Với Giải trang 20 SBT Toán lớp 11 trong Bài 3: Các công thức lượng giác Sách bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

 SBT Toán 11 trang 20 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Bài 5 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) ${\sin }^{2}x+\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right);$

b) $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\cos \left(x+\frac{3\pi }{4}\right).$

Lời giải:

a) 

$$\begin{gathered} {\text{sin}}^{2}x+\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}-x\right)\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}+x\right) \\ ={\text{sin}}^{2}x+\frac{1}{2}\left(\text{cos}2x+\text{cos}\frac{2\pi }{3}\right) \end{gathered}$$

$={\text{sin}}^{2}x+\frac{1}{2}\left(1-2{\text{sin}}^{2}x-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$

Vậy giá trị của biểu thức ${\text{sin}}^{2}x+\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}-x\right)\text{cos}\left(\frac{\pi }{3}+x\right)$ không phụ thuộc vào giá trị của x.

b) $\text{cos}\left(x-\frac{\pi }{3}\right)\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{6}\right)\text{cos}\left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$

$=\frac{1}{2}\left[\text{cos}\frac{7\pi }{12}+\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}\right)\right]+\frac{1}{2}\left[\text{cos}\frac{7\pi }{12}+\text{cos}\left(2x+\frac{11\pi }{12}\right)\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}\right)+\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}+\pi \right)\right]+\text{cos}\frac{7\pi }{12}$

$=\frac{1}{2}\left[\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}\right)-\text{cos}\left(2x-\frac{\pi }{12}\right)\right]+\text{cos}\frac{7\pi }{12}=\text{cos}\frac{7\pi }{12}.$

Vậy giá trị của biễu thức $\text{cos}\left(x-\frac{\pi }{3}\right)\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\text{cos}\left(x+\frac{\pi }{6}\right)\text{cos}\left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$ không phụ thuộc vào giá trị của x.

Bài 6 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC = 0;

b) $\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}+\sin \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}=\cos \frac{A}{2}.$

Lời giải:

Vì tổng số đo ba góc của một tam giác bằng 180° nên A + B + C = 180°.

Suy ra $\frac{A+B+C}{2}={90}^{\circ }$, hay $\frac{B}{2}+\frac{C}{2}={90}^{\circ }-\frac{A}{2}$.

a) cosAcosB ‒ sinAsinB + cosC

= cos(A + B) + cosC

= cos(180° ‒ C) + cosC

= ‒cosC + cosC = 0.

b) 

$$\begin{gathered} \text{cos}\frac{B}{2}\text{sin}\frac{C}{2}+\text{sin}\frac{B}{2}\text{cos}\frac{C}{2}=\text{sin}\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right) \\ =\text{sin}\left(90°-\frac{A}{2}\right)=\text{cos}\frac{A}{2}. \end{gathered}$$

Bài 7 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho sinα + cosα = m. Tìm m để $\sin 2\alpha =-\frac{3}{4}.$

Lời giải:

Ta có $\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha =\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\text{sin}\alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}\text{cos}\alpha \right)=\sqrt{2}\text{sin}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$

Vì $-1\le \text{sin}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}\le \text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha \le \sqrt{2}$. Suy ra $-\sqrt{2}\le m\le \sqrt{2}$

Ta lại có ${(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2={\text{sin}}^2\alpha +2\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha +{\text{cos}}^2\alpha =1+\text{sin}2\alpha$

Suy ra $\text{sin}2\alpha ={(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2-1=m^2-1$

Khi đó, $\text{sin}2\alpha =-\frac{3}{4}$ hay $m^2-1=-\frac{3}{4}$, suy ra $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$(thoả mãn điều kiện).

Vậy $m=\frac{1}{2}$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$

Bài 8 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin \alpha =\frac{3}{5},$, $\cos \beta =\frac{12}{13}$ và 0° < α, β < 90°. Tính giá trị của biểu thức sin(α + β) và cos(α ‒ β).

Lời giải:

Vì 0° < α < 90° nên cosα > 0. Do đó, $\text{cos}\alpha =\sqrt{1-{\text{sin}}^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}.$

Vì 0° < β < 90° nên sinβ > 0. Do đó, $\text{sin}\beta =\sqrt{1-{\text{cos}}^2\beta }=\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}=\frac{5}{13}.$

Khi đó,

 $$\begin{gathered} \text{sin}\left(\alpha +\beta \right)=\text{sin}\alpha \text{cos}\beta +\text{cos}\alpha \text{sin}\beta \\ =\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{56}{65} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{cos}\left(\alpha -\beta \right)=\text{cos}\alpha \text{cos}\beta +\text{sin}\alpha \text{sin}\beta \\ =\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{63}{65} \end{gathered}$$

Bài 9 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin6°cos12°cos24°cos48°;

b) cos68°cos78° + cos22°cos12° + cos190°.

Lời giải:

a) Đặt A = sin6°cos12°cos24°cos48°. Ta có:

cos6°.A = cos6°. sin6°cos12°cos24°cos48°

$=\frac{1}{2}\text{sin}{12}^{\circ }\text{cos}{12}^{\circ }\text{cos}{24}^{\circ }\text{cos}{48}^{\circ }$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{4}\text{sin}24°\text{cos}24°\text{cos}48° \\ =\frac{1}{8}\text{sin}48°\text{cos}48° \\ =\frac{1}{16}\text{sin96}°=\frac{1}{16}\text{cos}6° \end{gathered}$$

Suy ra $A=\frac{1}{16}.$

b) cos68°cos78° + cos22°cos12° + cos190°.

= cos(90° ‒ 22°)cos(90° ‒ 12°) + cos22°cos12° + cos(180° + 10°)

= sin22°sin12° + cos22°cos12° + cos10°

= (sin22°sin12° + cos22°cos12°) + cos10°

= cos(22° ‒ 12°) + cos10°

= cos10° ‒ cos10° = 0.

Bài 10 trang 20 SBT Toán 11 Tập 1: Phương trình dao động điều hòa của một vật tại thời điểm t giây được cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó x(t) (cm) là li độ của một vật tại thời điểm t giây, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [‒π; π] là pha ban đầu của dao động.Xét hai dao động điều hòa có phương trình lần lượt là:

$x_1\left(t\right)=3\cos \left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)$ (cm) và $x_2\left(t\right)=3\cos \left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)$(cm).

a) Xác định phương trình dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t).

b) Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp trên.

Lời giải:

a) Ta có $x\left(t\right)=x_1\left(t\right)+x_2\left(t\right)=3\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)+3\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)$

$=3\cdot 2\text{cos}\frac{\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)+\left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)}{2}\text{cos}\frac{\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{3}\right)-\left(\frac{\pi }{4}t-\frac{\pi }{6}\right)}{2}$

$=6\text{cos}\frac{\frac{\pi }{2}t+\frac{\pi }{6}}{2}\text{cos}\frac{\frac{\pi }{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{12}\right)$

Vậy phương trình của dao động tổng hợp là $x\left(t\right)=3\sqrt{2}\text{cos}\left(\frac{\pi }{4}t+\frac{\pi }{12}\right)$

b) Dao động tổng hợp trên có biên độ là $A=3\sqrt{2}\text{ cm}$ và pha ban đầu là $\phi =\frac{\pi }{12}$