Cho tam giác ABC có các điểm M(2;2), N(3;4), P(5;3) lần lượt là trung điểm

Hoàng Huyền Trang Ngày: 04-10-2022 Lớp 10

1.5 K

Với giải Bài 7 trang 45 Toán 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 1. Tọa độ của vecto giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Cho tam giác ABC có các điểm M(2;2), N(3;4), P(5;3) lần lượt là trung điểm

Bài 7 trang 45 Toán 10 Tập 2: Cho tam giác ABC có các điểm $M (2; 2), N (3; 4), P (5; 3)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA

a) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

b) Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác ABC và MNP trùng nhau

c) Giải tam giác ABC

Phương pháp giải

a) Tọa độ trung điểm M của AB là: $M = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$

b) Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G = (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3})$

Tọa độ trọng tâm của tam giác MNP là: $G^{'} = (\frac{x_{M} + x_{N} + x_{P}}{3}; \frac{y_{M} + y_{N} + y_{P}}{3})$

Lời giải

a) Gọi tọa độ các điểm như sau: $A (x_{A}; y_{A}), B (x_{B}; y_{B}), C (x_{C}; y_{C})$

$M (2; 2), N (3; 4), P (5; 3)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA nên ta có:

${\begin{cases} x_{A} + x_{B} = 2 x_{M} = 4 \\ x_{A} + x_{C} = 2 x_{P} = 10 \\ x_{C} + x_{B} = 2 x_{N} = 6 \\ y_{A} + y_{B} = 2 y_{M} = 4 \\ y_{A} + y_{C} = 2 y_{P} = 8 \\ y_{C} + y_{B} = 2 y_{N} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{A} + x_{B} = 4 \\ x_{C} - x_{B} = 6 \\ x_{C} + x_{B} = 6 \\ y_{A} + y_{B} = 4 \\ y_{C} - y_{B} = 4 \\ y_{C} + y_{B} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{A} = 4 \\ x_{B} = 0 \\ x_{C} = 6 \\ y_{A} = 3 \\ y_{B} = 1 \\ y_{C} = 5 \end{cases}$

Vậy các đỉnh của tam giác có tọa độ là $A (4; 3), B (0; 1), C (6; 5)$

b) Gọi $G (x_{G}; y_{G}), G^{'} (x_{G^{'}}; y_{G^{'}})$ là trọng tâm của hai tam giác ABC và MNP

Áp dụng tính chất trọng tâm ta có:

$\begin{array}{l} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{4 + 0 + 6}{3} = \frac{10}{3}; y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{3 + 1 + 5}{3} = 3 \\ x_{G^{'}} = \frac{x_{M} + x_{N} + x_{P}}{3} = \frac{2 + 3 + 5}{3} = \frac{10}{3}; y_{G^{'}} = \frac{y_{M} + y_{N} + y_{P}}{3} = \frac{2 + 4 + 3}{3} = 3 \end{array}$

Suy ra $G (\frac{10}{3}; 3)$ và $G^{'} (\frac{10}{3}; 3)$ , tọa độ của chúng bằng nhau nên hai điểm G và G’ trùng nhau (đpcm)

c) Ta có: $\vec{A B} = (- 4; - 2), \vec{A C} = (2; 2), \vec{B C} = (6; 4)$

Suy ra: $A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = 2 \sqrt{5}, A C = | \vec{A C} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$

$B C = | \vec{B C} | = \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{13}$

$\begin{array}{l} \cos A = \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{A B . A C} = \frac{(- 4) .2 + (- 2) .2}{2 \sqrt{5} .2 \sqrt{2}} = - \frac{3 \sqrt{10}}{10} \Rightarrow \hat{A} \approx 161^{\circ} 33^{'} \\ \cos B = \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = \frac{\vec{B A} . \vec{B C}}{B A . B C} = \frac{4.6 + 2.4}{2 \sqrt{5} .2 \sqrt{13}} = \frac{8 \sqrt{65}}{65} \Rightarrow \hat{B} = 7^{\circ} 7^{'} \\ \hat{C} = 180^{\circ} - \hat{A} - \hat{B} = 180^{\circ} - 161^{\circ} 33^{'} - 7^{\circ} 7^{'} = 11^{\circ} 20^{'} \end{array}$