ $= - 2 sin \frac{9 π}{4} sin \frac{7 π}{6}$

$= 2 sin \frac{π}{4} sin \frac{π}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

c) $\frac{tan \frac{π}{7} + tan \frac{3 π}{28}}{1 + tan \frac{6 π}{7} tan \frac{3 π}{28}} = \frac{tan \frac{π}{7} + tan \frac{3 π}{28}}{1 + tan (π - \frac{π}{7}) tan \frac{3 π}{28}} = \frac{tan \frac{π}{7} + tan \frac{3 π}{28}}{1 - tan \frac{π}{7} tan \frac{3 π}{28}}$

$= tan (\frac{π}{7} + \frac{3 π}{28}) = tan \frac{π}{4} = 1.$

Bài 2 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\cos α = \frac{11}{61}$ và $- \frac{π}{2} < α < 0,$ tính giá trị của cac biểu thức sau:

a) $\sin (\frac{π}{6} - α);$

b) $\cot (α + \frac{π}{4});$

c) $\cos (2 α + \frac{π}{3});$

d) $\tan (\frac{3 π}{4} - 2 α)$

Lời giải:

a) Vì $- \frac{π}{2} < α < 0$ nên sinα < 0.

Do đó, $sin α = - \sqrt{1 - {cos}^{2} α} = - \sqrt{1 - {(\frac{11}{61})}^{2}} = - \frac{60}{61}$ .

Suy ra

$sin (\frac{π}{6} - α) = sin \frac{π}{6} cos α - cos \frac{π}{6} sin α = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{61} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \frac{60}{61}) = \frac{11 + 60 \sqrt{3}}{122} .$

b) Ta có $tan α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{- \frac{60}{61}}{\frac{11}{61}} = - \frac{60}{11} .$

Do đó $cot (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{tan (α + \frac{π}{4})}$ $= \frac{1 - tan α tan \frac{π}{4}}{tan α + tan \frac{π}{4}} = \frac{1 - (- \frac{60}{11}) \cdot 1}{(- \frac{60}{11}) + 1} = - \frac{71}{49} .$

c) Ta có: $cos 2 α = 2 {cos}^{2} α - 1 = 2 \cdot {(\frac{11}{61})}^{2} - 1 = - \frac{3479}{3721}$

$sin 2 α = 2 sin α cos α = 2 \cdot (- \frac{60}{61}) \cdot \frac{11}{61} = - \frac{1320}{3721} .$

Suy ra:

$cos (2 α + \frac{π}{3}) = cos 2 α cos \frac{π}{3} - sin 2 α sin \frac{π}{3} = - \frac{3479}{3721} \cdot \frac{1}{2} - (- \frac{1320}{3721}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$= \frac{- 3479 + 1320 \sqrt{3}}{7442}$

d) Ta có $tan 2 α = \frac{sin 2 α}{cos 2 α} = \frac{- \frac{1320}{3721}}{- \frac{3479}{3721}} = \frac{1320}{3479}$ .

Suy ra: $tan (\frac{3 π}{4} - 2 α) = \frac{tan \frac{3 π}{4} - tan 2 α}{1 + tan \frac{3 π}{4} tan 2 α} = \frac{- 1 - \frac{1320}{3479}}{1 + (- 1) \cdot \frac{1320}{3479}} = - \frac{4799}{2159}$ .

Bài 3 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) sinxcos⁵x ‒ cosxsin⁵x;

b) $\frac{\sin 3 x \cos 2 x + \sin x \cos 6 x}{\sin 4 x};$

c) $\frac{\cos x - \cos 2 x + \cos 3 x}{s inx - \sin 2 x + \sin 3 x};$

d) $\frac{2 \sin (x + y)}{\cos (x + y) + \cos (x - y)} - \tan y .$

Lời giải:

a) sinxcos⁵x ‒ cosxsin⁵x = sinxcosx(cos⁴x ‒ sin⁴x)

$= \frac{1}{2} sin 2 x ({cos}^{2} x - {sin}^{2} x) ({cos}^{2} x + {sin}^{2} x)$

$= \frac{1}{2} sin 2 x cos 2 x = \frac{1}{4} sin 4 x .$

b) $\frac{sin 3 x cos 2 x + sin x cos 6 x}{sin 4 x} = \frac{\frac{1}{2} (sin x + sin 5 x) + \frac{1}{2} [sin (- 5 x) + sin 7 x]}{sin 4 x}$

$= \frac{sin x + sin 5 x - sin 5 x + sin 7 x}{2 sin 4 x} = \frac{sin x + sin 7 x}{2 sin 4 x}$

$= \frac{2 sin 4 x cos 3 x}{2 sin 4 x} = cos 3 x .$

$c) \frac{cos x - cos 2 x + cos 3 x}{sin x - sin 2 x + sin 3 x} = \frac{(cos x + cos 3 x) - cos 2 x}{(sin x + sin 3 x) - sin 2 x}$

$= \frac{2 cos 2 x cos x - cos 2 x}{2 sin 2 x cos x - sin 2 x}$

$= \frac{cos 2 x (2 cos x - 1)}{sin 2 x (2 cos x - 1)} = \frac{cos 2 x}{sin 2 x} = cot 2 x .$

d) $\frac{2 sin (x + y)}{cos (x + y) + cos (x - y)} - tan y = \frac{2 (sin x cos y + cos x sin y)}{2 cos x cos y} - tan y$

$= \frac{sin x}{cos x} + \frac{sin y}{cos y} - \tan y = \tan x + \tan y - \tan y = \tan x .$

Bài 4 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $4 \cos x \cos (\frac{π}{3} - x) \cos (\frac{π}{3} + x) = \cos 3 x;$

b) $\frac{\sin 2 x \cos x}{(1 + \cos x) (1 + \cos 2 x)} = \tan \frac{x}{2};$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x) = sin7x;

d) $\frac{\sin^{2} 3 x}{\sin^{2} x} - \frac{\cos^{2} 3 x}{{cos}^{2} x} = 8 \cos 2 x .$

Lời giải:

a) $4 cos x cos (\frac{π}{3} - x) cos (\frac{π}{3} + x) = 2 cos x (cos 2 x + cos \frac{2 π}{3})$

$= 2 cos x cos 2 x + 2 cos x cos \frac{2 π}{3}$

$= cos x + cos 3 x + 2 cos x \cdot (- \frac{1}{2})$

$= cos x + cos 3 x - cos x = cos 3 x .$

b) $\frac{sin 2 x cos x}{(1 + cos x) (1 + cos 2 x)} = \frac{(2 sin x cos x) cos x}{(1 + 2 {cos}^{2} \frac{x}{2} - 1) (1 + 2 {cos}^{2} x - 1)}$

$= \frac{2 sin x {cos}^{2} x}{4 {cos}^{2} \frac{x}{2} {cos}^{2} x}$

$= \frac{sin x}{2 {cos}^{2} \frac{x}{2}} = \frac{2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}}{2 {cos}^{2} \frac{x}{2}} = \frac{sin \frac{x}{2}}{cos \frac{x}{2}} = tan \frac{x}{2} .$

c) sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x)

= sinx + 2sinxcos2x + 2sinxcos4x + 2sinxcos6x

= sinx + [sin(‒x) + sin3x] + [sin(‒3x) + sin5x] + [sin(‒5x) + sin7x]

= sinx + (‒sinx + sin3x) + (‒sin3x + sin5x) + (‒sin5x + sin7x)

= sin7x.

$\frac{{sin}^{2} 3 x}{{sin}^{2} x} - \frac{{cos}^{2} 3 x}{{cos}^{2} x} = \frac{{sin}^{2} 3 x {cos}^{2} x - {cos}^{2} 3 x {sin}^{2} x}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x} = \frac{{(sin 3 x cos x)}^{2} - {(cos 3 x sin x)}^{2}}{{sin}^{2} x {cos}^{2} x}$