SBT Toán 11 trang 16 Tập 1 (Cánh Diều)

Ngọc Nguyễn Ngày: 12-11-2023 Lớp 11

166

Với Giải trang 16 Tập 1 SBT Toán lớp 11 trong Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác Sách bài tập Toán lớp 11 Cánh Diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán lớp 11.

SBT Toán 11 trang 16 Tập 1 (Cánh Diều)

Bài 28 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos(a + 2b) = 2cos a. Chứng minh rằng: tan(a + b) tan b = $\frac{- 1}{3}$ .

Lời giải:

Ta có cos(a + 2b) = 2cos a

⇔ cos[(a + b) + b] = 2cos[(a + b) – b]

⇔ cos(a + b) . cos b – sin(a + b) . sin b = 2[cos(a + b) . cos b + sin(a + b) . sin b]

⇔ cos(a + b) . cos b – 2 cos(a + b) . cos b = 2 sin(a + b) . sin b + sin(a + b) . sin b

⇔ – cos(a + b) . cos b = 3 sin(a + b) . sin b

⇔ sin(a + b) . sin b = $- \frac{1}{3}$ cos(a + b) . cos b

$\Leftrightarrow \frac{\sin (a + b) \sin b}{\cos (a + b) \cos b} = - \frac{1}{3}$

⇔ tan(a + b) tan b = $\frac{- 1}{3}$ .

Bài 29 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

a) tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C (với điều kiện tam giác ABC không vuông);

b) $\tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} . \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} . \tan \frac{A}{2} = 1$ .

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC không vuông nên A, B, C khác $\frac{π}{2}$ , do đó tan A, tan B, tan C xác định.

Do A + B + C = π nên A + B = π – C, do đó tan(A + B) = tan(π – C) = tan(– C) = – tanC.

Mà $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ .

Khi đó $\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = - \tan C$

⇔ tan A + tan B = – tan C . (1 – tan A . tan B)

⇔ tan A + tan B = – tan C + tan A . tan B . tan C

⇔ tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C.

b) Ta có $\frac{A + B + C}{2} = \frac{π}{2}$ , suy ra $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{π}{2} - \frac{C}{2}$ nên $\tan (\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \cot \frac{C}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}$

$\Leftrightarrow (\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}) \tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2}$

$\Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2} . \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2} = 1$

$\Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} . \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} . \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} . \tan \frac{A}{2} = 1$ .

Bài 30 trang 16 SBT Toán 11 Tập 1: Trên một mảnh đất hình vuông ABCD, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc C. Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia AM và AN, ở đó các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh BC, CD sao cho BM = $\frac{1}{2}$ BC, DN = $\frac{1}{3}$ DC (Hình 4).

a) Tính $\tan (\hat{B A M} + \hat{D A N})$ .

b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?

SBT Toán 11 (Cánh diều) Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác (ảnh 1)

Hình 4

Lời giải:

a) Trong tam giác vuông ABM, có $\tan \hat{B A M} = \frac{B M}{B A} = \frac{1}{2}$ .

Trong tam giác vuông ADN, có $\tan \hat{D A N} = \frac{D N}{A D} = \frac{D N}{D C} = \frac{1}{3}$ .

Do đó, $\tan (\hat{B A M} + \hat{D A N})$ $= \frac{\tan \hat{B A M} + \tan \hat{D A N}}{1 - \tan \hat{B A M} . \tan \hat{D A N}}$ $= \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} . \frac{1}{3}} = 1$ .