Toptailieu.vn biên soạn và giới thiệu Top 30 Đề thi Học kì 2 Toán 10 (Chân trời sáng tạo 2024) có đáp án gồm các đề thi được tuyển chọn và tổng hợp từ các đề thi môn Toán THPT trên cả nước có hướng dẫn giải chi tiết giúp học sinh làm quen với các dạng đề, ôn luyện để đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. Mời các bạn đón xem:

Top 30 Đề thi Học kì 2 Toán 10 (Chân trời sáng tạo 2024) có đáp án

Đề thi Học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo (Có đáp án) - Đề số 01

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 2 Toán 10

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán học 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

I. TRẮC NGHIỆM (4,0 điểm) Chọn đáp án đúng trong mỗi câu sau:

Câu 1 (TH): Cho hai số a,b thỏa mãn $\frac{a^2+b^2}{2}\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. $a<b$

B. $a>b$

C. $a=b$

D. $a\ne b$

Câu 2 (VD): Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x+2019}{x-2019}$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A. $f\left(x\right)>0\iff x>2019$

 B. $f\left(x\right)>0\iff f\left(x\right)>-2019$

C. $f\left(x\right)<0\iff [\begin{array}{l}x<-2019\\ x>2019\end{array}$

 D. $f\left(x\right)<0\iff -2019<x<2019$

Câu 3 (NB): Điều kiện xác định của bất phương trình $2018\sqrt{x+2}>2019x^2+\frac{1}{x-2}$ là:

A. $x\ge -2$

B. $x>2$

C. $x\ge -2$ và $x\ne 2$

D. $x\ge 2$

Câu 4 (VD): Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\left(m+1\right)x^2-2\left(m+2\right)+m+4=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ và $x_1+x_2+x_1{x}_2<2$.

A. $m<-6$

B. $-6<m<-1$

C. $-\frac{8}{3}<m<-1$

D. Không tồn tại m

Câu 5 (TH): Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x-3\ge m\\ \left(m-2\right)x\le 3m-3\end{array}$ có nghiệm duy nhất ?

A. $2$

B. $1$

C. $0$

D. Đáp án khác

Câu 6 (TH): Kết quả điểm kiểm tra môn Toán trong một kỳ thi của 200 em học sinh được trình bày ở bảng sau:

Số trung vị của bảng phân bố tần suất nói trên là:

A. $8$                              

B. $7$                     

C. $6$                                        

D. Đáp án khác

Câu 7 (NB): Chọn công thức sai trong các công thức sau:

A. $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$

B. $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$

C. $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$

D. $\cos a-\cos b=2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$

Câu 8 (VD): Rút gọn biểu thức $M=\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$

A. $M=\cos x+\sin x$

B. $M=\sqrt{2}\cos x$

C. $M=0$

D. $M=\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x$

Câu 9 (VD): Cho $\sin a=\frac{4}{5},\cos b=\frac{8}{17}$ với $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ và $0<b<\frac{\pi }{2}$. Giá trị của $\sin \left(a+b\right)$ bằng:

A. $-\frac{13}{85}$

B. $\frac{77}{85}$

C. $-\frac{77}{85}$

D. $\frac{13}{85}$

Câu 10 (TH): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng $d:x+5y-2019=0$. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. $\overrightarrow{n}=\left(1;5\right)$ là một vectơ pháp tuyến của d

B. $\overrightarrow{u}=\left(-5;1\right)$ là một vectơ chỉ phương của d 

C. d có hệ số góc $k=5$

D. d song song với đường thẳng $\mathrm{\Delta }:x+5y=0$

Câu 11 (NB): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm $A\left(0;2\right),B\left(-3;0\right)$. Phương trình đường thẳng AB là:

A. $\frac{x}{2}+\frac{y}{-3}=1$

B. $\frac{x}{-3}+\frac{y}{2}=1$

C. $\frac{x}{3}+\frac{y}{-2}=1$

D. $\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}=1$

Câu 12 (VD): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình $d_1:5x-6y-4=0$, $d_2:x+2y-4=0$ và $d_3:mx-\left(2m-1\right)y+9m-19=0$ (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.

A. $m=1$.

B. $m=-1$.

C. $m=-2$.

D. $m=2$.

Câu 13 (VD): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm $A\left(1;1\right),B\left(-2;4\right)$ và đường thẳng $\mathrm{\Delta }:mx-y+3=0$. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để $\mathrm{\Delta }$ cách đều 2 điểm A, B.

A. $[\begin{array}{l}m=1\\ m=-2\end{array}$

B. $[\begin{array}{l}m=-1\\ m=2\end{array}$

C. $[\begin{array}{l}m=-1\\ m=1\end{array}$

D. $[\begin{array}{l}m=2\\ m=-2\end{array}$

Câu 14 (VD): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:3x+4y-5=0$ và điểm $I\left(2;1\right)$. Đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có phương trình là:

A. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1$

B. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=\frac{1}{25}$

C. ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1$

D. ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=\frac{1}{25}$

Câu 15 (VD): Cho Elip $\left(E\right)$ có độ dài trục lớn bằng 12, độ dài trục bé bằng tiêu cự. Phương trình chính tắc của $\left(E\right)$ là:

A. $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{72}=1$

B. $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{18}=1$

C. $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{36}=1$

D. $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{144}=1$

Câu 16 (VD): Cho đường tròn $\left(C\right)$ có phương trình ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=1$. Điều kiện của m để qua điểm $A\left(m;1-m\right)$ kẻ được 2 tiếp tuyến với $\left(C\right)$ tạo với nhau một góc ${90}^o$ là:

A. $[\begin{array}{l}m=1\\ m=3\end{array}$

B. $m=0$

C. $[\begin{array}{l}m=-1\\ m=-3\end{array}$

D. Không có giá trị phù hợp

II. PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm – 6,0 điểm)

Bài 1 (VD). (1,5 điểm – 1,5 điểm)

a) Giải hệ bất phương trình sau trên tập số thực : $\{\begin{array}{l}\left(x-3\right)\left(x^2-4x+4\right)\left(x^2+x-2\right)>0\\ \left|x-1\right|<x+1\end{array}$

b) Giải bất phương trình sau trên tập số thực : $\sqrt{-3x^2+7x-2}+x<2$

Bài 2 (VD). (1,5 điểm – 2,0 điểm)

a) Chứng minh đẳng thức: $\frac{2{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)-1}{\cot x-\sin x.\cos x}=2{\tan }^{2}x$ khi các biểu thức đều xác định.

b) Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình $-1\le \frac{x^2-2x-m}{x^2+2x+2019}<2$ nghiệm đúng với mọi số thực x.

Bài 3 (VD). (2,5 điểm – 2,5 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng $d:2x-y-5=0$ và hai điểm $A\left(1;2\right),B\left(4;1\right)$

a) (1 điểm) Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB.

b) (1 điểm)  Viết phương trình đường tròn $\left(C\right)$ có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua 2 điểm A, B.

c) (0,5 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của $\left(C\right)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d^{\prime }:x+y+2019=0$

Bài 4 (VDC). (0,5 điểm – 0 điểm)(Chỉ dành cho các lớp 10 Tin, L₁, L₂, H₁, H₂)

Tính các góc của $\mathrm{\Delta }ABC$ biết

$\left(1+\frac{1}{\sin A}\right)\left(1+\frac{1}{\sin B}\right)\left(1+\frac{1}{\sin C}\right)$$={\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C}}\right)}^3$.

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để biến đổi bất đẳng thức.

Cách giải:

$\begin{array}{l}\frac{a^2+b^2}{2}\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\\ \iff \frac{a^2+b^2}{2}\le \frac{a^2+b^2+2ab}{4}\\ \iff \frac{2a^2+2b^2}{4}-\frac{a^2+b^2+2ab}{4}\le 0\\ \iff \frac{a^2+b^2-2ab}{4}\le 0\\ \iff {\left(a-b\right)}^2\le 0\iff a-b=0\iff a=b\end{array}$

Chọn C.

Câu 2:

Phương pháp:

Giải BPT $f\left(x\right)>0$ để tìm tập nghiệm của bất phương trình.

Cách giải:

$f\left(x\right)=\frac{x+2019}{x-2019}<0$$\iff -2019<x<2019$

Chọn D.

Câu 3:

Phương pháp:

$\sqrt{f\left(x\right)}$ xác định $\iff f\left(x\right)\ge 0$

$\frac{1}{g\left(x\right)}$ xác định $\iff g\left(x\right)\ne 0$

Cách giải:

$2018\sqrt{x+2}>2019x^2+\frac{1}{x-2}$

ĐKXĐ: $\{\begin{array}{l}x+2\ge 0\\ x-2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge -2\\ x\ne 2\end{array}$

Chọn C.

Câu 4:

Phương pháp:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ có 2 nghiệm phân biệt $\iff \mathrm{\Delta }>0$

Sử dụng hệ thức Vi-ét biến đổi và thế vào biểu thức bài cho để giải phương trình tìm m.

Cách giải:

Để phương trình $\left(m+1\right)x^2-2\left(m+2\right)+m+4=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}m+1\ne 0\\ {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={\left(m+2\right)}^2-\left(m+1\right)\left(m+4\right)>0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}m\ne -1\\ m^2+4m+4-m^2-5m-4>0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}m\ne -1\\ -m>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ne -1\\ m<0\end{array}\end{array}$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{2m+4}{m+1}\\ x_1{x}_2=\frac{m+4}{m+1}\end{array}$

Ta có: $x_1+x_2+x_1{x}_2<2$ 

$\begin{array}{l}\iff \frac{2m+4}{m+1}+\frac{m+4}{m+1}<2\\ \iff \frac{m+6}{m+1}<0\iff -6<m<-1\end{array}$

Kết hợp các điều kiện ta được $-6<m<-1$ thỏa mãn bài toán.

Chọn B.

Câu 5:

Phương pháp:

Biến đổi hệ BPT và biện luận.

Cách giải:

+) Với $m=2$ HPT trở thành : $\{\begin{array}{l}x-3\ge 2\\ 0\le 3\end{array}\iff x\ge 5$ không có nghiệm duy nhất.

+) Với $m>2$ ta có : $\{\begin{array}{l}x-3\ge m\\ \left(m-2\right)x\le 3m-3\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x\ge m+3\\ x\le \frac{3m-3}{m-2}\end{array}$

HPT có nghiệm duy nhất $\iff m+3=\frac{3m-3}{m-2}$

$\begin{array}{l}\iff m^2+m-6=3m-3\\ \iff m^2-2m-3=0\\ \iff [\begin{array}{l}m=3\left(tm\right)\\ m=-1\left(ktm\right)\end{array}\end{array}$

+) Với $m<2$ ta có : $\{\begin{array}{l}x-3\ge m\\ \left(m-2\right)x\le 3m-3\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x\ge m+3\\ x\ge \frac{3m-3}{m-2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x\ge m+3\\ x\ge \frac{3m-3}{m-2}\end{array}$

$\Rightarrow$ HPT không có nghiệm duy nhất. 

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn B.

Câu 6:

Phương pháp:

Sắp xếp các số liệu thống kê thành dãy không tăng hoặc không giảm. Số trung vị $M_e$ là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai số đứng giữa nếu dãy số phần tử là chẵn.

Cách giải:

Có 6 phần tử là điểm cuẩ các em học sinh nên $M_e=\frac{x_3+x_4}{2}=\frac{7+8}{2}=7,5.$

Chọn D.

Câu 7:

Phương pháp:

Áp dụng công thức biến tổng thành tích.

Cách giải:

Ta có: $\{\begin{array}{l}\cos a-\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\end{array}$

Vậy D sai.

Chọn D.

Câu 8:

Phương pháp:

Áp dụng công thức: $\{\begin{array}{l}\cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\ \sin \left(a-b\right)=\sin a\cos b-\cos a\sin b\end{array}.$

Cách giải:

$\begin{array}{l}M=\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\\ =\cos x\cos \frac{\pi }{4}-\sin x\sin \frac{\pi }{4}\\ +\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}\\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\\ +\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=0.\end{array}$

Chọn C.

Câu 9:

Phương pháp:

Xác định dấu của $\cos x,\sin x$ dựa vào đường tròn lượng giác từ đó tính bởi công thức ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Sử dụng công thức: $\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.$

Cách giải:

Ta có: $\frac{\pi }{2}<a<\pi \Rightarrow \cos a<0$

$\Rightarrow \cos a=-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}$$=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}$

Ta có: $0<b<\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin b>0$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \sin b=\sqrt{1-{\cos }^{2}b}\\ =\sqrt{1-\frac{64}{289}}=\sqrt{\frac{225}{289}}=\frac{15}{17}\\ \Rightarrow \sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\ =\frac{4}{5}.\frac{8}{17}-\frac{3}{5}.\frac{15}{17}=-\frac{13}{85}.\end{array}$

Chọn A.

Câu 10:

Phương pháp:

Phương trình đường thẳng d có hệ số góc là k có dạng $y=kx+b$

Đường thẳng $ax+by+c=0$ nhận vecto$\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ làm VTPT, nhận vecto $\overrightarrow{u}=\left(-a;b\right)=\left(a;-b\right)$ làm VTCP và song song với đường thẳng có phương trình $ax+by+d=0\left(d\ne c\right).$

Cách giải:

Đường thẳng $d:x+5y-2019=0$ nhận vecto $\overrightarrow{n}=\left(1;5\right)$ làm VTPT và nhận các vecto $\overrightarrow{u}=\left(-5;1\right)=\left(5;-1\right)$ làm VTCP

$\Rightarrow$ Đáp án A và B đúng.

Ta có: $d:x+5y-2019=0$$\iff y=-\frac{1}{5}x+\frac{2019}{5}$ có hệ số góc là $k=-\frac{1}{5}$

$\Rightarrow$ Đáp án C sai.

Chọn C.

Câu 11:

Phương pháp:

Sử dụng phương trình đoạn chắn để viết phương trình đường thẳng $AB.$

Cách giải:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm $A\left(0;2\right),B\left(-3;0\right)$.

Phương trình đường thẳng AB là: $\frac{x}{-3}+\frac{y}{2}=1$

Chọn B.

Câu 12:

Phương pháp:

Tìm giao điểm của $d_1,d_2$ sau đó thay tọa độ giao điểm đó vào phương trình đường thẳng $d_3$ để tìm m.

Cách giải:

Gọi I  là giao điểm của $d_1,d_2$

$\Rightarrow$ Tọa độ I  là nghiệm của hệ phương trình:  $\{\begin{array}{l}5x-6y-4=0\\ x+2y-4=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}$

$\Rightarrow I\left(2;1\right)$

Để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm $\iff I\in d_3$

$\iff 2m-\left(2m-1\right)+9m-19=0$ $\iff 9m-18=0\iff m=2$

Chọn D.

Câu 13:

Phương pháp:

Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:ax+by+c=0$ và điểm $M_0\left(x_0;y_0\right)\Rightarrow d_{\left(M_0;\mathrm{\Delta }\right)}=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$ 

Cách giải:

$\mathrm{\Delta }$ cách đều 2 điểm $A,B\iff d\left(A;\mathrm{\Delta }\right)=d\left(B;\mathrm{\Delta }\right)$

$\begin{array}{l}\iff \frac{\left|m-1+3\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{\left|-2m-4+3\right|}{\sqrt{m^2+1}}\\ \iff \left|m+2\right|=\left|-2m-1\right|\\ \iff [\begin{array}{l}m+2=-2m-1\\ m+2=2m+1\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}3m=-3\\ m=1\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}m=-1\\ m=1\end{array}.\end{array}$

Chọn C.

Câu 14:

Phương pháp:

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc với đường tròn $\left(O,R\right)\iff d\left(O;\mathrm{\Delta }\right)=R.$

Cách giải:

Ta có đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I$ và tiếp xúc với đường thẳng $\mathrm{\Delta }$

$\Rightarrow R=d\left(I;\mathrm{\Delta }\right)=\frac{\left|3.2+4.1-5\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{5}{5}=1$

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn $\left(C\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1.$

Chọn A.

Câu 15:

Phương pháp:

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a^2-b^2=c^2$

Trong đó: trục lớn $A_1{A}_2=2a$; trục nhỏ $B_1{B}_2=2b$; tiêu cự $F_1{F}_2=2c$

 Cách giải:

Theo đề bài, elip $\left(E\right)$ có $\{\begin{array}{l}2a=12\\ 2b=2c\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=6\\ b=c\end{array}$

$\Rightarrow 6^2=b^2+c^2=2b^2\iff b^2=18$

$\Rightarrow$ Phương trình Elip $\left(E\right)$: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{18}=1$

Chọn B.

Câu 16:

Phương pháp:

Chứng minh ABOC là hình vuông từ đó tính OA để suy ra m.

Cách giải:

Từ A kẻ 2 tiếp tuyến $AB,AC$  với $\left(C\right)$

$\left(C\right)$ có tâm $O\left(2;-1\right)$ bán kính $R=1$

Tứ giác ABOC có $\{\begin{array}{l}\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }C={90}^o\\ OB=OC=R\end{array}$

$\Rightarrow$ ABOC là hình vuông (dhnb).

$\Rightarrow AC=OC=R=1\Rightarrow OA=\sqrt{2}$

$\begin{array}{l}\iff \sqrt{{\left(m-2\right)}^2+{\left(1-m+1\right)}^2}=\sqrt{2}\\ \iff 2{\left(m-2\right)}^2=2\iff {\left(m-2\right)}^2=1\\ \iff [\begin{array}{l}m-2=1\\ m-2=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}m=3\\ m=1\end{array}\end{array}$ 

Chọn A.

II. TỰ LUẬN

Bài 1.

Phương pháp:

a) Giải từng BPT và hợp nghiệm. $\left|A\right|<B\iff \{\begin{array}{l}B>0\\ A^2<B^2\end{array}.$

b) $\sqrt{f\left(x\right)}<g\left(x\right)\iff \{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\\ g\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)<g^2\left(x\right)\end{array}$

Cách giải:                                  

a) Giải hệ bất phương trình sau trên tập số thực : $\{\begin{array}{l}\left(x-3\right)\left(x^2-4x+4\right)\left(x^2+x-2\right)>0\\ \left|x-1\right|<x+1\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(x-3\right)\left(x^2-4x+4\right)\left(x^2+x-2\right)>0\\ \iff \left(x-3\right)\left(x^2+x-2\right){\left(x-2\right)}^2>0\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2\\ \left(x-3\right)\left(x^2+x-2\right)>0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ne 2\\ \left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)>0\end{array}\left(I\right)\end{array}$

Đặt $f\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x^2+x-2\right)$ . Ta có bảng:

$\begin{array}{l}+)\left|x-1\right|<x+1\\ \iff \{\begin{array}{l}x+1>0\\ {\left(x-1\right)}^2<{\left(x+1\right)}^2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x>-1\\ x^2-2x+1<x^2+2x+1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x>-1\\ 4x>0\end{array}\iff x>0\left(2\right)\end{array}$ $\Rightarrow \left(I\right)\iff \{\begin{array}{l}x\ne 2\\ [\begin{array}{l}-2<x<1\\ x>3\end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}-2<x<1\\ x>3\end{array}\left(1\right)$  

Từ (1) và (2) hệ bất phương trình đã cho có nghiệm là : $[\begin{array}{l}0<x<1\\ x>3\end{array}.$

b) Giải bất phương trình sau trên tập số thực : $\sqrt{-3x^2+7x-2}+x<2$

$\begin{array}{l}\sqrt{-3x^2+7x-2}+x<2\\ \iff \sqrt{-3x^2+7x-2}<2-x\\ \iff \{\begin{array}{l}-3x^2+7x-2\ge 0\\ 2-x>0\\ -3x^2+7x-2<4-4x+x^2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}\frac{1}{3}\le x\le 2\\ x<2\\ 4x^2-11x+6>0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}\frac{1}{3}\le x<2\\ [\begin{array}{l}x>2\\ x<\frac{3}{4}\end{array}\end{array}\iff \frac{1}{3}\le x<\frac{3}{4}\end{array}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là : $\frac{1}{3}\le x<\frac{3}{4}.$

Bài 2.

Phương pháp:

a) Áp dụng các công thức lượng giác biến đổi vế trái bằng về phải.

b) Cho tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ có biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

-  Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì với mọi $x,f\left(x\right)$ có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu $\mathrm{\Delta }=0$thì $f\left(x\right)$ có nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}$, với mọi $x\ne -\frac{b}{2a},f\left(x\right)$ có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu $\mathrm{\Delta }>0$,$f\left(x\right)$có 2 nghiệm $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$ và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng $\left(x_1;x_2\right)$ và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng $\left(x_1;x_2\right).$

Cách giải:

a) Chứng minh đẳng thức: $\frac{2{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)-1}{\cot x-\sin x.\cos x}=2{\tan }^{2}x$ khi các biểu thức đều xác định.

Ta có:

$\begin{array}{l}VT=\frac{2{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)-1}{\cot x-\sin x.\cos x}\\ =\frac{2{\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)}^2-1}{\frac{\cos x}{\sin x}-\sin x.\cos x}\\ =\frac{2{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)}^2-1}{\frac{\cos x}{\sin x}-\sin x.\cos x}\\ =\frac{{\left(\sin x+\cos x\right)}^2-1}{\frac{\cos x}{\sin x}-\sin x.\cos x}\\ =\frac{2\sin x\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}-\sin x.\cos x}\\ =\frac{2\sin x}{\frac{1}{\sin x}-\sin x}=\frac{2{\sin }^{2}x}{1-{\sin }^{2}x}\\ =\frac{2{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=2{\tan }^{2}x=VP.\end{array}$

 Vậy $\frac{2{\sin }^2\left(x+\frac{\pi }{4}\right)-1}{\cot x-\sin x.\cos x}=2{\tan }^{2}x.$

b) Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình $-1\le \frac{x^2-2x-m}{x^2+2x+2019}<2$ nghiệm đúng với mọi số thực x.

$\begin{array}{l}-1\le \frac{x^2-2x-m}{x^2+2x+2019}<2\\ \iff \{\begin{array}{l}-1\le \frac{x^2-2x-m}{x^2+2x+2019}\\ \frac{x^2-2x-m}{x^2+2x+2019}<2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}-x^2-2x-2019\le x^2-2x-m\\ x^2-2x-m<2x^2+4x+4038\end{array}\\ \left(do{x}^2+2x+2019>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\right)\\ \iff \{\begin{array}{l}2x^2+2019-m\ge 0(1)\\ x^2+6x+m+4038>0(2)\end{array}\end{array}$

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi số thực $x\iff$ (1) và (2) nghiệm đúng với mọi số thực $x$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_1\le 0\\ {\mathrm{\Delta }}_2<0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}-2\left(2019-m\right)\le 0\\ 9-\left(m+4038\right)<0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}2019-m\ge 0\\ -4029-m<0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}m\le 2019\\ m>-4029\end{array}\\ \iff -4029<m\le 2019.\end{array}$

Vậy với $-4029<m\le 2019$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 3.

Phương pháp:

a) Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ đi qua trung điểm $I$ của $AB$ và nhận vecto $\overrightarrow{AB}$ làm VTPT.

b) Gọi $M\left(m;2m-5\right)\in d$ là tâm của đường tròn $\left(C\right)$, lập phương trình tìm m.

c) Viết phương trình đường thẳng qua tâm M song song với đường thẳng d’ từ đó tìm giao của đường thẳng với đường tròn. Hai điểm đó chính là tiếp điểm của hai tiếp tuyến cần tìm.

Cách giải:                                  

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng $d:2x-y-5=0$ và hai điểm $A\left(1;2\right),B\left(4;1\right)$

a) (1 điểm) Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB.

Gọi I là trung điểm của AB $\Rightarrow I\left(\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$

Gọi $\mathrm{\Delta }$ là đường trung trực của AB $\Rightarrow I\in \mathrm{\Delta }$

$\overrightarrow{AB}=\left(3;-1\right)$ là một VTPT của $\mathrm{\Delta }$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }:3\left(x-\frac{5}{2}\right)-\left(y-\frac{3}{2}\right)=0$$\iff 3x-y-6=0$

b) (1 điểm)  Viết phương trình đường tròn $\left(C\right)$ có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua 2 điểm A, B.

Gọi $M\left(m;2m-5\right)\in d$ là tâm của đường tròn $\left(C\right)$

Đường tròn $\left(C\right)$ đi qua $A,B$

$\Rightarrow MA=MB\iff M{A}^2=M{B}^2$

$\begin{array}{l}\iff {\left(1-m\right)}^2+{\left(2-2m+5\right)}^2\\ ={\left(4-m\right)}^2+{\left(1-2m+5\right)}^2\\ \iff {\left(1-m\right)}^2-{\left(4-m\right)}^2\\ ={\left(6-2m\right)}^2-{\left(7-2m\right)}^2\\ \iff -3\left(5-2m\right)=-\left(13-4m\right)\\ \iff 2m=2\iff m=1\\ \Rightarrow M\left(1;-3\right)\end{array}$ 

Bán kính của đường tròn $\left(C\right)$ là $MA=\sqrt{0+5^2}=5$

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn $\left(C\right)$: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=25.$

c) (0,5 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của $\left(C\right)$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d^{\prime }:x+y+2019=0$

Gọi $\mathrm{\Delta }$ là tiếp tuyến cần tìm.

Vì $\mathrm{\Delta }\mathrm{\perp }{d}^{\prime }$ nên $\mathrm{\Delta }$  có dạng: $\mathrm{\Delta }:x-y+c=0$

Mà $\mathrm{\Delta }$ là tiếp tuyến của (C) nên $d(M;\mathrm{\Delta })=R$ với $R=5$ là bán kính của (C)

Ta có: 

$\begin{array}{l}d(M;\mathrm{\Delta })=\frac{\left|1-(-3)+c\right|}{\sqrt{1^2+{(-1)}^2}}=\frac{\left|c+4\right|}{\sqrt{2}}\\ \Rightarrow \frac{\left|c+4\right|}{\sqrt{2}}=R=5\\ \Rightarrow \left|c+4\right|=5.\sqrt{2}\\ \Rightarrow c=5.\sqrt{2}\pm 4\end{array}$

Vậy hai tiếp tuyến cần tìm là: 

$\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}_1:x-y+5\sqrt{2}+4=0\\ {\mathrm{\Delta }}_2:x-y+5\sqrt{2}-4=0\end{array}$

Bài 4.

Phương pháp:

Chứng minh $1+\frac{1}{\sin A}\le 1+\frac{1}{\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C}}$ từ đó tìm dấu “=” xảy ra để tính các góc của $\mathrm{\Delta }ABC$

Cách giải:                                  

Tính các góc của $\mathrm{\Delta }ABC$ biết $\left(1+\frac{1}{\sin A}\right)\left(1+\frac{1}{\sin B}\right)\left(1+\frac{1}{\sin C}\right)$$={\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C}}\right)}^3$.

$\begin{array}{l}\left(1+\frac{1}{\sin A}\right)\left(1+\frac{1}{\sin B}\right)\left(1+\frac{1}{\sin C}\right)\\ ={\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C}}\right)}^3\\ \iff \frac{\left(\sin A+1\right)\left(\sin B+1\right)\left(\sin C+1\right)}{\sin A\sin B\sin C}\\ =\frac{{\left(\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C}+1\right)}^3}{\sin A\sin B\sin C}\\ \iff \sin A\sin B\sin C\\ +\sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin A\sin C\\ +\sin A+\sin B+\sin C+1\\ =\sin A\sin B\sin C\\ +3\sqrt[3]{{\sin }^{2}A{\sin }^{2}B{\sin }^{2}C}\\ +3\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C}+1\\ \iff \sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin A\sin C\\ +\sin A+\sin B+\sin C\\ =3\sqrt[3]{{\sin }^{2}A{\sin }^{2}B{\sin }^{2}C}\\ +3\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C}\end{array}$

Ta có $A,B,C$ là các góc trong tam giác $\Rightarrow 0<\sin A,\sin B,\sin C\le 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin A\sin C\\ \ge 3\sqrt[3]{{\sin }^{2}A{\sin }^{2}B{\sin }^{2}C}\\ \sin A+\sin B+\sin C\\ \ge 3\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C}\end{array}\\ \Rightarrow \sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin A\sin C\\ +\sin A+\sin B+\sin C\\ \ge 3\sqrt[3]{{\sin }^{2}A{\sin }^{2}B{\sin }^{2}C}\\ +3\sqrt[3]{\sin A\sin B\sin C}\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra $\iff \sin A=\sin B=\sin C$ mà $A,B,C$  là các góc trong $\mathrm{\Delta }ABC$

$\Rightarrow A=B=C={60}^o$

Đề thi Học kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo (Có đáp án) - Đề số 02

Phòng Giáo dục và Đào tạo ...

Đề thi Học kì 2 Toán 10

Năm học 2022 - 2023

Môn: Toán học 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (VD) (2 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) $\sqrt{3x^2-5x-1}=x-1$.

b) $\left|x^2-x\right|>2-x$.

Câu 2: (VD) (2 điểm)  a)  Cho phương trình $x^2-2(m-2)x+4-7m=0$ ($m$là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=10$.

b)  Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $\left(m-1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+2m+5>0$ nghiệm đúng $\mathrm{\forall }x\in R$.  

Câu 3: (VD) (2 điểm)   a)  Cho $\sin a=-\frac{4}{5}$, với $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$ . Tính $\cos a,cos2a,\sin \left(a+\frac{\pi }{6}\right),\tan (-a).$

b)  Chứng minh đẳng thức : $2\cot 2x\cot x+1={\cot }^{2}x$.

Câu 4: (VD) (1 điểm)  Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $A(1;-3)$ và vuông góc với đường thẳng$d:3x-4y-7=0$

Câu 5: (VD) (1 điểm)  Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho điểm $B\left(3;4\right)$ và đường thẳng  $d:x+2y-1=0$.

Viết phương trình đường tròn tâm $B$, tiếp xúc với đường thẳng $d$.

Câu 6: (VD) (1 điểm)  Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ viết phương trình chính tắc của elíp $(E),$ biết $(E)$ có độ dài trục lớn bằng 8, tâm sai bằng $\frac{3}{4}.$

Câu 7: (VDC) (1 điểm)  Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho hai đường thẳng $(\mathrm{\Delta }):2x+y-1=0$, $(d):3x+7y+1=0$ và điểm $M\left(1;1\right)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua $M$và cắt $(\mathrm{\Delta })$,$(d)$ lần lượt tại hai điểm B, C sao cho $M$ là trung điểm của $BC$.

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương pháp:

a) $\sqrt{f\left(x\right)}=g\left(x\right)\iff \{\begin{array}{l}f\left(x\right)\ge 0\\ g\left(x\right)\ge 0\\ f\left(x\right)=g^2\left(x\right)\end{array}$

b)  $\left|f\left(x\right)\right|>g\left(x\right)\iff [\begin{array}{l}g\left(x\right)<0\\ \{\begin{array}{l}g\left(x\right)>0\\ f^2\left(x\right)>g\left(x\right)\end{array}\end{array}.$

Cách giải:

Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) $\sqrt{3x^2-5x-1}=x-1$

ĐKXĐ: $3x^2-5x-1\ge 0\iff [\begin{array}{l}x\ge \frac{5+\sqrt{37}}{6}\\ x\le \frac{5-\sqrt{37}}{6}\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}x-1\ge 0\\ 3x^2-5x-1=(x-1{)}^2\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ 3x^2-5x-1=x^2-2x+1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ 2x^2-3x-2=0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}x\ge 1\\ [\begin{array}{l}x=2\\ x=-\frac{1}{2}\end{array}\end{array}\iff x=2\left(tm\right)\end{array}$ 

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{2\right\}.$  

$\begin{array}{l}b)\left|x^2-x\right|>2-x\\ \iff [\begin{array}{l}2-x<0\\ \{\begin{array}{l}2-x\ge 0\\ {\left(x^2-x\right)}^2>{\left(2-x\right)}^2\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x>2\\ \{\begin{array}{l}x\le 2\\ x^4-2x^3+x^2>4-4x+x^2\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x>2\\ \{\begin{array}{l}x\le 2\\ x^4-2x^3+4x-4>0\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x>2\\ \{\begin{array}{l}x\le 2\\ \left(x^2-2\right)\left(x^2+2\right)-2x\left(x^2-2\right)>0\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x>2\\ \{\begin{array}{l}x\le 2\\ \left(x^2-2\right)\left(x^2-2x+2\right)>0\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x>2\\ \{\begin{array}{l}x\le 2\\ x^2-2>0\left(do{x}^2-2x+2>0\right)\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff [\begin{array}{l}x>2\\ \{\begin{array}{l}x\le 2\\ [\begin{array}{l}x>\sqrt{2}\\ x<-\sqrt{2}\end{array}\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x>2\\ \sqrt{2}<x\le 2\\ x<-\sqrt{2}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{l}x>\sqrt{2}\\ x<-\sqrt{2}\end{array}.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=\left(-\mathrm{\infty };-\sqrt{2}\right)\cup \left(\sqrt{2};+\mathrm{\infty }\right).$

Câu 2:

Phương pháp:

a) Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt $\iff \mathrm{\Delta }>0$. Sử dụng định lý Vi-ét, biến đổi biểu thức đề bài theo m để giải tìm m.

b) Cho tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\left(a\ne 0\right)$ có biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

-  Nếu $\mathrm{\Delta }<0$ thì với mọi $x,f\left(x\right)$ có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu $\mathrm{\Delta }=0$thì $f\left(x\right)$ có nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}$, với mọi $x\ne -\frac{b}{2a},f\left(x\right)$ có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu $\mathrm{\Delta }>0$,$f\left(x\right)$có 2 nghiệm $x_1,x_2\left(x_1<x_2\right)$ và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng $\left(x_1;x_2\right)$  và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng $\left(x_1;x_2\right).$

Cách giải:

a)  Cho phương trình $x^2-2\left(m-2\right)x+4-7m=0$   ($m$là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$  thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=10.$

$x^2-2(m-2)x+4-7m=0$ có 2 nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l}\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }>0\iff {\left(m-2\right)}^2-4+7m>0\\ \iff m^2-4m+4-4+7m>0\\ \iff m^2+3m>0\iff [\begin{array}{l}m>0\\ m<-3\end{array}.\end{array}$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-2\right)\\ x_1{x}_2=4-7m\end{array}.$

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}{x}_1^2+x_2^2=10\\ \iff (x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=10\\ \iff 4(m-2{)}^2-2(4-7m)=10\\ \iff 4m^2-2m-2=0\\ \iff [\begin{array}{l}m=1\left(tm\right)\\ m=-\frac{1}{2}\left(ktm\right)\end{array}.\end{array}$

Vậy $m=1$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

b)  $\left(m-1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+2m+5>0$ nghiệm đúng $\mathrm{\forall }x\in R$.  

Để bất phương trình $\left(m-1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+2m+5>0$ nghiệm đúng $\mathrm{\forall }x\in R$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}a>0\\ {\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}m-1>0\\ {\left(m+1\right)}^2-\left(m-1\right)\left(2m+5\right)<0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}m>1\\ -m^2-m+6<0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}m>1\\ [\begin{array}{l}m<-3\\ m>2\end{array}\end{array}\iff m>2.\end{array}$

Vậy  $m>2$ thỏa mãn bài toán.

Câu 3:

Phương pháp:

a) Áp dụng công thức ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ để tính $\cos x$, từ đó tính các giá trị còn lại

b) 

$\begin{array}{l}\sin 2x=2\sin x\cos x\\ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\\ \cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\end{array}$

Cách giải:

a)  Cho $\sin a=-\frac{4}{5}$, với $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$ . Tính $\cos a,cos2a,\sin \left(a+\frac{\pi }{6}\right),\tan (-a).$

$\begin{array}{l}{\cos }^{2}a=1-{\sin }^{2}a=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}\\ \Rightarrow \cos a=-\frac{3}{5}\left(do\pi <a<\frac{3\pi }{2}\right)\\ \Rightarrow \cos 2a=1-2{\sin }^{2}a\\ =1-2.\frac{16}{25}=-\frac{7}{25}\\ \Rightarrow \sin \left(a+\frac{\pi }{6}\right)\\ =\sin a.\cos \frac{\pi }{6}+\cos a.\sin \frac{\pi }{6}\\ =-\frac{4}{5}.\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{5}.\frac{1}{2}=\frac{-3-4\sqrt{3}}{10}.\\ \Rightarrow \tan (-a)=-\tan a=-\frac{\sin a}{\cos a}\\ =-\frac{4}{5}.\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}.\end{array}$

b)  Chứng minh đẳng thức : $2\cot 2x.\cot x+1={\cot }^{2}x.$

$\begin{array}{l}VT=2.\frac{\cos 2x}{\sin 2x}.\frac{\cos x}{\sin x}+1\\ =\frac{2.\cos 2x}{2{\sin }^{2}x.\cos x}.\frac{\cos x}{\sin x}\\ =\frac{\cos 2x}{{\sin }^{2}x}+1\\ =\frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x}+1\\ =\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}={\cot }^{2}x=VP.\end{array}$

Vậy $2\cot 2x.\cot x+1={\cot }^{2}x.$

Câu 4:

Phương pháp:

Xác định VTPT (VTCP) và một điểm đi qua của đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ để viết phương trình.

Cách giải:

Viết pt đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua $A(1;-3)$ và vuông góc với $d:3x-4y-7=0$.

Đường thẳng $d$ có VTPT $\overrightarrow{n_d}=\left(3;-4\right).$

Gọi $\mathrm{\Delta }$ là đường thẳng cần tìm.

Ta có:$\mathrm{\Delta }\mathrm{\perp }d\Rightarrow \overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}=\left(4;3\right).$

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua $A\left(1;-3\right)$ và có $VTPT\overrightarrow{n_{\mathrm{\Delta }}}=\left(4;-3\right)$ là: $4\left(x-1\right)+3\left(y+3\right)=0$ $\iff 4x+3y+5=0$

Câu 5:

Phương pháp:

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ tiếp xúc với đường tròn $\left(O,R\right)\iff d\left(O,\mathrm{\Delta }\right)=R$

Phương trình đường tròn tâm $I\left(a;b\right)$ và có bán kính $R$ là: ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2.$ 

Cách giải:

Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho điểm $B\left(3;4\right)$ và đường thẳng  $d:x+2y-1=0$. Viết phương trình đường tròn tâm $B$, tiếp xúc với đường thẳng $d$.

Đường tròn đường tròn cần tìm có bán kính $R=d(B;d)=\frac{\left|3+8-1\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}$$=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$

Phương trình đường tròn cần tìm là ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=20.$

Câu 6:

Phương pháp:

Tiêu cự của elip có phương trình $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ là $c=2\sqrt{a^2-b^2}$

Trục lớn = 2a ; trục bé = 2b ; tâm sai $e=\frac{c}{a}.$

Cách giải:

Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ viết phương trình chính tắc của elíp $(E),$ biết $(E)$ có độ dài trục lớn bằng 8, tâm sai bằng $\frac{3}{4}.$

Ta có $\left(E\right)$ có độ dài trục lớn là $8\Rightarrow 2a=8\iff a=4.$

Tâm sai của $\left(E\right)$ là $\frac{3}{4}\Rightarrow e=\frac{c}{a}=\frac{3}{4}\iff c=3.$

$\Rightarrow b^2=a^2-c^2=4^2-3^2=7$$\Rightarrow (E):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1.$

Vậy phương trình $\left(E\right):\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1.$

Câu 7:

Phương pháp:

Tìm tọa độ điểm A là giao điểm của $(\mathrm{\Delta })$và $(d)$

Tìm  N  là điểm sao cho ABNC là hình bình hành

Tìm điểm B là giao của BN và $\mathrm{\Delta }$

Viết phương trình đường thẳng BM là đường thẳng cần tìm

Cách giải:

Trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ cho hai đường thẳng $(\mathrm{\Delta }):2x+y-1=0$, $(d):3x+7y+1=0$ và điểm $M\left(1;1\right)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua $M$và cắt $(\mathrm{\Delta })$,$(d)$ lần lượt tại hai điểm B, C sao cho $M$ là trung điểm của $BC$.

Gọi A là giao điểm của $(\mathrm{\Delta })$và $(d)$

$\Rightarrow$ Tọa độ điểm A  là nghiệm của hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}2x+y-1=0\\ 3x+7y+1=0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{8}{11}\\ y=-\frac{5}{11}\end{array}$ $\Rightarrow A\left(\frac{8}{11};-\frac{5}{11}\right)$

Gọi $N\left(a;b\right)$   là điểm sao cho ABNC là hình bình hành

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MN}\\ \iff \left(a-1;b-1\right)=\left(1-\frac{8}{11};1+\frac{5}{11}\right)\\ \iff \{\begin{array}{l}a-1=1-\frac{8}{11}\\ b-1=1+\frac{5}{11}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}a=\frac{14}{11}\\ b=\frac{27}{11}\end{array}\\ \Rightarrow N\left(\frac{14}{11};\frac{27}{11}\right)\end{array}$

Đường thẳng $\left(BN\right)$ là đường thẳng đi qua N và song song với $(d)$

$\Rightarrow \left(BN\right):3\left(x-\frac{14}{11}\right)+7\left(y-\frac{27}{11}\right)=0$ $\iff 3x+7y-21=0$

B là giao điểm của $(\mathrm{\Delta })$và $(BN)\Rightarrow$ tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ:$\{\begin{array}{l}2x+y-1=0\\ 3x+7y-21=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{14}{11}\\ y=\frac{39}{11}\end{array}$

$\Rightarrow B\left(-\frac{14}{11};\frac{39}{11}\right)$

Phương trình đường thẳng $\left(BM\right)$ cần tìm là: $\frac{x-1}{-\frac{14}{11}-1}=\frac{y-1}{\frac{39}{11}-1}$$\iff \frac{28}{11}\left(x-1\right)=-\frac{25}{11}\left(y-1\right)$  $\iff 28x+25y-53=0$

Xem thêm đề thi các môn lớp 10 bộ sách Chân trời sáng tạo hay, có đáp án chi tiết:

Top 10 đề thi Học kì 2 Ngữ văn 10 (Chân trời sáng tạo 2024) có đáp án